聚焦數學核心素養 優化研究性學習教學
——以“一道中考數學題”為例

云南省廣南縣珠琳鎮初級中學校 黎占金

1 試題呈現

如圖1(2020·四川涼山)，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一邊GH在BC上，其余兩個頂點E,F分別在AB，AC上，求這個正方形零件的邊長.

圖1

2 精心設計，巧妙點撥和引導，拓展發散思維

在解題教學中，巧妙設計啟發式設問與反問，安排自主、合作、探討式的研究性學習活動，鼓勵學生從不同角度來研究解題思路，有利于培養學生思維的廣度與深度.在此題的解題教學中，教師精心設計問題，巧妙點撥和引導，經學生探討研究，歸納出以下幾種解法.

活動一：根據三角形相似的性質1求解.

師：此題圖形中有沒有相似的三角形？

生1：有的.如△AEF∽△ABC.

師：在相似三角形的性質中，相似三角形哪些線段的比等于相似比？此題可以用什么線段的比等于相似比求解？

生2：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、周長的比都等于相似比.

活動二：應用探索研究得出的結論求解.

師：當兩個三角形相似時，對應的什么量相等？對應的什么量成比例？

生4：對應角相等，對應邊成比例，對應邊的比就是相似比.

師：在圖1中，除△AEF∽△ABC外，還有類似的相似三角形嗎？

生5：有的，如△BEG∽△BAD,△CFH∽△CAD.

師：很好！請同學們試著寫出△AEF∽△ABC和△BEG∽△BAD這兩組相似三角形之間有關系的兩組成比例的對應邊.

生6：因為△AEF∽△ABC，所以

①

因為△BEG∽△BAD, 所以

②

師：把①②式的左右兩邊分別相加后，再結合題圖觀察，有沒有新的發現？

師：好極了！應用此結論，此題也可得解.

活動三：應用等面積法.

師：還記得三角形、梯形、正方形的面積公式嗎？

生8：記得.三角形的面積等于底乘高除以2；梯形的面積等于上底加下底的和乘高再除以2；正方形的面積等于邊長的平方.

師：此題圖中△ABC的面積可分成哪些規則圖形面積的和？

活動四：應用三角形相似的性質2求解.

師：相似三角形性質2的內容是什么？

生11：相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

師：此題能否用相似三角形面積的比等于相似比的平方這一性質來求解？

3 深化拓展，變式研究

3.1 條件變式拓展

變式1把銳角△ABC變為直角三角形，∠A=90°.能否求出正方形的邊長？

變式2把△ABC變為等腰直角三角形，∠A=90°.能否求出正方形的邊長？

變式3把△ABC變為等邊三角形，且邊長等于a，能否求出正方形的邊長？

拓展1把正方形EGHF變為矩形，是否可以求出矩形各邊的長？若不能，需添加一些什么條件？(比如長與寬的比等.)

拓展2把△ABC的高AD變為角平分線或BC邊上的中線，還可以求EF的長嗎？若不能，該怎樣變動其他的條件才可以求出EF?(比如把正方形EGHF變為平行四邊形，且EG∥AD.)

拓展3把△ABC變為鈍角三角形，正方形EGHF變為矩形，還能求矩形各邊的長嗎？若不能，需添加一些什么條件才可以求解？

師：以上的6種變式拓展，能否用之前四個活動中的方法來求解？

生13：有的可以用活動一的方法求解.

3.2 圖形切割變換

(1)在圖1中，切割掉高AD右邊的部分.

圖2

師：題圖經過這樣的切割后，還能用之前的四種方法求解嗎？

(2)在圖1中，切割掉EF上面的部分.

已知梯形EBCF,EF∥BC,EF=48 mm,BC=120 mm,梯形的高為32 mm,求兩腰延長線的交點到下底BC的距離？

師：題圖經過如此的截除，同時結論也隨之變換后，能否求解呢？

圖3

3.3 條件、圖形同源變換拓展

圖4

圖5

圖6

圖7

師：以上幾種同源變式和拓展，結論是否成立？若能成立，用之前哪一種活動的方法求解？

生17：每一種同源變式和拓展，結論都仍然成立.

生18：都可以用活動二的方法求解.

以上的變式和拓展都是以原題為著眼點，進行了一些解法同源、結論歸一的探討，有利于學生對所學知識的條理化和系統化，培養了學生思維的廣度和深度.

3.4 題型的變式和拓展

圖8

如圖8，已知在△ABC中，BC=5,AB=4,AC=3,EF∥BC.試問在BC上是否存在一點P,使△EPF為等腰直角三角形？若存在，試求出EF的長，若不存在，請簡要說明理由.

以本題型的變式和拓展是把原題進行適當地變換，讓學生在不同的題型中體驗多題一解和一題多解探究的樂趣，培養了學生思維的靈活性.解析略.

4 總結

在解題教學中，應充分優化并發揮解題的教學功能，將原題進行適當地變式和拓展，采用一題多解、一題多變、一圖多變、多題一解等訓練，巧妙地點撥和引導學生進行自主、合作、辯論、開放的探討和研究，讓學生最大限度地發揮出自己的聰明才智.通過優化這種啟發式討論、開放式探究的研究性學習教學活動，不僅能提高學生的數學思維能力，也培養了學生的開拓創新精神，提升學生的數學核心素養，從而推動素質教育的全面發展.