專題復(fù)習(xí)課：讓復(fù)習(xí)更“專”
——以“圓周角與圓心角的關(guān)系”專題復(fù)習(xí)新授課為例

?湖北省武漢市六中位育中學(xué) 魯志松

近日，在一次市級(jí)專題復(fù)習(xí)課教學(xué)研討活動(dòng)中，有幸聆聽到“圓周角與圓心角的關(guān)系”專題復(fù)習(xí)新授課，受益匪淺.本文中簡(jiǎn)單呈現(xiàn)執(zhí)教教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，并就新授專題復(fù)習(xí)課給出個(gè)人的初步思考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 做一做，畫一畫

(1)畫一個(gè)⊙O；

(2)在⊙O內(nèi)作一個(gè)圓心角∠AOB；

(3)在⊙O內(nèi)作一個(gè)圓周角∠ACB.

1.2 圓周角定理及其推論

定理：圓周角的度數(shù)等于上的圓心角度數(shù)的一半.

推論1：圓周角的度數(shù)等于的度數(shù)的一半.

推論2：所對(duì)的圓周角相等.

推論3：直徑所對(duì)的圓周角是；90°的圓周角所對(duì)的弦是.

1.3 圓周角與圓心角相結(jié)合

設(shè)計(jì)意圖：一是復(fù)習(xí)鞏固圓心角、圓周角和弧之間的關(guān)系，二是提醒學(xué)生注意弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)是一個(gè)，但是所對(duì)的圓周角的度數(shù)有兩個(gè).

圖1 圖2

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在做圓的題目時(shí)，總是會(huì)忘記半徑都相等的條件，例2提醒學(xué)生注意與等腰三角形相結(jié)合.

變式如圖2所示，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C=40°，則∠OBA的度數(shù)為.

1.4 圓周角、圓心角與垂徑定理相結(jié)合

垂徑定理：垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對(duì)的.

推論：平分弦的直徑這條弦，并且平分弦所對(duì)的.

例3(2018·襄陽)如圖3所示，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，則弦BC的長(zhǎng)為.

設(shè)計(jì)意圖：通過垂徑定理得到弧相等，從而和圓心角、圓周角聯(lián)系起來.

圖3

1.5 圓周角、圓心角與平行相結(jié)合

圖4

圖5

設(shè)計(jì)意圖：例4由課本中的隨堂練習(xí)引出，運(yùn)用兩種不同的證明方法，復(fù)習(xí)了垂徑定理和圓周角定理.也得出了“兩平行弦所夾的弧相等”這個(gè)常用結(jié)論，讓學(xué)生建立起平行與弧相等的聯(lián)系.

變式1如圖5，已知點(diǎn)A，B，C，D，E都在⊙O上，且AC=DE，DE∥BA，求證：AD平分∠BAC.

變式2如圖5，已知A，B，C，D，E都在⊙O上，且AD平分∠BAC，AC=DE，求證：DE∥BA.

1.6 圓周角、圓心角與相似相結(jié)合

相似三角形的判定：

的兩個(gè)三角形相似；

的兩個(gè)三角形相似；

的兩個(gè)三角形相似.

例5如圖6所示，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，且AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E.

圖6

(1)你能在圖中找出一對(duì)相似三角形嗎？并說明理由.

(2)若AE=2，ED=4，求AB的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：通過例5建立起圓中相似的基本圖形，讓學(xué)生能夠快速地找到相似圖形.如碰到圓中求線段長(zhǎng)度的問題，就可以與相似聯(lián)系起來.

2 幾點(diǎn)思考

2.1 學(xué)生主體與教師主導(dǎo)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中突出學(xué)生的主體地位，放手讓學(xué)生討論、自主思考，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性.但是，筆者認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該把握好課堂教學(xué)中“學(xué)生主體”和“教師主導(dǎo)”的平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的“雙主體”，進(jìn)而達(dá)到“雙贏”.

對(duì)于學(xué)生能夠自主解決的簡(jiǎn)單問題，教師應(yīng)該放手給學(xué)生，讓學(xué)生獨(dú)立解決，可以讓學(xué)生走上講臺(tái)，講解個(gè)人的解題思路，提出個(gè)人的初步見解；對(duì)于稍有難度的問題，教師應(yīng)該為學(xué)生搭建好“腳手架”，讓學(xué)生“跳一跳，摘桃子”，讓學(xué)生在“兵教兵”的氛圍中解決問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)認(rèn)知的升華；對(duì)于難度很大的問題，這個(gè)時(shí)候必須充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，凸顯教師的地位和作用，在教師講解之后，引導(dǎo)學(xué)生課下梳理和回顧，在下節(jié)課中再讓學(xué)生走上講臺(tái)，分享問題整理過程中的感悟和體會(huì)，實(shí)現(xiàn)問題解決的再提升.

2.2 一題多變與一題多解

一題多解是數(shù)學(xué)習(xí)題課、復(fù)習(xí)課教學(xué)中經(jīng)常采用的一種方式.上述課例中，執(zhí)教教師針對(duì)同一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，對(duì)同一個(gè)問題給出了不同的解法.難能可貴的是，執(zhí)教教師能夠在給出不同的解法后引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同解法之間的區(qū)別和聯(lián)系，不同解法之間的難易，哪種解法更適合自己，等等，將學(xué)生的思維引向深處，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性.

一題多變是在實(shí)現(xiàn)一題多解后對(duì)習(xí)題課、復(fù)習(xí)課教學(xué)的進(jìn)一步要求.比如，上述課例中，執(zhí)教教師通過強(qiáng)化條件、弱化條件、交換條件和結(jié)論、改變圖形等多種方式實(shí)現(xiàn)對(duì)同一個(gè)問題的不同變式，使學(xué)生的視野更加開闊，架起不同問題之間的橋梁，加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)多角度、多層次看待問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題素養(yǎng)的提升.

2.3 以題帶點(diǎn)與以點(diǎn)聚題

復(fù)習(xí)課教學(xué)中，針對(duì)知識(shí)復(fù)習(xí)的常見方法有以題帶點(diǎn)和以點(diǎn)聚題兩種.

以題帶點(diǎn)是指在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中通過相關(guān)題目的復(fù)習(xí)，總結(jié)出解題過程中所用的知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)和總結(jié)；以點(diǎn)聚題則是先復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，然后出示典型練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鞏固和梳理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)和總結(jié).

上述課例中，執(zhí)教教師選擇了以點(diǎn)聚題的方式，首先回顧每個(gè)考點(diǎn)對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后針對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)給出典型的練習(xí)，最后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧和梳理，在專題復(fù)習(xí)新授課中收到了良好的效果.但是，筆者認(rèn)為，以點(diǎn)聚題多見于專題復(fù)習(xí)新授課，而以題帶點(diǎn)則更多地見于中考復(fù)習(xí)課，可見兩種復(fù)習(xí)方式針對(duì)的是兩種不同的復(fù)習(xí)課的課型，應(yīng)該引起一線教師的思考.

2.4 基本題型與基本圖形

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，上述課例中，執(zhí)教教師以考點(diǎn)的形式進(jìn)行呈現(xiàn)；幾何教學(xué)離不開基本圖形的“抽離”和總結(jié)，比如，上述課例中出現(xiàn)的“垂徑定理”的基本圖形等，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和梳理，進(jìn)而提高解題效率，體現(xiàn)解題教學(xué)的高效.