例談初中數學“優化問題設計”的教學思考

?聊城市實驗中學 于冬梅

1 引言

有效的教學活動是學生學與教師教的統一，課堂教學要充分發揮教師的主導作用，充分落實學生的主體地位[1].“體驗不深切、理解不深刻、思維不深入、發展不深遠”是當前初中教學的普遍現象[2].“問題引領”則是改善上述現象的有效手段或途徑.當前課堂教學中，教師大都認識到了“問題引領”對學生發展的重要性，好的問題設計不僅可以幫助學生更好地理解和運用知識，主動構建知識體系，也是啟迪學生思維、提升思維品質和素養的重要方式.這就要求一線教師提升“設問”的專業素養.基于此，筆者把青島版“反比例函數圖象”教學的兩種問題設計整理成文，與讀者交流分享.

2 問題設計的教材背景分析

反比例函數是繼一次函數后，知識與方法上的一次水平遷移，理解與認知上的一次提升.圖象和性質是函數研究的重要內容，研究方法可以類比一次函數，先由描點法畫出反比例函數的圖象，并通過圖象來探索確定反比例函數的性質.圖象由“一條”到“兩支”，形態由“直”到“曲”，由“連續”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，無不折射出對反比例函數本質屬性認識的進一步深化.

反比例函數的圖象和性質，蘊含著豐富的數學思想.首先，反比例函數的圖象和性質，本身就是“數”與“形”的統一.通過對圖象的研究和分析，可以確定函數本身的性質，體現了數形結合的思想方法.這在學習數軸、平面直角坐標系時，學生已經接觸過，結合本課內容，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解，發揮從“數”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優勢.其次，從本節課知識的形成過程來看，由“解析式(確定自變量取值范圍)”到“作圖(列表、描點、連線)”，再到“性質(觀察圖象探究性質)”，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，這種函數解析式及性質與函數圖象之間的聯系，突出體現了二者間的轉化對分析解決問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用.

3 問題設計的學情背景分析

學生已經學習了平面直角坐標系的相關知識，學習了一次函數的概念、圖象、性質與應用，經歷了一次函數的研究過程，了解了一次函數的研究方法，同時上節課通過具體情境體會了反比例函數的概念，已經具備了繼續研究反比例圖象的知識儲備和能力儲備.

4 教學問題設計與思考

4.1 比較教學流程中的兩種設計

第一種設計:

問題1一次函數的圖象及其性質是怎樣研究的？

問題4在x≠0的范圍內，選定自變量x的值，計算出對應的y值，完成表格.

問題5完成表格后，怎樣描點連線呢？

問題6反比例函數的圖象能不能用折線段連接？比如相鄰兩點A(1，6)與B(2，3)之間，能不能用線段來連接？為什么？如果不能，應該怎樣連接？

問題7想一想，圖中能用線段或平滑的曲線將點(-1，-6)與點(1，6)連接嗎？為什么？

第二種設計:

問題1知道反比例函數的概念后，你認為再研究反比例函數的哪些知識？

追問：關于函數圖象的研究，你具備什么方法和經驗呢？

建池的土質以壤土最好。魚池形狀以長方形為宜，長寬之比一般為2～4：1，東西邊長，南北邊寬，寬的一邊最好不超過50m，魚池周圍不宜有高大的樹木及建筑物，以免遮光、擋風及妨礙養殖操作。

追問1：自變量x可以取值的范圍是什么？

追問2：列表時你會選取哪些自變量x的值呢？

追問3：反比例函數的圖象能不能用折線段連接？比如相鄰兩點A(1，6)與B(2，3)之間，能不能用線段來連接？為什么？如果不能，應該怎樣連接？

追問4：想一想，圖中能用線段或平滑的曲線將點(-1，-6)與點(1，6)連接嗎？為什么？

4.2 關于兩種問題設計的思考

通過比較可以發現，同樣是八個問題，第一種設計問題較為細碎，把學生的思維束縛在一個狹小的范圍內，沿著教師的思維亦步亦趨進行思考，雖然教學比較順利，但是不利于學生思維能力的發展.

對比分析第二種設計，問題1和問題2兩個大問題給學生提供了足夠大的思維空間，也給學生提供了產生疑惑和提出問題的機會，有利于發展學生發現問題、提出問題的能力，同時也有助于學生自主構建函數學習的一般思路，提升思維的系統性.把第一種設計的部分問題調整為追問的問題，是在必要的時候給需要的學生必要的幫助，將學生的思維不斷引向深處，提升思維的嚴謹性.具體有以下幾點優勢.

4.2.1類比優化研究方法

知識的遷移指的是一種知識對另一種知識的影響，溫故而知新，是學生在學習活動中表現出來的一種遷移能力素養.第二種設計的問題1，由學生自主回憶曾經經歷過的一次函數圖象的研究過程，并類比確定反比例函數圖象的研究思路，有助于學生自主構建函數學習的一般思路.

4.2.2 猜想提升教學價值

函數圖象的教學價值絕不僅僅是列表、描點、連線畫圖這樣的技術活，畫圖之前，學生根據函數表達式猜想判斷圖象的大致形狀、特征，是智力層面的思維活動，遠高于技術層面，也體現了教師的教育智慧[3].第二種設計增加了根據反比例函數解析式先猜想圖象再自主畫圖的兩個大問題，給學生營造了獨立動手動腦足夠大的思維空間，學生在猜想判斷圖象的大致形狀特征和具備一次函數畫圖經驗的基礎上，可能出現直的圖象或與坐標軸相交的圖象等錯例，不僅為后續的研究作了鋪墊，也在后續的研究中激發學生思維的漣漪.

4.2.3 追問引領思維深入

第二種設計的問題2和3兩個大問題給學生提供了足夠大的思維空間，也給學生提供了產生疑惑和提出問題的機會，有利于發展學生發現問題、提出問題的能力.把第一種設計調整為追問的四個問題，是在必要的時候給需要的學生必要的幫助，將學生思維不斷引向深處；再結合教師的精講點撥與《幾何畫板》演示，可以幫助學生糾正思維的誤區，完善思考過程中不嚴謹之處，提升思維的嚴密性.

4.2.4 遷移提升應用能力

知識遷移的實質就是觸類旁通、舉一反三，就是把學到的原理知識應用到新的知識或者解決問題當中去.第二種設計問題4就是給學生提供應用所學知識技能完成新的學習任務的機會，由學生自主畫圖象并根據圖象分析歸納k<0時反比例函數的性質，幫助學生實現知識技能的水平遷移，促進知識體系的自主建構.

5 結語

初中數學教學中設計具備思維的進階性、促進學生深度學習的問題，有利于學生對知識的逐步抽象與建構，有利于學生形成完整的思維結構，也有利于學生數學活動經驗的積累.