挖“教材”之本 體“源題”之活*
——從一道幾何證明題談起

?江蘇省南通市海門區海南中學 朱愛平

1 引言

本文中以人教版八年級下冊第十八章“平行四邊形”第69頁的第14題為例，分析如何挖掘教科書上的習題，通過設置階梯問題引導學生進行深度思考分析，利用圖形變式提升學生遷移能力.通過一題多變、一題多解，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從不變的本質中探究“變”的規律，培養學生的探索精神和創新意識，提高學生數學核心素養，給予學生帶得走的知識.

2 原題呈現

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點F，證明：AE=EF.(提示：取AB中點G，連接EG.)

圖1

圖2

3 分析引導

思路分析：從結論需要證明AE=EF出發，聯想到可證明全等，觀察圖形需要構造全等，由條件點E是BC的中點聯想取AB的中點G.如圖2，證明△AGE≌△ECF.根據練習后面給予的提示，學生能夠自行解決此問題.但如果僅僅停留在表層問題的解決，那真是入寶山而空手回了.

引導1：點E是BC的中點這個條件是否可以修改呢？

學生容易想到：點E為BC上任意一點.

引導2:如果點E為BC上任意一點，其余條件不變，如圖3，那么AE=EF還成立嗎？

引導3：動手畫一畫，探究一下.此時在構造全等時，還是取AB的中點G嗎？你是怎么取的？為什么這樣取呢？

圖3

圖4

這樣的變式問題，學生能夠遷移方法，還是會去構造△AGE≌△ECF(如圖4)，則需要AG=EC.所以在AB上截取AG=EC,連接EG，在證明∠AGE=∠ECF=135°時，需要根據等式性質證明BG=BE，所以在作輔助線時，也可以在AB上截取BG=BE，再去證明.

設計意圖:通過畫圖簡單的變化，鍛煉學生的畫圖能力，這個過程每個學生都能夠嘗試，在學生嘗試畫圖的過程中發現自己又能夠嘗試去解決問題，從而增加學生嘗試探究的信心.在學生最近發展區設置問題，遵循了學生的認知規律，增強了學習數學的信心，給足學生探究的時間，慢慢使學生敢于創新.

引導4：你還能對點E的位置做怎樣的改變？請把它畫出來，此時AE=EF還成立嗎？畫一畫，觀察嘗試一下.

學生會將點E的位置聯想到BC的延長線上或CB的延長線上，如圖5、圖6.

圖5

圖6

引導5:變式后的圖形看上去變得復雜，但方法還是可以遷移過來的，我們還會考慮哪兩個三角形全等？需要構造哪個三角形？圖上標記出△ECF，想想如何構造△AGE？同學們試試，待會請同學分享你的探究結果.

圖7

圖8

設計意圖：學生通過這樣的嘗試畫圖，如圖7和圖8，對畫圖和分類討論、遷移能力等有更深的體悟.給足學生畫圖探究的時間，學生的思維才會在經歷的過程中留下成長的足跡.在學中做，在做中學，是學生最喜歡的成長方式.同時點G的尋找，也可以看成點E繞點B逆時針旋轉90°，構造等腰直角三角形而得到.

圖9

引導6：如圖1，構造與△ECF全等的三角形還有其他方式嗎？這里有AE⊥EF，又需證明AE=EF，說明AE與EF是既垂直又相等，是否聯想到把△ECF繞點E旋轉90°這個思路來構造全等三角形呢？如圖9，把點C繞點E逆時針旋轉90°到點G，連接AG，是否能證明△AGE≌△FCE？

引導7：如圖9，易證∠AEG=∠FEC，EG=EC，其中∠ECF=135°，如何推導∠AGE=135°，即需要證明點A，G，C共線.進而能深入思考：由∠ECG=45°和∠ACB=45°得點A，G，C共線.如果不去證明A，G，C三點共線，而是過點E作EG⊥BC交AC于點G，那么能證明△AGE≌△FCE嗎？試一試，再分析圖10和圖11的情況.

圖10

圖11

引導8：我們把△AEC繞點E順時針旋轉90°去構造和△ACE全等的三角形，即過點E作EG⊥BC交CF或其反向延長線于點G是否可以構造全等三角形解決問題呢？如圖12，挑選一種進行證明.

圖12

圖13

引導9：能否過點F作FH⊥BC交BC的延長線于點H(如圖13)去證明AE=EF？

引導10：對于解決正方形、長方形、等邊三角形等特殊的幾何圖形中線段的位置或數量關系，我們也可以將圖形放入直角坐標系內研究，運用兩直線垂直時，兩條直線的斜率之積為-1及兩點之間距離公式也可以解決這個問題.大家可以嘗試幾何問題代數化求法.

設計意圖：本題的證明可以構造手拉手型模型、一線三等角模型等來解決，讓學生感悟模型的構造，能用數學模型的眼光觀察幾何圖形，發現隱性的數學模型，從而使解題有章可循，有法可依，又能從多個角度思考問題，培養思維的多樣性.

分析：(1)如圖12.

圖12

(2)如圖13和圖14.

圖13圖14

①當AD=AE時，由2x+x=30°+30°，得x=20°.

②當AD=DE時，由30°+30°+2x+x=180°，得x=40°.

所以x的值是20°或40°.

點評：從上面的探究可以發現，利用方程和角之間的關系，可求解有關角的問題.

本文從形、點、線三個方面探討了三角形的新定義問題.一方面，開闊了學生的視野，從新的視角關注三角形中一些特殊的點與線段，它屬于知識新的增長點；另一方面，將舊知識融合在新知識里，發揮舊知識在解決新問題時的價值，提高了學生創造性解決問題的能力.Z