數(shù)學(xué)模型思想滲透的教學(xué)與思考*
——以“用一元二次方程解決問題（1）”為例

孫 凱

模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的基本手段。

在初中階段，滲透模型思想是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力的主要路徑。但在實(shí)際教學(xué)中，教師對模型思想的認(rèn)識和理解不夠深刻，對模型思想的發(fā)掘和滲透不到位，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)模型認(rèn)識模糊、建構(gòu)模型能力不足。本文以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第一章“用一元二次方程解決問題（1）”為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、教材簡析

1.對教材的理解

“用一元二次方程解決問題”是蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第一章“一元二次方程”第4節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，教材在此小節(jié)設(shè)置了3課時教學(xué)內(nèi)容，每課時編排兩個典型問題。本課為第1課時，教材中設(shè)置的兩個問題分別為“面積問題”和“增長率問題”。兩個問題與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，符合初中生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗，有利于初中生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，使學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中體會一元二次方程模型是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

在教學(xué)時，教師不應(yīng)過于側(cè)重實(shí)際問題的歸類教學(xué)，而應(yīng)淡化對問題的歸類，將教學(xué)重點(diǎn)聚焦于“類屬問題”的本質(zhì)上——數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。這才符合教材編寫者的真實(shí)意圖，也是進(jìn)行實(shí)際問題教學(xué)的應(yīng)有之義。

2.教學(xué)目標(biāo)與解析

【教學(xué)目標(biāo)】經(jīng)歷和體驗用一元二次方程解決“增長率問題”和“面積問題”的過程，進(jìn)一步體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型［1］，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力；會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，能檢驗所得的結(jié)果是否符合實(shí)際意義；經(jīng)歷引模、建模、解模、驗?zāi)５臄?shù)學(xué)建模過程，進(jìn)一步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決實(shí)際問題的能力。

【解析】從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，在“面積問題”中，建立一元二次方程模型是沒有障礙的。而在“增長率問題”中，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗停留在“一次”增長上，往往對“二次”增長不太理解。因此，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)指向?qū)W生經(jīng)歷和體驗建構(gòu)數(shù)學(xué)模型求解問題的過程，重點(diǎn)是滲透模型思想，幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，使學(xué)生在分析求解實(shí)際問題的過程中建構(gòu)不同的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

二、教學(xué)過程

（一）模型回顧

引問：母親節(jié)期間，鮮花店里的某種鮮花價格上浮了20%，小明花18元買了一束鮮花送給媽媽，求這束鮮花原來的價格。

【教學(xué)意圖】本環(huán)節(jié)對教材上的問題順序進(jìn)行了調(diào)整，先呈現(xiàn)增長率問題，從學(xué)生熟悉的“一次”增長問題著手，為“二次”增長的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，有利于學(xué)生回顧用方程求解實(shí)際問題的一般步驟，喚醒其建構(gòu)方程模型求解實(shí)際問題的認(rèn)知經(jīng)驗。

【效能分析】學(xué)生能理解“引問”中的數(shù)量關(guān)系，并總結(jié)用一元一次方程解決問題的一般步驟——審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、求解、檢驗、作答。本題使學(xué)生初步體會從“起始數(shù)”到“終端數(shù)”的變化規(guī)律，初步感悟一次增長的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，為二次增長模型的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）模型建構(gòu)

【問題1】某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達(dá)到3600元，平均每月利潤增長的百分率是多少？

【教學(xué)意圖】問題1屬于“二次增長型”增長率問題。在引問的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生遷移認(rèn)知經(jīng)驗，將“一次增長模型”拓展至“二次增長模型”，建立一元二次方程模型，使學(xué)生經(jīng)歷引模、建模、解模、驗?zāi)５臄?shù)學(xué)建?；顒舆^程，對獲得的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步抽象、概括，形成“增長率模型”a（1+x）2=b。

【效能分析】學(xué)生在“一次”增長的認(rèn)知基礎(chǔ)上獲得一元二次方程模型2500（1+x）2=3600。在求解該方程模型時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考選用哪種解法比較合理，幫助學(xué)生完成求解模型的任務(wù)。在此環(huán)節(jié)，適時滲透模型思想，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將“起始數(shù)2500”和“終端數(shù)3600”符號化，使學(xué)生體會一類實(shí)際問題中穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)模型的視角理解實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【問題2】在淘寶網(wǎng)上購買了60m的柵欄圍成矩形場地。（1）寫出圍成的矩形場地面積y（m2）與長x（m）之間的關(guān)系式；（2）能圍成面積為200m2的矩形場地嗎？（3）能圍成面積為240m2的矩形場地嗎？

追問：你能提出一個有關(guān)面積的問題嗎？

【教學(xué)意圖】問題2屬于“矩形面積”問題。教師可先安排學(xué)生畫圖，引導(dǎo)其從幾何直觀的視角體會面積問題，感悟數(shù)學(xué)模型的幾何意義。在60m柵欄的實(shí)際背景下，設(shè)置了3個問題。第一個問題驅(qū)動學(xué)生獲得函數(shù)模型y=x（30-x），感悟矩形面積會隨長度的變化而變化，為建構(gòu)一元二次方程模型奠定基礎(chǔ)。后兩個問題涉及具體的矩形面積，即對面積y賦值，將函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為方程模型，驅(qū)使學(xué)生自覺感悟函數(shù)（二次函數(shù)）與方程（一元二次方程）的內(nèi)在聯(lián)系。追問環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)學(xué)生會提出矩形場地面積最大的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“配方法”求最值，為后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下堅實(shí)基礎(chǔ)。

【效能分析】學(xué)生能畫出矩形輔助分析問題，寫出y=x（30-x）的函數(shù)模型，進(jìn)一步將y更換為200或240，求解一元二次方程，獲得數(shù)學(xué)結(jié)果。在追問環(huán)節(jié)，學(xué)生能說出“圍成正方形時面積最大”，但面對“為什么圍成正方形時面積最大”這一問題，學(xué)生往往不能作出合理解釋。此時，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用配方法解決最大值問題。

（三）模型應(yīng)用

【習(xí)題】1.某服裝原價每件80元，經(jīng)過兩次降價，現(xiàn)售價每件51.2元。求該種服裝平均每次降價的百分率。

2.某商品連續(xù)兩次降價10%后價格為a元，則該商品的原價為（ ）。

3.一塊長方形菜地的面積是150m2。如果它的長減少5m，那么它就成為正方形菜地。求這個長方形菜地的長和寬。

4.學(xué)校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（如圖1），面積是30m2。求生物園的長和寬。

（圖2）

【教學(xué)意圖】本環(huán)節(jié)的4個問題分別對應(yīng)了增長率模型和面積模型。其中題1、題2是對增長率模型的拓展，將“增長”拓展至“降低”，使學(xué)生在解決“新問題”的過程中體悟?qū)嶋H問題背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步完善為a（1±x）2=b。題3、題4是對面積模型ab=c的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生從問題中找到長、寬、周長、面積之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。

【效能分析】學(xué)生從題1中能正確建立一元二次方程模型，但在求解模型時，部分學(xué)生出現(xiàn)求解錯誤甚至不會求解的現(xiàn)象。題2相對簡單，學(xué)生能正確建立模型并出示結(jié)果。題3教師可引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析題意，完成設(shè)、列、解、驗等步驟。在題4中，學(xué)生在建立模型求解出結(jié)果后，有很多學(xué)生不知道或者不會檢驗，因而教學(xué)中應(yīng)及時予以強(qiáng)化。

（四）總結(jié)提升

本環(huán)節(jié)教師安排學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)情況，思考、討論、交流、提升。（板書見圖2）

（圖2）

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模的視角總結(jié)建立一元二次方程解決問題的過程，滲透模型思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

【效能分析】借助板書設(shè)計總結(jié)利用一元二次方程解決問題的數(shù)學(xué)建模過程，幫助學(xué)生體悟模型思想。

三、教學(xué)思考

1.對模型思想的再認(rèn)識

史寧中教授指出數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型。其中模型是數(shù)學(xué)世界連接外部世界的橋梁。［2］

研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》不難發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)注重在代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容中滲透模型思想，從而幫助學(xué)生建立模型觀念。因此，在代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)對象，進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型，這是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。就本節(jié)課而言，教師設(shè)計適切的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次方程模型，體會模型思想是教學(xué)的核心。因此，在初中學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是解決實(shí)際問題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析問題，建立數(shù)學(xué)模型并求解問題，在認(rèn)知系統(tǒng)中逐步建立模型思想尤為重要。

2.對模型思想滲透的再思考

（1）為什么要滲透

滲透模型思想是義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育明確的目標(biāo)要求［3］，應(yīng)在發(fā)展學(xué)生的符號意識、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想和應(yīng)用意識等方面有所作為。因此，教師應(yīng)注重在解決實(shí)際問題的過程中滲透模型思想，使學(xué)生體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

（2）如何滲透

數(shù)學(xué)模型思想滲透教學(xué)一般分為模型回顧、模型建構(gòu)、模型應(yīng)用三個環(huán)節(jié)。模型回顧是指新模型學(xué)習(xí)前的認(rèn)知基礎(chǔ)，通過問題喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)模型認(rèn)知經(jīng)驗，為建立新模型奠定基礎(chǔ)。模型建構(gòu)是指在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上的同化或順應(yīng)，建立新的數(shù)學(xué)模型。模型應(yīng)用是指運(yùn)用新的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，使學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程中體會模型思想。

本節(jié)課模型思想滲透的三個環(huán)節(jié)以此為基礎(chǔ)，具體為：（1）模型回顧，引導(dǎo)學(xué)生回顧曾經(jīng)研究過的一元一次方程模型，喚醒經(jīng)驗；（2）模型建構(gòu)，以問題1、問題2為載體，驅(qū)動學(xué)生自主建構(gòu)二次函數(shù)、一元二次方程、一元一次不等式（組）等數(shù)學(xué)模型，體會不同數(shù)學(xué)模型的特征及內(nèi)在聯(lián)系；（3）模型應(yīng)用，呈現(xiàn)四個拓展性的問題情境，促使學(xué)生運(yùn)用習(xí)得的數(shù)學(xué)模型解決新的實(shí)際問題。

3.對培養(yǎng)建模能力的再理解

在初中階段，教師越來越重視在教學(xué)中滲透模型思想，但如何滲透模型思想、哪些教學(xué)內(nèi)容適合滲透、滲透到什么程度等問題依然困擾著很多教師。事實(shí)上，滲透模型思想的教學(xué)價值指向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。需要說明的是，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透模型思想、開展綜合實(shí)踐活動是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力的主要路徑，其中滲透模型思想是常規(guī)的、適切的、有效的培養(yǎng)路徑。