數學教學培養跨學科能力的研究與實踐*

顧亞東

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下稱《課標》）明確要求“教師應不斷學習、探索、研究、實踐，提升自身的數學素養，了解數學知識之間、數學與生活、數學與其他學科的聯系，開發出符合學生認知規律的優秀案例”［1］。近幾年的高考試題越來越重視對跨學科知識的考查，如2022年高考數學試卷考查了南水北調、垃圾分類、生態環境建設、嫦娥二號環日飛行、地方性疾病與居民衛生習慣的關系等，2021年新高考Ⅱ卷考查的衛星導航問題涉及數學、物理、地理等學科。

學科知識體系是一個整體，研究某一領域問題時，可以把其他領域的知識融合進去，思考時應跳出局部看整體，綜合起來解決問題，這就是跨學科能力。教師在教學時應從整體上做出全局性考慮，引導學生建構科學的知識結構，培養學生的跨學科能力，提高學生解決問題的能力，將學生培養為能解決復雜性、綜合性問題的人才。

一、如何在數學教學中培養跨學科能力

1.全面掌握學科基礎知識

跨學科能力是建立在學科基礎知識之上的，根據研究的具體對象，需要將不同的學科知識有機融合在一起。其中數學作為基礎學科和工具學科，有著至關重要的作用，以數學為載體進行跨學科教學可以事半功倍。生活中到處有數學，用數學的眼光觀察世界，就會發現數學是打開自然界奧秘的一把“萬能鑰匙”。

2.提升學生的思維品質

第一，提升思維的創造性。創造性思維包括逆向思維、發散思維、類比思維、分合思維和歸納思維等，有助于學生發現問題、思考問題，并創造性地解決問題。第二，提升思維的批判性。批判性思維能夠幫助人們從不同角度辯證地看待問題，使得考慮問題時更加全面深刻。提升思維的批判性可以提高學生的自我認識，從而不斷改進和完善學習方法。第三，提升思維的系統性。系統性思維是全局性的、動態的思維，能夠使學生把握系統內部與外部、內部與整體、外部與整體之間的關系，有利于學生不斷整合各種信息，處理好各種矛盾。

3.進行STEM學科融合教學

不少學校為了提升學生的跨學科能力，陸續開設了STEM課程，但在實際教學中還是缺乏學科融合。其實開設STEM課程的真正目的不是深化某些重要學科或這些學科中的重要原理，學生真正要學習的是這門學科背后的思維方式，學校可以利用傳統文化、鄉土文化、校本資源來編制學習材料，如剪紙畫、雕版年畫、漢畫像石、抖空竹、太陽能發電等。這樣的校本課程涉及許多跨學科知識，使學生在參觀、學習、討論的過程中提高跨學科能力，在做好局部優化的同時，還應兼顧整體的協調一致。

二、數學教學中培養跨學科能力的實踐

下面，筆者以“數理結合解決運動合成問題”的微專題教學為例，談一談如何在數學教學中培養學生的跨學科能力。

師：數學中向量的線性運算與物理中的運動合成一直讓不少學生感到困惑，下面我們來共同攻下這個“堡壘”。先來看例1，請同學們思考并解答。

【例1】某人騎電動自行車以8km∕h的速度在無風的天氣中向東行駛，求其能感覺到的風的速度的方向及大小。

生1：以人為參照物，則地面相對于人具有向西的8km∕h的速度，又因為無風，風對地是靜止的，所以風相對于人也具有向西的8km∕h的速度，這就是人感覺到的風速。

師：非常好。我們學習了向量，能否用向量來刻畫這一過程呢？

生2：以人為參照物，那么風對于人的速度等于風對于地的速度與地對于人的速度的向量之和。

師：生2利用了三角形或平行四邊形法則，可以簡記為：V風對人（車）=V風對地+V地對人（車）。下面，我們來看看例2。

【例2】某人以10km∕h的速度騎車向東行駛，此時雨點豎直向下，速度為10km∕h，求其感覺到的雨速的方向及大小。

（圖1）

師：有了第一題的鋪墊，這題順利得解。因為速度是向量，這些速度的合成滿足向量合成的共同法則——平行四邊形法則，具體的表達式為V雨對人（車）=V雨對地+V地對人（車）。這就是人在冒雨騎車時，前胸被雨打濕得更嚴重的原因。再來看小船渡河問題。

【例3】長江某地南北兩岸平行，河寬d=1km，船在靜水中的航行速度V1的大小為|V1|=10km∕h，水流的速度V2的大小為|V2|=5km∕h，欲使船渡河時間最短，船應怎樣渡河？

生4：如圖2，小船應該沿著垂直兩岸方向向對岸行使，時間應該是河寬除以船速，得0.1h。

（圖2）

師：非常好，小船渡河問題的實質也是運動合成問題。船的實際速度是怎樣合成的？

生5：由水速與船在靜水中的速度合成的。

師：運動合成問題有何共同點？

生6：首先必須是向量的合成；然后分運動的時間相等，合起來為實際運動。

師：非常到位，運動的合成是指位移、速度以及加速度的合成，實質是數學中的向量線性運算。請大家完成下面兩題。

【變式1】欲使船航行距離最短，船應怎樣渡河？

【變式2】|V1|=2.5km∕h時，欲使船渡河距離最短，船應怎樣渡河？

筆者將這一微專題安排在向量的應用部分，利用剛學習完向量的熱度，順帶幫學生解決物理中的易混點，能夠由淺入深地激發學生興趣。本微專題設置合理的梯度，螺旋式上升，生5總結完畢后，學生逐漸掌握了運動合成、分解等知識，很順利地畫出圖3和圖4，得到變式1應該滿足合速度垂直于對岸，變式2應該滿足船速垂直于合速度。在這一專題中，學生運用數學工具解決物理問題，物理問題反過來又能夠讓學生加深對數學知識的理解和應用。在學生掌握了運動合成規律之后，很多問題諸如航海追擊、太空對接、導彈攔截等都變得容易理解了，這就是數理結合的魅力。這樣的學科融合教學，能讓學生從不同角度研究問題，綜合能力獲得了提高，比起機械刷題更有利于創新人才的培養。數理、數地、數化，數學與美術乃至數學與信息等學科的融合教學，值得每一位數學教師深入研究。

（圖3）

（圖4）

三、總結與反思

當前，跨學科能力的培養越來越受到重視，各地方也開展了跨學科教學探索，但在跨學科教學實踐過程中還存在一些不足之處。例如，有的教師將幾門學科知識簡單拼湊就當作跨學科教學、各學科的跨學科教學參差不齊等。這些都是對跨學科教學的誤解，在跨學科教學的過程中，教師應注意以下三點。

1.正確處理好分科教學與跨學科教學的關系

分科教學是跨學科教學的基礎，學生只有全面掌握了分科知識，才能使得跨學科成為可能。如果拋棄分科，一味追求跨學科教學，就會使得知識變得混沌，教學效率低。跨學科教學應該在學生學習并掌握分科知識之后，在恰當的時機、恰當的地方進行科學的融合，這樣才能使跨學科教學效益最大化。

2.加強相關學科之間的交流與研討

跨學科教學要求各位教師不僅掌握各自學科和學科交叉知識，還要加強合作交流，實現優勢互補。例如，地理教師在講解“四季變化及晝夜交替”時，可以從教學順序、教學方法、教學分工等方面，分析怎樣才能教學最優化，數學教師則可以引入相關地理知識，地理教師也可以給學生教授立體幾何知識。

3.分析研究高考新動向

從目前的情況看，新高考中的試題注重以應用題為載體來加強對跨學科教學的考查，《課標》也為跨學科教學指明了方向。在數學與美學的融合中，要注重研究數學的簡潔美、對稱美、周期美、和諧美，例如太陽、圓盤、車輪、DNA雙螺旋結構等；在數學與音樂的融合中，可注重研究聲波與三角函數，音階與數列，樂器、樂曲中的數學等；在數學與繪畫的融合中，要關注對稱與黃金分割、畫家的數學思想研究；在數學與體育的融合中，可以從運動場中的數學原理、運動成績的數據處理、比賽中的概率等方面開展。再比如，光刻機技術、人工智能、自動駕駛等也宜為各科教師所關注的熱點，它們是解決實際問題和發明創造的切入點，更能培養學生的數學應用思想和建模能力。