淺談高三數學試卷中題目的命制
——一道導數壓軸題的“誕生記”

郝培德

(浙江省杭州學軍中學 310012)

作為一名教師，我們不僅要注重課堂教學，命制試卷也是我們的必修課.一份數學試卷的題目從難度上大致分成簡單題、中檔題、難題三個檔次.簡單題主要考查基本知識、基本技能等，目標在于考查學生對數學基礎知識的掌握程度，命制的時候可以從概念、技能本身出發；中檔題主要是對重難點知識的考查，主要從思想方法、計算技巧、知識整合能力等方面進行命制；難題主要考查學生的綜合能力，譬如分析能力、邏輯推理能力、知識遷移能力、計算能力等，在整張試卷中起到區分度的作用.試題的命制有兩類：改編和原創，現筆者通過介紹自己原創的一道導數壓軸題(第22題)的過程，淺談如何命制一道題目.具體過程分為以下五個步驟.

1 立意——考什么？

P·R·哈爾莫斯曾說過：“問題是數學的心臟.”所以在試卷命制過程中，考什么很重要.根據高三備考和選題要求，要緊抓教材內容和考綱.在人教版導數章節前言中這樣寫道：導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數增減、變化快慢、最值等問題的基本方法.浙江省高考數學考綱中對導數部分的要求是：了解導數的概念和背景，理解導數的幾何意義；會計算基本初等函數及簡單的復合函數的導數；函數的單調性與導數的關系；函數的極值與最值等.基于以上內容決定本次命題以導數的幾何意義、單調性以及極值點為出題方向，再結合參變量的討論.

2 選擇模型——函數f(x)的形式

首先構建以下函數模型：f(x)=ex-alnx、f(x)=ex+alnx，f(x)=aexlnx，這里可以用幾何畫板先把函數圖象畫出來，然后通過參數a的變化研究函數圖象的性質，但是這幾個函數圖象均未達到筆者所希望的要求(幾何畫板演示部分省略)，所以重新構造函數：f(x)=aex-xlnx(a>0)，函數圖象如圖1，圖2：

圖1

圖2

參數a在變化的時候，函數f(x)的圖象可在定義域內單調遞增，也可在定義域內有兩個極值點，這就為我們研究函數性質提供多種可能，所以就選定此函數為本題的函數模型.

3 問題設置

根據初始所定的考點設置問題，首先確定本題有三問，難度層層遞進：第一小問設定為求切線方程(考查學生求導能力及導數的幾何意義，屬于簡單題)；第二小問設定根據函數的單調性求參數a的范圍(考查函數的導數與單調性的關系，以及關于含參恒成立問題，屬于中檔題)；第三小問設定討論參數a與函數f(x)的極值點或者零點之間的關系(考查學生數學推理的綜合能力，屬于難題).這樣設定難易梯度既考慮到壓軸題要讓大部分學生能做的同時又可以體現區分度．

第一小問和第二小問在下一步驟再展示給大家，這里主要展示第三問成型的過程：

由圖1可知存在參數a使得函數f(x)有兩個極值點：xM和xN．

依據幾何畫板作圖，參數a取值變化影響兩個極值點的大小，但是我們可以得到如下不等式：

若函數f(x)在定義域內有兩個極值點x1，x2(x1

當參數a小于某個值時，函數f(x)有兩個零點，具體如圖1：xD和xE．

根據參數a以及兩個極值點和兩個零點的大小我們可以得到如下不等式：

利用參數a的變化以及相應零點和極值點的大小可以構造出很多不等式，但是構造的不等式證明的可行性需要研究，并不是所有構造出來的不等式都可以順利證明．同時也因為筆者能力有限，構造出來的不等式，憑借數學直覺是對的，但是無法給出具體證明．通過對上面不等式證明的可行性探究，最后形成下面考題．

4 題目成型

題目已知函數f(x)=aex-xlnx(a>0).

(1)若a=1，求函數f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若函數f(x)在定義域內單調，求實數a的取值范圍；

解析(1)f′(x)=ex-lnx-1，f′(1)=e-1,f(1)=e， 所以函數f(x)在x=1處的切線方程是：y=(e-1)x+1.

(2)由題知f′(x)=aex-lnx-1，因為a>0，所以當x→+∞時，f′(x)→+∞，所以函數f(x)在定義域內單調遞增，即f′(x)≥0恒成立.

下面證明：

所以h(x)在(1,+∞)上單調遞增.

5 過程反思

命制題目有以下四個步驟：立意→確定模型→問題設置→題目成型.在命制過程中可利用一些軟件，譬如幾何畫板或者GeoGebra軟件作圖，尤其是函數問題，畫出圖象會更直觀地感知函數的性質，方便設置題目.當然在命制題目時可以選擇改編，這樣就可以省掉一些步驟.關于本題也有些許遺憾，第三問不等式的設置起點高，讓一些優秀的學生無從下手，這樣導致全對的同學偏少，同時學生剛剛完成一輪復習，大部分學生對函數的理解還不深刻，對數學基本方法和技巧應用的不熟練，如果這道題目放到二輪復習階段進行測試，結果會好一些.

作為一線數學教師，我們不僅要會做題、會教書，同時也要根據學生的特點去命題.平時教學中我們常常教導學生要揣測命題人的意圖，那么我們教師也可以轉換角色作為命題人，在講解問題時可以全面地教導學生思考每一個問題的意圖.誠如著名數學家Jacobi把數學比喻成畫家或者詩人的創作一樣——是思想的綜合.教師所精心命制的每一道數學題，也是我們的杰作，是我們教師對學生的認知和教學內容的有機結合.