近五年高考數(shù)學(xué)文化命題的特點(diǎn)與啟示

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

顧沛教授說(shuō)數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.新課標(biāo)中多次指出要將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容、融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中和滲透在日常教學(xué)中，體現(xiàn)出時(shí)代性，特別是如何將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)美融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一個(gè)重要課題，通過(guò)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)生過(guò)程和思想方法的形成過(guò)程，一方面可以使學(xué)生感受豐富多彩的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，做好文化傳承，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，另一方面也有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解和其思想方法的掌握.

1 數(shù)學(xué)文化命題統(tǒng)計(jì)以及特點(diǎn)分析

1.1 近五年數(shù)學(xué)文化命題統(tǒng)計(jì)

表1 2017-2021年高考卷中數(shù)學(xué)文化命題特點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

1.2 數(shù)學(xué)文化命題特點(diǎn)分析

從以上統(tǒng)計(jì)我們可以看到：(1)數(shù)學(xué)文化背景題理科考查比文科多.全國(guó)卷基本每年都有涉及，已經(jīng)成為常態(tài)，通過(guò)對(duì)比，每年題量相當(dāng)；(2)可以看出題型以選擇填空題呈現(xiàn)，并且以中國(guó)古代文化瑰寶文獻(xiàn)摘取居多，國(guó)外文化藝術(shù)也有涉及，比例不大.全國(guó)卷以外的浙江卷除了2020年每年都會(huì)涉及數(shù)學(xué)文化題，都是關(guān)于中國(guó)古代文化；(3)從考查知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容可以看出有解三角形、幾何體體積、圖形面積、數(shù)列以及求和、幾何概型、古典概型、曲線與方程以及不等式等；(4)數(shù)學(xué)文化為背景的考查最終落腳點(diǎn)還是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，由于閱讀量較大和語(yǔ)境陌生等原因，題的難度才會(huì)加大，只有在平時(shí)加強(qiáng)閱讀量，才能夠很快進(jìn)入題意語(yǔ)境，理解題意，分析題意，然后通過(guò)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)工具去解決問(wèn)題.

2 命題趨勢(shì)與經(jīng)典例題賞析

2.1 以中國(guó)文化瑰寶為背景

我國(guó)歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，燦爛文化更是民族的驕傲，由于語(yǔ)言的障礙，今天的我們對(duì)老祖宗留下的財(cái)富知之甚少，對(duì)其研究者更是寥寥無(wú)幾.盡管古代研究沒(méi)有像西方那樣形成研究風(fēng)尚，讓更多的國(guó)人通曉其精妙之理，但我們的研究功不可沒(méi)，造詣更是非凡，比如《數(shù)書九章》《周易》《數(shù)術(shù)記遺》《四元玉鑒》《算經(jīng)十部》等很多成果領(lǐng)先其他國(guó)家很多年之久.借助今日體系之研究，理解古人博大的文化底蘊(yùn)，增強(qiáng)民族自豪感，以此激勵(lì)更多的人在學(xué)術(shù)無(wú)國(guó)界的知識(shí)海洋里探索、追求尋找更加奇妙的萬(wàn)物之規(guī)律，為人類造福祉，為求真理孜孜不倦.

圖1

故選B.

評(píng)注《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十部》中最重要的一部，總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，最早提到分?jǐn)?shù)問(wèn)題、盈不足問(wèn)題、負(fù)數(shù)和加減運(yùn)算法則問(wèn)題等，分別囊括“方田”(平面幾何圖形面積計(jì)算包括長(zhǎng)方形、三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形和圓環(huán)以及分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算)、“粟米”(谷物糧食比例折換和比例分配法則)、“衰分”(比例分配問(wèn)題)、“少?gòu)V”(已知面積和體積求邊長(zhǎng)、開(kāi)平方和開(kāi)立方)、“商功”(土石工程、體積計(jì)算和工程分配方法)、“均輸”(正反比例、比例分配、復(fù)比例和連鎖比例等)、“盈不足”(雙設(shè)法問(wèn)題、盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足等問(wèn)題)、“方程”(一次方程組、分離系數(shù)表示線性方程組即矩陣、矩陣初等變換、負(fù)數(shù)、正負(fù)數(shù)加減法則和正負(fù)數(shù)乘除法)、“勾股”(勾股數(shù)問(wèn)題)等九個(gè)方面.

例2(2021屆西安中學(xué)模擬)《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)14種計(jì)算器械的使用方法.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計(jì)算器械，則不同的分配方法有( ).

評(píng)注此題主要考查排列組合計(jì)算，考查平均分組是需要注意的地方，考查本身與書中算法沒(méi)有關(guān)系，從表面形式讓學(xué)生了解古代文化經(jīng)典的大概內(nèi)容.

2.2 以外國(guó)數(shù)學(xué)文化為背景

柏拉圖說(shuō)，打開(kāi)宇宙之謎的鑰匙是數(shù)學(xué)和幾何圖形.外國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展以追求理性為動(dòng)力，特別是早期古希臘哲學(xué)家以畢達(dá)哥拉斯最為出名，開(kāi)始了研究數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，還有亞里士多德對(duì)于理論科學(xué)特別是數(shù)學(xué)的研究，被他稱為形而上學(xué)的第一哲學(xué)，學(xué)問(wèn)之起點(diǎn).當(dāng)然還有泰勒斯、歐幾里得、阿基米德、高斯、牛頓、笛卡爾、柯西和泰勒等數(shù)學(xué)家的研究，讓數(shù)學(xué)的皇冠耀眼輝煌，充滿真理光輝，照耀著萬(wàn)物生靈，啟迪著未來(lái)智慧.

圖2

B．記第n個(gè)圖形的邊數(shù)為an，則an+1=4an；

D．記第n個(gè)圖形的面積為Sn，則對(duì)任意的n∈N+，存在正實(shí)數(shù)M，使得Sn

由各個(gè)圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列且q=4，所以an=3·4n-1，所以B正確；

當(dāng)n→∞時(shí)，圖形無(wú)限接近于圓，可得Sn

故選BCD.

評(píng)注“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺(tái)”，北京奧運(yùn)會(huì)的火炬在一朵巨大的雪花中閃爍升騰，張藝謀用“一朵雪花的故事”講述國(guó)人奧運(yùn)精神，科赫探尋雪花的奧秘后提出了著名的“雪花”曲線.

例4(2021屆衡水中學(xué)模擬)卡西尼卵形線是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的．在數(shù)學(xué)史上，同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)(叫做焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知卡西尼卵形線是中心對(duì)稱圖形且有唯一的對(duì)稱中心．若某卡西尼卵形線C兩焦點(diǎn)間的距離為2，且C上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積為1，則C上的點(diǎn)到其對(duì)稱中心距離的最大值為( ).

解析設(shè)左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則F1(-1,0),F2(1,0)．

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)，則

化簡(jiǎn)得該卡西尼卵形線的方程為(x2+y2)2=2(x2-y2)，顯然其對(duì)稱中心為(0,0)．

故(x2+y2)2=2(x2-y2)=-4y2≤0.

所以(x2+y2)2≤2(x2-y2).

所以0≤x2+y2≤2.

故選B.

評(píng)注卡西尼卵形線是天文學(xué)家喬凡尼·卡西尼對(duì)卵形線的研究結(jié)果，他還是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)土星的四個(gè)衛(wèi)星的人，發(fā)現(xiàn)了土星光環(huán)間的暗縫即卡西尼縫，有個(gè)以他命名的土星探測(cè)器“卡尼西號(hào)”.

2.3 以科技成果和生活日常為背景

日新月異的今天，現(xiàn)代科技的發(fā)展使得數(shù)學(xué)發(fā)展顯得尤為重要.懷特說(shuō)工匠后面是化學(xué)家，化學(xué)家后面是物理學(xué)家，物理學(xué)家后面是數(shù)學(xué)家.數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的起點(diǎn)，數(shù)學(xué)也造就了今日科技發(fā)展，借助新的科技成果，讓學(xué)生走近科學(xué)和了解科學(xué)，解開(kāi)科技神秘面紗，讓學(xué)生知道平時(shí)所學(xué)即是現(xiàn)代科技的基礎(chǔ)，從而坦步走進(jìn)科學(xué)殿堂，追尋真理智慧之光.

例51970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開(kāi)啟了人造衛(wèi)星的新篇章，人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.如圖3，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論不正確的是( ).

圖3

A．衛(wèi)星向徑的最小值為a-c

B．衛(wèi)星向徑的最大值為a+c

C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁

D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

解析根據(jù)題意，向徑為衛(wèi)星與地球的連線，即橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的距離.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)有：衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，衛(wèi)星向徑的最大值為a+c，所以A,B正確.

衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí),其向徑最小，由衛(wèi)星的向徑在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，則衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，同理在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，所以D不正確.

例6(2022屆合肥市聯(lián)考)如圖4，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開(kāi)，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為( ).

圖4

解析如圖5所示，由題意可知|AB|=2.6.

圖5

在△ABC中，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，所以|BD|=1.3，|CD|=1.1.

又因?yàn)锳C=BC，所以AB⊥CD.

除了以上介紹的數(shù)學(xué)文化命題，還有很多，比如南宋楊輝的《日用算法》中有度量衡換算、土地丈量、倉(cāng)窖容積、建筑工程、商品交換以及日常生活中與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題，《楊輝算法》中記錄了世界上第一個(gè)排列縱橫圖(即幻方)，并且從中總結(jié)出構(gòu)成規(guī)律的理論知識(shí)，改進(jìn)乘除計(jì)算算法；垛積術(shù)即高級(jí)等差數(shù)列的研究以及等差數(shù)列求和公式；楊輝三角(準(zhǔn)確說(shuō)是賈憲三角)是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的幾何排列.我國(guó)古代樂(lè)理、圍棋、中藥和建筑等方面都有很深的造詣.外國(guó)數(shù)學(xué)文化題也有很多，比如歐拉線、斐波那契數(shù)列和高斯函數(shù)等.教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，關(guān)注時(shí)政與數(shù)學(xué)的應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學(xué)與科技的融合，更應(yīng)該關(guān)注新教材和新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)文化滲透和教學(xué)，重視課本閱讀材料和例題應(yīng)用，以此內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)立德樹(shù)人的任務(wù).