巧用等和線解決向量雙變量問題

代趙玉 許志城 魏俊潮

(1.江蘇省揚州大學數學科學學院 225002；2.江蘇省泰州中學數學教研室 225300)

在解決兩個向量的系數之和、線性關系式與最值(取值范圍)問題時，利用向量等和線求解比常規方法更顯優勢.此類問題的源頭可以追溯到教材向量部分的例習題編寫，基于此，研究者們開展一系列探索與研究.吳莉娜(2021年)從人教版和蘇教版例習題出發，通過一系列變式問題層層深入探究，發現利用等和線結論可以巧妙地將復雜的求值、最值等一系列代數和問題轉化為幾何圖形問題，將具體的代數式運算轉化為距離的長度比例問題.楊瑞強(2022年)通過對普通高中教科書《數學》必修第二冊第26頁例1的深入探究與擴展，給出“等和線”的概念和重要性質，同時分類闡述利用“等和線”法解決幾類常見的平面向量線性運算的系數和(線性關系式)、最值(取值范圍)等題型，并指出了解題的關鍵步驟.楊德揚(2020年)、張玉虎(2019年)則主要研究等和線在求解系數和這一類問題中的應用，展現了等和線應用的簡潔與高效.

1 追本溯源——等和線定理

1.1 三點共線定理

1.2 等和線

2 等和線定理的應用

2.1 撥云見日——求兩變量的系數和

圖1 圖2 圖3

再將a,b的值代入化簡，得

現假設有x+y=m，則x=y-m.

代入上式化簡,得

25y2-18my+9m2-144(m-1)2=0.

解法2 (等和線法)如圖3，連接MN與AC交于點E，AC=5.

CM2+CN2=CM2·CN2=MN2.

即CM·CN=MN.

圖4 圖5

解法1 (常規解法)因為∠ACB=120°，所以∠APB=120°.

即有1=m2+n2-mn.

令m+n=t(t>1)，將上式化簡,得

(m+n)2-3mn-1=0.

安保系統實現故障降速、故障停車和緊急停車功能。出于安全性考慮，系統中安保控制模塊與其他模塊的通信主要通過雙冗余CAN網絡實現，同時重要的安保輸出(故障降速、故障停車)通過硬線連接作為備份。

即t≥2或t≤-2.則m+n最小值為2.

解法2 (等和線法)如圖5，過點P作線段AB的垂線，并與AB交于點D.

因為∠ACB=120°，所以∠APB=120°.

由等和線定理，得

因為PD是定值,則當PC⊥AB(PC=PB)時,m+n最小值為2.

2.2 延伸擴展——求兩變量的線性關系式

圖6 圖7 圖8

=9x2+4y2

=(3x+2y)2-12xy

根據等和線定理，得

當點P位于等和線EF上時,(3x+2y)min=1；

觀察三個例題的解法，常規解法是通過相關知識構建出二元二次方程，此時較難求出系數之和，這為解題增添了難度.而采用等和線法則是巧妙地將復雜的求值、最值等一系列代數問題轉化為幾何問題，將具體的代數式運算轉化為距離的比值問題，用統一的數學模型解決向量雙變量問題，完美地呈現了數學的數形結合之美，也充分體現了等和線解決雙變量問題的簡潔性、高效性.

向量等和線以平面向量基本定理為基礎，即一個向量可以用一組不共線的向量表示出來，此時兩基底的系數共同決定了第三條向量終點的位置，常用的結論是當系數之和為1時，即三條共起點的向量的終點在同一條直線上.由于高考題中很多向量題目都涉及雙變量系數和的問題，在遇到這類問題時，解題大體上可分為以下三個步驟：確定等和線值為1的線(即兩個基底的終點所在的直線)；平移該線，結合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；從長度的比值或點的位置兩個角度，計算最大值和最小值，如此便求得系數和的范圍.

而對于求解兩個系數的一般線性關系式問題，由于向量可以通過數乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮，所以所有系數的線性關系式都可以通過改變向量的基底，將所求系數的線性關系式轉換為兩個新的基底的系數和問題，最后再利用等和線三步驟解決問題.