深水作業機器人推進器布局建模及推力分配

陳曉虎，尚偉燕，楊先海，易新華，代瑞恒，孫陽

(1.山東理工大學機械工程學院，山東淄博 255000；2.寧波工程學院機械工程學院，浙江寧波 315000)

0 前言

深水基礎工程均在水面以下，其建造過程、后期維修均屬隱蔽工程，施工難度極大[1]。研發能穩定行進于深水環境的潛水器，代替人完成復雜環境下的工程任務，具有重要意義。遙控無人潛水器(Remotely Operated Vehicle，ROV)是水下工作的重要工具，在軍事偵察、搜索救援、水產養殖等多個領域廣泛應用[2-3]。推進器布置及推力分配對潛水器的運動和作業能力影響巨大。為保持深水工程作業機器人各自由度運動合理，就必須解決ROV水平推進器推力分配問題，以最小化能耗或最小推力輸出為優化目標將運動控制器產生的合力(矩)合理地分配到各推進器[4-6]。將ROV受到各個方向的力和力矩通過合理的推力分配方案使各推進器高效合理運行，可在降低能耗、減小誤差、延長設備壽命等方面發揮重要作用[7]。

推力控制分配本質是一個在約束條件下的最優化問題。常見推力分配方法主要有：基于數學規劃的優化方法、原始對偶法及其改進算法、偽逆法及其改進算法、序列二次規劃等[8-10]。偽逆法求解迅速、結構簡單，但輸出推力易飽和使推進器持續高功率工作；原始對偶法的理論簡單，有效解決推力飽和現象，但推力大小存在突變，降低了推進器使用壽命；序列二次規劃算法可解決線性與非線性約束優化的問題，避免推力過飽和與推力突變，更適用于水平推進器的推力分配問題[11]。

ROV依靠4個水平推進器完成縱蕩、橫蕩、艏搖的運動。研究ROV水平推進器對以上3個運動的影響，如圖1所示建立ROV本體坐標系O-XYZ，坐標系原點O坐落在ROV的重心上，OX軸在ROV的縱蕩方向上，OY軸在橫蕩方向上，OZ軸沿垂蕩運動的方向。

ROV四個水平推進器的安裝位置如圖2所示。圖中T1、T2、T3、T4分別為4個推進器產生的推力，其中推進器1安裝在ROV船艏左側，推進器2安裝在ROV船艉左側，推進器3安裝在ROV船艉右側，推進器4安裝在ROV船艏右側。4個水平推進器都安裝沿OX方向與坐標系原點O相距D1、沿OY方向與坐標系原點相距D2的位置，安裝角度均為θ。

圖1 ROV本體坐標系

圖2 ROV水平推進器布局

1 ROV水平推進器數學建模

根據圖2所示的ROV水平推進器布局，可以得出各水平推進器的參數見表1。

表1 水平推進器參數

ROV運動過程中，在水平面內受到的外力可以分解為縱向阻力、橫向阻力及偏航阻力矩，因此水平推進器所產生的合力需要能夠應對3種外力的影響，其合力亦可分解為縱向力K、橫向力M及偏航力矩N。因此每個推進器產生的推力可以如圖3所示沿OX和OY進行分解。

圖3 推進器推力分解

圖3中：Tix=Ticosθ，Tiy=Tisinθ。推進器產生的縱向力與橫向力分別為

K=T1x-T2x-T3x+T4x=T1cosθ-T2cosθ-

T3cosθ+T4cosθ

(1)

M=-T1y-T2y+T3y+T4y=T1sinθ+T2sinθ-

T3sinθ-T4sinθ

(2)

產生的偏航力矩為

N=T1xD2+T1yD1-(T2xD2+T2yD1)+T3xD2+T3yD1-(T4xD2+T4yD1)=T1(D2cosθ+D1sinθ)-T2(D2cosθ+D1sinθ)+T3(D2cosθ+D1sinθ)-T4(D2cosθ+D1sinθ)

(3)

進而求出ROV推進器的綜合推力：

(4)

式中：cθ=cosθ,sθ=sinθ。

ROV推進器所產生的合力大小為

(5)

ROV推進器所產生的合力的方向為

(6)

φ的取值范圍為[-π，π]。

所設計的水下工程機器人的工作環境中水流速度慢，通常低于2 m/s，所配置的水平推進器的最大推力為170 N，ROV尺寸為992 mm(L)×720 mm(W)×551 mm(H)，正面迎水面積約為0.3 m2，通過ROV的形狀阻力公式

f=0.5σAv2Cd

(7)

式中:f為ROV的形狀阻力；σ等于海水密度除以重力加速度，其中海水密度1 035 kg/m3，重力加速度9.8 m/s2；A為特征面積即ROV正面迎水面積；v為ROV與水流相對速度；Cd為阻力系數，取0.9。

可得ROV與水流的相對速度為2 m/s時形狀阻力約為57 N。為保證ROV在運動過程中擁有充足的前進動力，應使最大縱向力Kmax略大于最大橫向力Mmax。已知單個推進器最大推力為170 N，推進器可通過正反轉來改變推力方向，因此Kmax=680cosθ；Mmax=680sinθ,取最大縱向力Kmax與最大橫向力Mmax差值為60 N可得

Kmax-Mmax=680(cosθ-sinθ)=60

(8)

求得θ=2π/9。

在安裝角為2π/9的前提下，分析式(5)和式(6)發現4個水平推進器所產生的綜合推力的大小和方向僅與每個推進器的輸出推力及推進器的安裝角度有關。將圖2中各推進器推力的作用點平移至原點O，可知T1與T3共線，T2與T4共線。因此可以將式(1)和式(2)簡化為

K=T1-3cosθ-T2-4cosθ

(9)

M=T1-3sinθ+T2-4sinθ

(10)

式中：T1-3為推進器1和推進器3的推力差，T2-4為推進器2和推進器4的推力差。對式(5)、式(6)進行求解可以得到以T1-3為橫軸、T2-4為縱軸的關于綜合推力大小和角度的圖像，將二者進行疊加可以得到圖4。

圖4 綜合推力大小與角度對照

圖中的環形線條為推力大小的等高線，放射線條則為推力的方向。OX表示綜合推力的方向為0，與本體坐標系的OX軸相同；OY表示綜合推力的方向為π/2，與本體坐標系中的OY軸相同。分析圖4不難發現：只要能夠對水平推進器的推力進行合理分配，就可以實現在-π～π內得到任意大小的推力，能夠充分應對在有效范圍內的外力干擾。

2 水平推進器的推力分配

該ROV在水平方向共對稱安裝了4個推進器，4個推進器安裝角均為40°，安裝距離D1=400 mm、D2=300 mm。水下機器人在平面上3個自由度的運動受4個水平推進器的控制，針對某一特定的工作需求，都會存在多組推力分配方案。在此模型下利用兩種方案對推進器進行推力分配仿真。

2.1 直接邏輯的推力分配

2.1.1 直接邏輯的推力分配方法

根據推進器的安裝角度及安裝距離的參數可得該推進器的推力方程為

(11)

根據上式可知各推進器的目標推力為

(12)

2.1.2 直接邏輯的推力分配方法仿真

為驗證ROV的水平推進器的推力可以根據外部力的影響而自動調節，不妨將ROV所受的外力分解為縱向、橫向、偏航三部分，對每一部分均以正余弦信號作為輸入，使其不斷生成隨時間變化的力，各部分力的具體大小如下式所示

Ko=300sin(0.2t)

(13)

Mo=240cos(0.2t)

(14)

No=30sin(0.2t)

(15)

式中：Ko、Mo、No分別為ROV在縱向、橫向以及偏航3個方向受到的力或力矩。

利用仿真軟件對直接邏輯的推力分配進行仿真，觀察在一個變化周期內ROV的實時輸出功率及各推進器推力分配。通過仿真得到各推進器的推力如圖5所示，ROV的實時輸出功率如圖6所示。

由圖5可知：推進器1和推進器2輸出的最大推力均達到了推進器的極限推力170 N，且在一個周期內有56%的時間在滿功率運轉；推進器3輸出的最大推力也高達168 N；而推進器4輸出的最大推力僅有101 N。直接邏輯的推力分配方法，存在著極大的分配不均現象，從而導致推進器葉片磨損不均，進而影響ROV的整體運動精度。分析圖6可知:ROV四個水平推進器的實時綜合功率最大值為2 337 W，最小值為1 590 W。

圖5 直接邏輯推力分配結果 圖6 直接邏輯綜合輸出功率

2.2 功率歸一的推力分配

2.2.1 功率歸一的推力分配方法

上述推進器推力分配方案會使其轉速過高，持續高功率輸出，嚴重影響電機的使用壽命。為了避免高消耗的分配方式，可以將4個推進器的輸出推力轉化為推進器的功率，將4個推進器的輸出功率進行匯總，以實現用較低的功率滿足使用要求，有效延長推進器的使用壽命。

探討推進器功率與輸出推力的關系，則需要知道推進器的推力和轉矩。已知單個推進器的推力、轉矩、轉速、功率的關系為

Ti=KTρn2R4

(16)

Qi=KQρn2R5

(17)

Pi=2πRnQi

(18)

式中:Ti、Qi、Pi分別為單個推進器的推力、轉矩和功率；ρ為工作環境的流體密度；n為推進器轉速；R為推進器螺旋槳直徑。

整理后可得功率與推力的關系式：

(19)

上式中n為變量，作進一步整理得功率的限定條件為

(20)

2.2.2 功率歸一的推力分配方法仿真

將4個水平推進器的輸出功率作為重要約束條件，目的是以最小的功率完成目標任務。利用仿真軟件，基于SQP算法對ROV的4個水平推進器的推力進行仿真。按照式(13)(14)(15)的條件進行力的輸入，式(20)作為求解目標函數，因λ為常數，所以λ的大小不影響最終推力分配的結果。最終推力分配仿真結果如圖7所示，通過各推進器推力曲線可知，推進器1和推進器2推力最大值均為155 N，最大推力下降了8.82%，推進器3和推進器4的推力最大值均為120 N，4個推進器均未出現滿速運轉的情況。4個水平推進器的工作情況相近，磨損程度相當。

ROV的實時輸出功率如圖8所示，可得:ROV水平推進器的實時輸出功率的最大值為1 940 W最小功率為1 580 W。

通過功率歸一的推力分配仿真與直接邏輯的推力分配仿真結果的對比，可知在相同的輸入條件下，進行功率歸一以后的推進器1、2、 3的最大推力均明顯降低，推力輸出曲線更加平滑，推力突變現象得到有效解決。同時經功率歸一后的推進器最大輸出功率較未進行功率歸一的推進器最大輸出功率降低了17.1%，最小輸出功率無明顯變化。

圖7 功率歸一推進器推力分配結果 圖8 功率歸一綜合輸出功率

期望推力與實際推力的關系如圖9所示，圖9中Fi為期望得到的ROV四個水平推進器輸出力的合力，Fo為ROV四個水平推進器實際輸出力的合力。通過Fo和Fi的對比曲線可以發現，二者的基本變化趨勢一致且數值相當，證明了功率歸一方案的可行性。

圖9 期望輸出力和實際輸出力

3 結論

基于現有ROV的參數對其4個水平推進器進行了數學建模，分析目標推力與4個水平推進器之間的數學關系，并通過仿真軟件進行了驗證，最終得出以下結論：

(1)構建了ROV四個水平推進器的輸出推力、安裝角、安裝位置與縱向力、橫向力、偏航力矩之間的數學關系模型，確定了推進器的安裝角為40°，并通過繪制綜合推力大小與角度對照圖證明了該方案的可行性，為進行功率歸一的推力分配奠定基礎。

(2)以4個水平推進器的綜合輸出功率最小作為目標函數，進行推力分配仿真，對功率歸一和直接邏輯的推力分配方法仿真結果進行對比，功率歸一方案的推進器最大輸出功率有明顯減小，最大輸出功率減小17.1%。推進器1、2、3的最大推力也顯著降低，其中推進器1的最大推力降低8.82%。無論是從能耗以及保護設備、延長使用壽命的角度看，功率歸一的推力分配方法都比直接邏輯的推力分配方法有明顯優勢，更利于ROV在水下的安全作業。