類橢圓形螺桿泵定子模芯成形銑刀廓形設計

祖海英，賈慶林，宋玉杰，韓道權，郭翔

(東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江大慶 163318)

0 前言

在含砂高氣稠油井的采油過程中，螺桿泵具有其他抽油設備無法替代的優點。類橢圓形螺桿泵與常規擺線型雙頭單螺桿泵相比具有無等距曲線打扣現象、嚙合誤差低、齒面磨損小、密封效果好、使用壽命長等優點。由于類橢圓形螺桿泵定子模芯螺旋曲面結構復雜，加工難度大且成本高，因此迫切需要設計成形銑刀廓形完成定子模芯曲面加工。

吳沁等人依據刀具回轉面與螺旋曲面的包絡原理,設計用于加工螺桿壓縮機螺旋曲面的盤形銑刀。倪壽勇等通過對內旋風銑機制研究，設計了精密外螺紋銑刀廓形。范晉偉等基于坐標變換和成形銑削理論，對采油螺桿泵螺桿、壓縮機螺桿等螺旋曲面成形銑刀廓形進行了設計。

本文作者以類橢圓形螺桿泵為研究對象，通過研究定子模芯線型的形成原理，依據坐標變換和刀具與工件接觸條件，設計定子模芯成形銑刀廓形，并進行實例驗證，對類橢圓形螺桿泵加工及推廣使用具有工程價值。

1 定子模芯線型形成原理

類橢圓形螺桿泵轉子輪廓線是以直線段為發生線,按外滾法做包絡運動而得到的類橢圓形狀。類橢圓形轉子線型方程為

(1)

類橢圓形螺桿泵定子輪廓線是以類橢圓轉子線形為發生線按內滾法做包絡運動而得到的。它的形成過程為類橢圓轉子線形繞自身圓心做自轉角為-3的順時針運動，同時類橢圓轉子線形的中心繞定子中心做半徑為、公轉角為(2)3的逆時針運動的疊加，其中為滾圓滾角。可得類橢圓形轉子的運動方程為

(2)

取轉子線形行星掃描運動所經過的，最外輪廓點連線則為定子輪廓線，如圖1所示。觀察圖1可知，定子輪廓線由3段類圓弧和3段近似直線組成。

圖1 定子模芯輪廓形成

以長半軸為40 mm、偏心距為7.5 mm的轉子,導程為270 mm定子為例，利用MATLAB得到模芯端截面的點集，根據SolidWorks的數值精度處理點集數據，建立定子模芯三維模型，如圖2所示。

圖2 定子模芯三維模型

2 定子模芯的成形銑刀廓形設計

2.1 端截面銑刀廓形設計

依據定子模芯端截面設計銑刀廓形，以極限位置=-47.5 mm為銑刀旋轉中心軸，以類圓弧段與近似直線段分界點=-32.39 mm、=±18.83 mm設計成形銑刀，沿順時針方向選取(-32.39，-18.83)mm到(-32.39，18.83)mm范圍內的點集為類圓弧段銑刀廓形，若銑刀與工件干涉，則工件旋轉后距離銑刀中心軸=-47.5 mm的長度小于銑刀的半徑，則式(3)存在不止一個解，使不等式成立。

(3)

從圖3中取定子模芯輪廓類圓弧的一段，部分點集坐標值如表1所示，取點集范圍內任一點數據代入式(3)，不等式成立表明以端截面設計成形銑刀廓形加工時存在干涉。

圖3 端截面刀具與工件的位置及局部放大

表1 類圓弧段部分點集坐標 單位：mm

2.2 法截面銑刀廓形設計

采用依據法截面設計的成形銑刀加工螺旋曲面時，螺旋曲面是由銑刀刀刃的回轉面與工件做螺旋進給運動時所形成的包絡面，兩者的接觸線是一條形狀不變的空間曲線。這兩個面在空間做相對運動的任一瞬時都沿這一條空間曲線相切。

(1)定子模芯曲面方程的建立

圖4 工件螺旋面的形成

(4)

螺旋面方程坐標式(4)矢量表示為

=(,)=[()cos+()sin]+

[-()sin+()cos]+[]

(5)

由微分幾何中求曲面法線的方法知，對于參變量為、的曲面方程為

=(,)=(,)+(,)+(,)

(6)

其上任意一點(,,)處的法線矢量為

(7)

(8)

(9)

=

(10)

則由式(4)(8)(9)(10)可得螺旋特性方程式

p=+

(11)

(2)刀具與工件的接觸方程求解

在工件上建立直角坐標系-，其中軸與工件的軸線重合；在成形刀具上以刀具回轉軸為軸建立坐標系-，軸與工件坐標系中的軸重合，且方向一致，如圖5所示。以上兩個坐標系在空間位置是固定的，不隨工件和刀具轉動。

圖5 刀具與工件在坐標系中的空間位置

設刀具軸線與銑刀軸線的最短距離為，以及兩軸線間的夾角為,則由圖5可知，從坐標系到的變換式為

(12)

設坐標軸、、的單位矢量分別為、、,坐標軸、、的單位矢量分別為、、,則其單位基矢量間的變換式為

(13)

則刀具回轉面和工件螺旋面的接觸處任一點相對于兩坐標軸原點的徑矢分別為

(14)

由兩曲面相切接觸，則它們的公法線矢量與相對運動的速度矢量垂直，即接觸條件為

·=0

(15)

設工件螺旋面回轉的角速度為,刀具回轉的角速度為,并以(螺旋參數為)速度勻速移動，則點隨螺旋面運動的線速度為

=(-Y+X+p)

(16)

點隨刀具運動的線速度為

=[-((-)cos+sin)+cosψ+sinψ]

(17)

由接觸條件式(15)可確定

·=·(-)=0

(18)

式(18)與螺旋面特性方程式(11)聯立化簡，得刀具與螺旋面的接觸方程為

z+cotψ+(-+cot)=0

(19)

若設計一把銑刀加工截面，由于類圓弧段與近似直線段交界處附近存在干涉，不能實現模芯螺旋曲面加工，因此依據定子截形與銑刀接觸線，分別為類圓弧段和近似直線段設計凸形和凹形成形銑刀廓形，其流程如圖6所示。

圖6 成形銑刀廓形設計流程

3 定子模芯成形銑刀廓形設計實例

對文中初始實例參數設計定子模芯成形銑刀廓形。類圓弧段頂點到截形中心距離為，即轉子長半軸與偏心距之和，近似直線段中心點到截形中心距離為，即轉子長半軸與偏心距之差。確定銑刀與工件的夾角，表達式為

(20)

由和分別計算出螺旋角為

選取合適的軸心距，任取截面一點(，)，根據方程(8) (9)(10)(19)和定子模芯端截面點集，得到對應的值，再把(，)和值代入式(4)中，可求得不同螺旋角對應的接觸點，連接這些接觸點即可得到銑刀廓形曲線，利用SolidWorks建模生成銑刀的廓形與回轉運動模型。

工件任一點的運動可以等效為圓柱螺旋線，其曲率半徑為

=(1+tan)

(21)

當接觸點沿運動方向的的工件曲率半徑大于接觸點刀具的曲率時兩者干涉。據式(21),利用MATLAB編程對工件和刀具進行干涉判定，繼而得出符合規定的值。得到銑刀廓形曲線，繪制類圓弧段與近似直線段銑刀廓形，分別如圖7、圖8所示。

圖7 類圓弧段銑刀廓形 圖8 直線段銑刀廓形

4 結論

(1)通過對類橢圓形螺桿泵定子線型形成原理的研究，類橢圓轉子線型行星運動包絡獲得定子模芯端截面點集，并確定定子輪廓線由3段類圓弧和3段近似直線組成。

(2)依據端截面設計成形銑刀廓形，加工時存在干涉。通過坐標變換建立了定子模芯螺旋曲面特性方程，與接觸條件式聯立求解接觸方程，確定了依據定子法截面截形與銑刀接觸線設計成形銑刀廓形的流程。

(3)依據轉子長半軸與偏心距確定值，選取合適的值，生成銑刀廓形。根據曲率半徑對銑刀廓形曲面與工件螺旋曲面干涉檢查，驗證刀刃廓形設計的正確性，為類橢圓形螺桿泵定子模芯成形銑刀廓形的設計提供了理論基礎。