狹縫節流空氣軸承-轉子系統穩定性分析

于賀春，張國慶，岳金珂，王文博，王仁宗，張素香，時金虎

(中原工學院機電學院，河南鄭州 450007)

0 前言

空氣靜壓主軸具有回轉精度高、能耗低、溫升小等優點，是現代機床的核心部件之一。隨著加工精度、加工效率等要求的不斷提高，現代加工制造對空氣靜壓主軸的精度和轉速要求也不斷提高。

軸承-轉子系統的研究常使用線性攝動法和軌跡法。攝動法無法展現轉子在整個系統中的運動軌跡，只適用于轉子在平衡狀態下的微小擾動;而軌跡法是通過對動力學方程和流體方程直接求解，得到轉子軸心軌跡，進而對整個系統穩定性進行分析。CASTELLI和ELROD首先提出了軌跡法，通過研究長徑軸承，得到不同系統工況下轉子軸心軌跡變化，并將分析得到的數值與攝動法的計算結果相比較。LUND等為了研究軸承的動態特性，提出八系數法,為軸承-轉子系統的動態特性分析提供了便利，將8個不同方位的剛度阻尼系數作為軸承的動態參數表征軸承的穩定性。韓東江等采用軸心軌跡、分岔圖以及頻譜圖等方式，呈現了系統不同振動下的動力學特征，給出了定性的理論分析以及相應的控制方法。張永芳等通過組裝技術獲得固定瓦-可傾瓦動壓氣體軸承非線性氣膜壓力的分布。HASSINI和 ARGHIR認為旋轉狀態下的轉子在其平衡位置不斷攝動形成其軸心軌跡的變化，每一個位置的氣膜力都可使其產生線性的動態變化，采用連續逼近法對軸承-轉子系統的運動軌跡進行分析。CHEN和WANG分別利用有限差分法和龍格-庫塔方法求得軸承的瞬態雷諾方程和系統動力學方程，通過計算發現系統會隨著轉子速度與質量的變化出現倍周期現象。MIYANAGA 和TOMIOKA利用線性攝動理論，研究了人字槽氣體軸承彈性基座的支承剛度和阻尼的變化，得出彈性基座可以提高軸承穩定性的結論。陳東菊等通過擾動法對軸承動態特性系數進行求解，將結果引入建立的軸承-轉子動態振動模型中，求得了主軸的振動誤差曲線；通過對數據進行頻域處理，得到非線性對主軸徑向誤差的影響，并通過實驗對結果進行分析。任佟等人通過微擾動法和分離變量法對氣體軸承的氣膜阻尼系數建模、求解并分析，將氣膜阻尼系數引入軸承轉子系統進行動力學建模及計算，并將實驗與計算結果進行對比。張強和張霞妹通過研究軸承-轉子系統，計算了軸承承載力、臨界轉速以及振型，并通過改變軸承的平均間隙和偏心率對轉子系統的臨界轉速進行研究。

綜上所述，目前多采用線性方法或攝動方法結合剛度阻尼系數對系統的穩定性進行分析，很少考慮氣膜力與轉子非線性運動的相互影響。為探究不同狹縫軸承參數對系統穩定性的影響規律，本文作者利用Gambit軟件建立徑向支撐的雙排連續性狹縫軸承-轉子系統的動態耦合模型，考慮軸承與轉子之間的非線性影響。構造系統的穩態環境，對穩態下的軸心軌跡變化和氣體流場進行分析；對系統載荷方向的軸心軌跡變化進行瞬時響應分析，探究不同軸承參數下系統受到載荷作用后的轉子位移在載荷方向的變化曲線，從而利用時域參數分析不同軸承參數下系統的穩定性。

1 系統耦合方法分析與模型建立

1.1 流固耦合控制方程

主軸內的軸承和轉子在工作過程中相互影響，轉子自身的慣性力和氣膜慣性力會使轉子產生非線性運動，轉子軸心軌跡的變化會使氣膜流場分布特性發生改變，因此可以利用雙向流固耦合方法對狹縫節流徑向軸承支撐的轉子系統進行求解。圖1所示為系統耦合計算流程。

圖1 系統耦合計算原理

通過聯立流體方程與固體方程，可以得到系統的耦合控制方程。流固耦合遵循基本守恒定律，在流固耦合交界面上，流體f與固體s之間變量的傳遞保持守恒，耦合方程滿足公式(1)：

(1)

式中:為應力，Pa；為位移，m；為熱流量，W;為溫度，K。

1.2 動網格技術

動態網格(動網格)技術是一項網格更新技術，可以改變流場區域內網格體積大小以及網格的出現和產生，并控制網格質量。流場中的任意網格體積上的一般標量的守恒方程為

(2)

式中:為體積，m；?為體積運動邊界；為網格運動速度，m/s；為流體密度，kg/m；為流體速度矢量，m/s；為邊界截面積，m；為耗散系數；為標量的源項。

1.3 系統耦合參數確定

以雙排狹縫節流徑向空氣軸承支撐的轉子系統為研究對象，如圖2所示，軸承參數如表1所示。

圖2 耦合模型系統簡圖

表1 狹縫軸承部分參數 單位:mm

在同一坐標系下對系統進行簡化，軸向為模型的方向，徑向受載荷力方向為方向。轉子模型軸頸長60 mm，軸頸表面與氣膜內表面重合。

1.4 網格劃分及定義邊界條件

(1)網格劃分

在耦合計算過程中,由于流場自身的變化和轉子的運動會使氣膜間隙處網格產生大的變形和重構。在劃分網格過程中，要在保證網格計算精度的基礎上，減少網格數量，且與轉子耦合處的網格一一對應。不同流場區域網格節點數如表2所示。

表2 流場網格節點數

利用Gambit軟件對簡化后的流場模型進行網格劃分。由于軸承長度與氣膜間隙尺寸相差較大，為保證網格質量，將流場分為氣膜間隙區和狹縫區，如圖3所示。可知：氣膜間隙區網格密度由狹縫至氣體出口方向逐漸減小；狹縫區網格密度由狹縫入口到狹縫出口逐漸增大。

圖3 流場網格劃分

(2)定義邊界條件

定義邊界條件:①氣體在運動過程中保持溫度恒定；②根據文獻[17]的計算結果，文中采用層流方式對軸承進行分析；③忽略加工誤差對壁面的影響，轉子表面絕對光滑；④系統供氣壓力為0.5 MPa，軸承的出口邊界為壓力出口，出口壓力與環境壓力相等；⑤設置流場內部表面和轉子外表面為耦合面，氣膜間隙兩側出氣表面定義為變形壁面；⑥對轉子施加軸向位移約束，排除轉子軸向竄動對結果的干擾。

2 狹縫節流軸承-轉子系統耦合計算

2.1 系統流固耦合參數設置

利用ANSYS Workbench中System Coupling模塊對流體域和固體域的計算結果進行數據交換。根據流體網格大小對計算步長進行調整，設置耦合計算步長為5×10s。

2.2 系統流固耦合穩態環境準備

系統的進氣孔壓力為0.5 MPa，轉子轉速為10 000 r/min，耦合作用下的轉子軌跡如圖4所示。可知：轉子在自身慣性力和氣膜力的作用下逐漸趨于某一穩定位置；初始時，軸承與轉子之間的氣流流動較為混亂，轉子受氣流沖擊產生不規則運動，當氣體流動穩定且轉速增加到一定穩定值后，轉子的運動趨于穩定，最終在這一位置附近進行渦動。

圖4 耦合作用下的轉子軌跡

圖5所示為轉子運動穩定后，氣膜間隙流場分布情況。此時轉子不受外界因素影響，只在自身慣性力和軸承氣膜力作用下運動，氣膜內流場分布均勻，轉子運動較為平穩。

圖5 穩態環境下氣體壓力分布

2.3 系統的位移分析

圖6所示為狹縫軸承-轉子系統受到階躍載荷后的轉子位移和承載力變化曲線。系統在穩態環境下運動，當=2.5 ms時，轉子在方向受到階躍載荷作用，轉子運動軌跡發生改變，氣膜承載力隨之發生改變，轉子在載荷作用下到達新的平衡位置。

圖6 耦合作用下的轉子位移及承載力變化關系

由圖6(a)中可知：轉子位移量增加至最大值7.8 μm后減小，最終趨于平緩，穩定在7.1 μm左右；氣膜承載力增大至465 N后減小，趨于平緩后穩定在359 N左右，位移最大值與承載力最大值同時出現；當>3.75 ms時，轉子的位移變化和氣膜承載力變化趨于平穩，系統達到穩定狀態。由圖6(b)可知：系統穩定狀態下轉子的位移變化和氣膜承載力變化相反；當轉子位移增加時，氣膜間隙減小，氣膜承載力增加，反之亦然，此時系統狀態為動態平衡。

2.4 系統的流場分析

圖7所示為轉子在移動過程中軸承內的氣體壓力分布情況。可知:當=2.5 ms時，轉子未受載荷作用，流場壓力在同一軸向位置的圓周方向均勻分布，轉子在自身慣性和氣膜力作用下處于平衡狀態；當=2.75 ms時，轉子受到方向上350 N階躍載荷，轉子在載荷作用下與狹縫軸承產生偏心,隨著轉子位移的不斷增加，氣膜的高壓面積不斷增加，承載力也不斷增加;當=3.0 ms時，轉子的位移量最大，氣膜高壓面積達到最大，此時氣膜承載力大于載荷，轉子向反方向移動;當>3.75 ms后，載荷與承載力達到平衡，氣膜的高壓區面積不再發生明顯變化，系統處于新的動態平衡。

圖7 耦合作用下的氣體壓力分布

2.5 狹縫節流軸承-轉子系統時域分析

利用時域分析研究轉子在載荷作用下的運動規律，在瞬態響應階段，狹縫軸承-轉子系統受到階躍載荷作用，發生振蕩，經過一段時間，系統達到新的穩態狀態。

轉子在載荷作用下運動，一定時間內，轉子位移首次達到穩態的時間為上升時間；轉子位移首次達到最大值的時間為峰值時間；上升時間與峰值時間的大小反映了系統的快速性。在二階欠阻尼系統中，最大峰值與穩態值差值與穩態值的比值為系統最大超調量，利用式(3)可得出最大超調量和阻尼比之間的關系：

(3)

阻尼比決定系統的振蕩特性，越大，系統穩定性越大。越小，值越大，振蕩幅值越小，當增大到一定程度時，系統的響應曲線單調上升。

(1)二階欠阻尼系統

圖8所示為在=2.5 ms時施加階躍載荷作用下狹縫間距為30 mm的轉子的位移變化曲線。可知：當>2.5 ms時，轉子在方向上不受載荷作用；轉子在方向上的位移分為2個階段：瞬態響應階段和穩態響應階段，其波動規律符合二階欠阻尼系統響應。

圖8 t=2.5 ms施加階躍載荷轉子在x、y方向位移曲線

(2)二階過阻尼系統

圖9所示為在=2 ms時施加階躍載荷作用下狹縫間距為10 mm的轉子的位移變化曲線。可知：轉子在方向的位移增長率絕對值逐漸減小，位移變化曲線為二階過阻尼系統響應曲線，此時>1，系統持續處于瞬態響應階段，不發生振蕩，且無最大超調量。

圖9 t=2 ms施加階躍載荷轉子在x、y方向位移曲線

3 耦合計算結果與分析

3.1 狹縫間距對系統瞬態參數的影響

在系統供氣壓力和所受載荷(在=2.0 ms時施加)恒定的情況下，依次改變狹縫軸承的狹縫間距為10、20、30、40、50 mm，計算承載力，結果如圖10所示。

圖10 瞬態響應下承載力變化(不同狹縫間距)

由圖10可知：承載力峰值和承載力的變化率隨狹縫間距增加逐漸減小，承載力到達峰值的時間隨著狹縫間距增加而逐漸減小。

圖11所示為不同狹縫間距下轉子位移變化網格圖。

圖11 瞬態響應下y方向位移變化(不同狹縫間距)

由圖11可知：轉子位移穩定值隨著狹縫間距的增加，先減小后增加，即相同供氣壓力下，轉子位移變化反映了系統的承載力變化，即隨著狹縫間距增加，系統承載力先增加后下降；狹縫間距在20、30、40 mm時，轉子位移先增大后減小，最終趨于穩定，而狹縫間距在10、50 mm時，轉子位移先增加后減少，未達到穩定狀態；當狹縫間距為10、50 mm時，系統的位移變化曲線為二階過阻尼系統響應曲線，此狀態下系統瞬態響應時間增加，系統無振蕩，阻尼比>1。狹縫間距在20、30、40 mm時，轉子位移曲線為二階欠阻尼響應曲線。

3.2 狹縫深度對系統瞬態參數的影響

系統其余參數不變，依次改變軸承的狹縫深度為3、5、7、9、11 mm，軸承承載力隨時間變化曲線如圖12所示。可知：隨著狹縫深度增加，承載力最大值逐漸下降，即高壓氣體經過狹縫節流器，與周圍壁面接觸，流入氣膜間隙后，能量隨著接觸壁面的增加而逐漸減小，導致承載力在瞬態響應期間的變化不同，當系統達到穩態后，系統所受外界的載荷相同，軸承的承載力相同。

圖12 瞬態響應下承載力變化(不同狹縫深度)

圖13所示為不同狹縫深度下的轉子位移變化網格圖。可知：隨著狹縫深度的不斷增加，轉子位移先增加后減小，由于不同狹縫深度下的氣膜承載能力不同，導致轉子在瞬態響應階段的位移變化量不同，且最終轉子的穩定位置也不相同。

圖13 瞬態響應下y方向位移變化(不同狹縫深度)

不同狹縫深度下系統時域響應參數如表3所示。可知：隨著狹縫深度逐漸增加，轉子位移的上升時間和峰值時間逐漸增加，最大超調量逐漸下降。因此，增加狹縫深度會使系統的響應快速性下降。狹縫深度增加使系統增大，系統振蕩特性減小，系統穩定性提高。

表3 不同狹縫深度下系統瞬態響應參數

3.3 狹縫寬度對系統瞬態參數的影響

系統其余參數保持不變，改變狹縫寬度，系統承載力變化如圖14所示：狹縫寬度增加會使軸承的承載力發生改變，隨著狹縫寬度的不斷增加，波動過程中的軸承承載力最大值逐漸增加，承載力最大值與穩態值的比值不斷增加。

圖14 瞬態響應下承載力變化(不同狹縫寬度)

圖15所示為瞬態響應過程中，轉子在載荷方向下的位移變化網格圖。可知：當狹縫寬度為0.008 mm時，轉子位移一直增加，前4 ms內未達到穩態，系統未產生波動；狹縫寬度在0.01～0.016 mm時，轉子位移有最大值，且隨著寬度的增加，位移絕對值的最大值逐漸增加。穩定狀態下，軸承位移的絕對值隨著狹縫寬度的增加先減小后增加。

圖15 瞬態響應下載荷方向位移變化(不同狹縫寬度)

狹縫寬度為0.008 mm時，轉子位移沒有最大值，為過阻尼系統，>1。表4所示為狹縫寬度為0.01～0.016 mm的瞬態響應參數變化。可知：上升時間和峰值時間在狹縫寬度為0.012 mm時最小，此時位移峰值最大，位移最大值和穩態值的比值最大，系統的反應速度最快；超調量先增加后減少，即先減小后增加，<1。因此，隨著狹縫寬度的增加，系統先減小后增加,系統穩定性先減小后增加。

表4 不同狹縫寬度下系統瞬態響應參數

4 結論

(1)通過流固耦合計算方法可以得到系統動態耦合下軸承的流場壓力分布與轉子的軸心軌跡變化，可知系統轉子軌跡在穩態時呈不斷波動狀態，流場壓力分布變化與轉子運動軌跡相互影響。

(2)通過時域分析法可以得出，不同系統對相同載荷下的穩態和瞬態反應各不相同，不同狹縫參數下的位移變化曲線有2種表現形式：欠阻尼系統和過阻尼系統。在一定范圍內，增加兩狹縫之間的距離可使系統阻尼比和穩定性先增加后減小；增加狹縫深度可使系統阻尼比和穩定性逐漸增加；增加狹縫寬度可使系統阻尼比和穩定性先減小后增加。系統穩定性增加，系統對外界反應的快速性會下降。