巧構直線方程 讓函數不等式放縮有“度”

浙江省安吉縣高級中學

林蘭蘭

函數不等式的放縮問題不僅是學生學習的難點，更是近年來各地高考命題的一個熱點.其思維的獨特性、解題手段的靈活性、知識內容的綜合性等特點，在對形成學生理性思維、科學精神和促進學生個人智力發展的過程中發揮著重要作用，但也使不少學生望而卻步.筆者選取構造直線方程的角度談談如何把握函數不等式放縮的“度”.

1 構造垂線放縮

(1)當a=0時，判斷函數f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)≥4x-6恒成立，求a的取值范圍；

(3)設b∈R，若關于x的方程f(x)=b-8有實數解，求a2+b2的最小值.

解析：(1)(2)略.

點評：本題從a2+b2的結構出發，聯想到原點與點(a,b)的距離的平方.點(a,b)的軌跡是什么？從已知條件出發，構造兩條直線方程，巧妙地利用“垂線段最短”，使問題獲解.

2 構造切線放縮

例2(2020年高考全國卷Ⅰ第21題)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

解析：(1)略.

①當x=0時，得a∈R.

3 構造割線放縮

例3(2021年高考全國卷Ⅰ第22題)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

解析：(1)略.

對x1進行割線放縮：作直線y=x，其與直線y=m交于點(m,m)，而y=m與y=f(x)交于點(x1,m)，于是x1

對x2進行切線放縮：作y=f(x)在(e,0)處的切線：y=-x+e，它與直線y=m交于點(e-m,m)，故x2

從而x1+x2

點評：本題以直代曲，抓住函數在特定范圍內區間端點特征，對x1進行割線放縮，對x2進行切線放縮，合理把握了放縮的“度”.這種放縮方法，需要充分理解函數的圖象性質，特別是函數的單調性和凹凸性.它不同于常見的放縮手段，讓學生有耳目一新之感，這對學生數學思維的拓展大有幫助.

4 構造隱性直線放縮

(1)求f(x)在x∈(0,1]上的最大值；

(2)若g(x)≤0對任意的b∈[a,+∞)及x∈(0,1]恒成立，求實數a的取值范圍.注：e是自然對數的底數.

解析：(1)易得f(x)的最大值為f(1)=2.

(2)由于g(x)≤0對任意x∈(0,1]恒成立，故g(1)≤0.而g(1)=-2ab-2a+2b+2=-2(a-1)·(b+1)，且b≥a>0,所以a≥1.

下面證明當a≥1時，恒有g(x)≤0.

g(x)≤-2abex-1+b(2x-2)-2a+2b+2

=-2abex-1+2bx+2(1-a) ≤

-2abex-1+2bx

=2b(x-aex-1)≤

2b(x-ex-1).

因為ex≥x+1(切線放縮)，所以ex-1≥x，因此g(x)≤2b(x-ex-1)≤0.

綜上可得a≥1.

點評：含多個參數的不等式恒成立問題，往往先是必要性探路，再論證其充分性.本題對(x+1)lnx的放縮，采用了待定系數法，借助第(1)問的結論，構造出直線y=2x-2，使問題在不斷的放縮中逐漸柳暗花明.