車險定價中風險保費類別的構造
——基于廣義線性模型與數據驅動的分箱方法

張連增 江璐嘉

一、引言

車險定價一直是非壽險精算定價中的一個研究熱點，已有文獻較多(Denuit 等，2007[1]；Klein 等，2014[2]；孟生旺等，2017[3])。保險公司經營的核心目標是盈利，科學的風險管理技術可以為保險公司的持續運營提供保障。精算定價人員構造風險保費類別(insurance tariff classes)，將風險狀況相似的保戶歸入同一類別，收取相同的保費，使保費與類別的風險相匹配。風險狀況由不同的變量(variables)組合來定義，根據變量的數值特性，可以分為分類型變量(如性別、地區)和連續型變量(如駕駛員年齡、車齡)。

Denuit和Lang(2004)[4]指出，變量的不同類型會影響風險保費類別的構造：分類型變量構建風險保費類別直接明了，每一定價類別都代表了分類變量的特定組合；連續型變量由于其數值連續性，在一定程度上可以被理解為具有很多不同水平的分類型變量。Ohlsson和Johansson(2010)[5]指出，如果考慮將連續變量中的每一個數值都定義為一個水平(level)，會導致同一個變量有很多水平，且每一個水平下的樣本數量都不多，但這樣并不利于定價模型的擬合。一種更好的方法是連續變量離散化，把連續型變量的某個區間合并為一個水平，從而轉化為包括少數水平的分類變量。

將連續變量離散化的方法被稱為分箱法(binning)，該術語是由Kuhn和Johnson (2013)[6]提出的。本文將介紹一種由數據驅動(data driven)的分箱方法，將連續型變量轉化為包括幾個水平的分類變量，由此構造風險保費類別。本文使用回歸樹(regression tree)作為分箱方法，因為回歸樹模型會產生直觀的連續分割，符合我們對連續變量連續值分箱的要求。在回歸樹模型中，我們選擇采用進化樹模型(evolutionary tree)，因為進化算法可以達到全局最優的分箱效果。Grubinger 等(2014)[7]設計的R軟件包evtree可以實現相關功能。

在車險定價中，通過大量歷史索賠數據，可以估計出不同風險保費類別的保險成本，進而計算相應的純保費(pure premium)。Frees 等(2014)[8]提出純保費的計算從兩個方面分別進行：索賠頻數(claim frequency)和索賠強度(claim severity)。通常應用廣義線性模型(GLMs)進行車險索賠頻數和索賠強度的擬合與預測。在索賠頻數和索賠強度相互獨立的假設下，保單的純保費可以用索賠頻數的估計值乘以索賠強度的估計值得到。在純保費的基礎上，再考慮附加費用，就構成了保險產品的價格。

在GLMs中，當存在連續型變量時，GLMs不能捕捉連續型變量的非線性效應。此時，通常考慮應用更加靈活的廣義可加模型(GAMs)(James等，2013[9])。廣義可加模型本質上是一種特殊的廣義線性模型，對連續型變量，對應的樣條函數可表示為一些基本樣條函數的線性組合。在GAMs中，可通過對連續型變量引入樣條函數，使模型的擬合效果更加平滑，反映非線性效應。

在模型擬合中，一直存在著“擬合效果”(fitting effect)與“可解釋性”(interpretability)之間的權衡。顯而易見，廣義線性模型的可解釋性要優于廣義可加模型，而廣義可加模型的擬合效果更優。為在兩者中找到一個平衡，在本文中，我們先運用GAMs構造一組索賠頻數和索賠強度預測模型；然后運用進化樹分箱方法，將連續型變量離散化為分類變量，最終運用GLMs構造另一組索賠頻數和索賠強度預測模型；將GAMs和GLMs的預測結果進行比較，找到最優的定價預測模型。

本文后面的結構如下：第二節是數據描述和數據預處理；第三節是GLMs和GAMs的基本介紹；第四節是GAMs在車險定價中的應用；第五節是數據驅動分箱構建風險保費類別；第六節構建GLMs，并與GAMs進行模型整體性能的比較；第七節是總結。

二、數據描述和預處理

(一)數據描述和預處理

本文運用的數據集是法國汽車第三者責任險(簡稱“三責險”)理賠數據freMTPL2freq和freMTPL2sev(1)freMTPL2freq里面包含了很多特征(變量)，但不包含索賠金額ClaimAmount變量；freMTPL2sev里面只有保單信息IDpol和索賠金額ClaimAmount這兩個變量。共有的變量IDpol將freMTPL2freq和freMTPL2sev兩個數據集的保單信息連接起來。，這兩個數據集都可以在R軟件包CASdatasets里找到。freMTPL2freq里包含了678 013條法國三責險的索賠次數數據，freMTPL2sev里包含了26 639條法國汽車三責險的索賠強度數據。

為了擬合索賠強度模型，我們選取FF數據集中索賠強度大于0且小于20 000(2)FF數據集中包含一些損失特別大的極端數據，會對模型擬合產生影響。區間(0,20 000)包含了92.80%的索賠強度數據量，為此我們挑選這部分數據來進行模型擬合。的保單信息，組合成了一個新的數據集FF.sev，新的FF.sev數據(24 743行、16列)共有24 743個保單數據信息。

表1 FF數據集變量描述

(二)進一步的分析

根據以上描述我們知道，FF.sev是FF數據集的一個子集。下面我們描述FF數據集的基本數據特征，圖1是FF數據集中的一些特征(變量)展示。

在FF數據集中，對索賠次數(ClaimNb)，有94.98%的保單沒有提出索賠(即ClaimNb=0)，有4.75%的保單提出了一次索賠，剩下的0.27%的保單提出多次索賠。對風險暴露(Exposure)，24.18%的保單保障期間是1年，剩下的75.82%保單的風險暴露分布于0～1之間。在索賠金額(ClaimAmount)方面，有88.93%的索賠金額位于0～5 000區間中，剩下的11.07%索賠金額高于5 000。

圖1展現了FF數據集中的兩個分類型變量：汽油類型(VehGas)和汽車品牌(VehBrand)。在汽油類型方面，48.99%的汽車使用柴油(Diesel)，剩下的51.01%汽車使用其他類型。在汽車品牌方面，B12(24.49%)、B1(24.00%)和B2(23.58%)是占比最多的三種車型，剩下的27.93%是其他類型的汽車。

FF數據中的四個連續型變量：車齡(VehAge)、駕駛員年齡(DrivAge)、獎懲系統(BonusMalus)和對數人口密度(logDensity)也在圖1中呈現。在車齡方面，72.60%的保單車齡集中于0～10年，剩下的27.40%保單車齡超過10年。在駕駛員年齡方面，15.41%的駕駛員年齡在18～30歲之間，76.99%的駕駛員年齡在30～65歲之間，7.60%的駕駛員年齡高于65歲。在法國，獎懲系統的基準是100，低于100是獎勵(bonus)，高于100是懲罰(malus)。在FF數據中，有98.85%的保單是獎勵狀態，只有1.15%的保單是懲罰狀態。在對數人口密度中，79.19%聚集于2.5～8區間之內，剩下的20.81%分布在其他區間。

圖1 FF數據部分特征展示

三、車險定價與GLMs(GAMs)

(一)車險定價基本思路

在車險定價中，精算師根據已有的歷史索賠數據，預測出潛在損失，由此計算出保單純保費πi。保單純保費可以由索賠頻數和索賠強度分別計算得到，即πi=E(Fi)×E(Si)，其中E(Fi)是索賠頻數預測的均值，E(Si)是索賠強度預測的均值。索賠頻數是單位風險暴露(risk exposure)下保單的索賠次數；索賠強度是指在索賠發生條件下的平均單次索賠額度。

在本文中，我們假設索賠頻數和索賠強度相互獨立。使用數據集FF中所有保單的索賠次數歷史，為Fi構建模型；使用數據集FF.sev中提出索賠的保單持有人的索賠歷史，為Si構建模型。對每份保單的純保費πi再加總求和，可以得到整體純保費。

在本文中，我們考慮運用GAMs和GLMs來構建兩組回歸預測模型。

(二)GLMs和GAMs模型基本介紹

傳統的線性回歸模型形式如下：

(1)

其中Yi是響應變量，xij是自變量，p為自變量的個數。

一般的廣義線性模型形式如下：

(2)

其中，μi=E(Yi)是響應變量的均值，g(·) 是連接函數(link function)，xij是自變量，p為自變量的個數。

GAM本質上是一種特殊的GLM，通過允許自變量存在非線性的平滑效應(smooth effect)，同時保持可加性來擴展線性模型。在GAM中，單個自變量的非線性平滑效應可用樣條函數fj(xij)表示，它可表示為基本樣條函數的線性組合，代替GLM中的βjxij；兩個自變量之間也可能存在非線性交互效應，用樣條函數fj(xij,zij)來表示自變量之間的非線性交互效應。GAM的形式為：

(3)

四、GAMs在車險定價中的應用

在本節，我們運用GAM對索賠頻數和索賠強度分別構建回歸預測模型，R里的軟件包mgcv可以用來實現GLM和GAM。在最優模型選擇方面，我們考慮使用AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)兩個指標。這兩個指標都同時考慮了模型的擬合優度(goodness of fit)和復雜度(complexity)，它們的定義如下：

AIC=-2(log-likelihood)+2·r

BIC=-2(log-likelihood)+log(n)·r

(4)

其中，log-likelihood是模型的對數似然值(擬合優度的度量)，r是模型的參數個數(復雜度的度量)，n是數據集的樣本個數。AIC和BIC的值越低表示模型越好。與AIC相比，BIC對模型復雜度的懲罰效果更大，為此在GAMs的模型擬合中，我們選用BIC作為最優模型選擇指標。

(一)索賠頻數模型

+β1VehGasRegular

+f2(DrivAge)+f3(BonusMalus)

+f4(logDensity)

(5)

上述模型中包含了兩個分類變量：汽油類型(VehGas)和汽車類型(VehBrand)，以及四個連續型變量：車齡(VehAge)、駕駛員年齡(DrivAge)、獎懲系統(BonusMalus)和對數人口密度(logDensity)。

由此得到索賠頻數的最終預測模型形式為：

+f1(VehAge)+f2(DrivAge)

+f3(BonusMalus)+f4(logDensity)

+f5(VehAge,BonusMalus)

(6)

索賠頻數模型的具體擬合情況見表2。

表2 索賠頻數模型(GAM)的參數估計

根據圖2，在車齡(VehAge)方面：當汽車處于 [0,2]的年齡區間時，剛買新車的平滑效應最大，隨著車齡增大，平滑效應在不斷下降。當車齡位于 [2,5]區間時，隨著車齡增大，平滑效應增加。當車齡處于 [5,20]區間時，平滑效應再次呈現下降趨勢，并在20年時達到了最低谷，說明駕駛員車齡越大，駕駛技術越熟練，預估索賠頻數降低。

在駕駛員年齡(DrivAge)方面：當駕駛員年齡處于 [18,30]區間時，隨著年齡增大，平滑效應在不斷下降，在30歲達到最低谷。當駕駛員年齡處于 [30,40]區間時，隨著年齡增大，平滑效應不斷增加，但整體數值小于0。在 [40,50]區間內，隨著年齡增大，平滑效應在不斷增加，并且大于0。[50,60]區間內平滑效應有一個小幅下降。60歲以后，再次呈現增加趨勢。

獎懲系統(BonusMalus)的平滑效應隨著獎懲水平的提高呈現增長趨勢，這與我們的直覺相一致：BonusMalus越低表明駕駛員的索賠歷史記錄越好，越高表明索賠越多。

圖2 索賠頻數模型(GAM)的平滑效應展示

對數人口密度(logDensity)的平滑效應隨著人口密度的增加呈現穩定的增長趨勢，這也十分直觀：人口密度越大，該地區發生交通事故的可能性也越大，索賠次數也就越多。

車齡-獎懲系統(VehAge-BonusMalus)的效應區域圖中淺灰色表示負相關性，深灰色表示正相關性。高車齡-低獎懲系統、低車齡-低獎懲系統和低車齡-高獎懲系統組合的風險更低一些，而高車齡-高獎懲系統的風險更高。

(二)索賠強度模型

+g2(BonusMalus)

+g3(DrivAge,BonusMalus)

(7)

表3 索賠強度模型(GAM)的參數估計

圖3 索賠強度GAM平滑效應展示

從駕駛員年齡(DrivAge)角度：在 [18,50]的年齡區間，隨著駕駛員年齡增加，索賠強度平滑效應整體呈現增加趨勢。年齡處于 [18,40]區間時，平滑效應小于0。[40,50]區間內，效應大于0。在 [50,60]區間，平滑效應有一個下降趨勢。60歲以后，隨著駕駛員年齡增加，平滑效應再次呈現上升趨勢。

獎懲系統(BonusMalus)的平滑效應隨著獎懲水平的提高呈現增長趨勢，這與我們的直覺相一致：BonusMalus越低表明駕駛員的索賠歷史記錄越好，越高表明索賠越多。

由圖3可知，在駕駛員年齡-獎懲系統(DrivAge-BonusMalus)方面：低駕駛員年齡-低獎懲系統和高駕駛員年齡-高獎懲系統組合的平滑效應要低于低駕駛員年齡-高獎懲系統和高駕駛員年齡-低獎懲系統組合的平滑效應，其中低駕駛員年齡-高獎懲系統組合的平滑效應最高。

五、數據驅動分箱方法構建風險保費類別

在模型擬合中，一直存在著“擬合效果——可解釋性”之間的權衡。上一節GAMs的構建中包含一些針對連續型變量的平滑函數，可以捕捉到一些連續型變量的非線性效應，使得擬合效果更好，預測更加精確，但也讓模型變得更加復雜和難以解釋。相比于GAMs，GLMs只包含線性形式，直觀簡單，易于理解，但模型的擬合效果在一定程度上會有不足。在實務定價中，定價人員更加傾向于使用分類變量進行定價。在本節中，我們基于前面GAMs得到的回歸預測模型，運用數據驅動的分箱方法，將連續型變量離散化，將其轉化為包含少數水平的分類變量，從而構造風險保費類別。

(一)數據驅動分箱方法——進化樹

1.回歸樹的基本介紹。

本文使用決策樹進行分箱，將連續變量離散化。決策樹模型是一種常用的分類與回歸方法，分類樹輸出的結果是分類型變量，回歸樹輸出的結果是連續型變量。本文使用回歸樹模型，一方面因為索賠頻數和強度都是連續型變量，另一方面回歸樹模型對連續型變量會產生直觀的連續分割，符合我們對連續變量連續值分箱的要求。

常用的回歸二叉樹(binary tree)方法，如CART(Classification And Regression Tree)算法等，都是以逐步向前搜索的方式建立模型的遞歸分割。這種方法由來已久，但CART算法的結果只是局部最優的，因為節點的選擇(從而產生葉子)是在上一步的基礎上，最大化下一步的結果。每個內部節點的分割規則是為了最大化其子節點的同質性，而不考慮回歸樹上更下一層的節點，由此只產生局部最優的樹。另一種在樹的參數空間上搜索的方法是使用全局最優方法，如進化算法，對應的回歸樹被稱為進化樹。

2.進化樹。

進化算法的思路來自達爾文的自然進化思想：物競天擇，適者生存。進化算法是以種群(population)為基礎，是個體(individual)的集合，在每一代進化過程中，個體之間彼此競爭，以評估函數(evaluation function)為指標，保留高質量的個體，淘汰低質量的個體，如此循環往復，種群的質量隨著時間的推移而不斷增加，得以進化。

在進化遞歸的每一次進程中，首先，整合上一次進化過程得到的所有個體，這些個體在該次進化過程中被稱為父母個體(parent individuals)。隨后，變異算子(variation operator)作用于種群中的父母個體，改變個體的結構，被改變后的個體被稱為新的解決方案(solutions)，也被稱為子代個體(offspring individuals)。最后，生存者選擇過程依據評估函數指標來衡量這些個體的質量，保留優質個體，淘汰劣質個體，得以進化。在我們的模型中，在每一代，初始的父母個體要與經過變異算子作用后產生的子代個體同時競爭，優勝劣汰，保證每一代種群的個體總數不改變。在這個進化過程中，種群的整體質量不斷優化，進化算法的具體思路如表4所示。

表4 進化算法

當進化算法與決策樹模型相結合時，一棵樹即是個體，多棵樹組成的整體是種群。進化樹中共有五種變異算子：四種突變算子(mutation operators，針對單一個體)和一種交叉算子(crossover operator，針對多個不同個體)。在進化過程中，變異算子隨機作用于個體，修改樹的結構，產生新的后代。根據Grubinger 等(2014)[7]的做法，五種變異算子如下：

(1)分叉(split)。

隨機選擇一個葉子節點T，并為其分配一個有效的、隨機生成的分叉規則，分叉規則由相應的分割變量x(r)和分割數值s(r)來定義。由此，被選中的葉子節點成為內部節點r，并生成兩個新的葉子節點T1和T2。

(2)修剪(prune)。

隨機選擇一個內部節點r，它有兩個葉子節點作為子節點，剪去這兩個葉子節點，將內部節點r修剪成葉子節點Tr。

(3)大分割規則突變(major split rule mutation)。

隨機選擇一個內部節點r并改變其分叉規則，其中以50%的概率，內部節點r的分割變量x(r)由原特征空間X={x1,x2,…,xn}中的其他特征變量替代；如分割變量保持不變，則其分割數值s(r)發生變化。

(4)小分割規則突變(minor split rule mutation)。

與大分割規則突變運算類似，但它并不改變分割變量x(r)，而只是將分割數值s(r)改變一個小的幅度。

(5)交叉(crossover)。

樹在被變異算子作用后，需要對其質量進行衡量，我們使用的評估函數的表達式如下：

n·log(MSE)+4·α·(m+1)·log(n)

(8)

(二)由進化樹構造風險保費類別

本節，我們將考慮使用前面介紹的進化樹方法，對八個平滑效應進行分箱處理，得到包含少數水平的分類型變量，構造風險保費類別。

關于索賠頻數和索賠強度的平滑效應分箱，我們需要分別進行估計。對于索賠頻數來說，觀測值的數量nfreq=678 013；對于索賠強度來說，觀測值nsev=24 743。調試變量α是模型預測精度和復雜度之間的調和值，針對不同的模型，調試參數取值不同。在α選擇方面，我們也是對索賠頻數αfreq和索賠強度αsev模型分別計算。參考Henckaerts(2018)[11]的做法，我們對αfreq和αsev分別取不等距集合{1,1.5,2,…,9.5,10,20,30,…,90,100,150,200,…,1 200}中的值，再分別代入模型中，以BIC為指標，找到使得模型BIC最低的αfreq= 1 100,αsev=200。

圖4 索賠頻數模型平滑效應分箱

圖5 索賠強度模型平滑效應分箱

六、保費結構分析

(一)從GAMs到GLMs

上一節我們運用了R軟件包中的evtree對幾個連續平滑效應進行了分箱處理，根據以上索賠頻數和索賠強度的分箱結果，我們得到了連續變量分箱后的分類變量。應用這些分類變量構造GLMs，由此得到了兩個模型的參數估計，見表5和表6(3)受篇幅限制,文中無法列出表5和表6的全部內容，僅列出部分參數估計，感興趣的讀者可聯系作者索取。。

表5 索賠頻數模型(GLM)的參數估計

表6 索賠強度模型(GLM)的參數估計

在最優模型選擇方面，以同時衡量模型擬合效果和復雜度的AIC和BIC為指標。表7列舉了GAMs和GLMs下的索賠頻數和索賠強度模型對應的AIC和BIC的值，從表7可知：不管是索賠頻數模型，還是索賠強度模型，對應的AIC和BIC很相近。

表7 GAMs和GLMs的AIC和BIC比較

(二)純保費分析

為每一份保單i計算純保費πi，純保費πi的公式如下：

πi=E(Fi)×E(Si)

(9)

其中E(Fi)是保單i索賠頻數的期望值，E(Si)是保單i索賠強度的期望值。

在保費預測時，我們再次對數據進行了處理，刪去了那些損失特別大的極端數據，以免對模型預測產生極端影響。最終我們新生成了預測數據集FF.pred，里面包含了677 499個保單持有人的損失數據(原數據FF中包含了678 013個數據(4)為避免極端值對模型預測產生影響，我們從FF數據集中刪去那些損失額大于10 000的數據，總共刪去了514個數據量，新生成的FF.pred包含677 499個數據量，用于純保費的估計。)。此時，對預測數據集FF.pred，根據以上模型，最終求得的GAM純保費為33 942 460，GLM的純保費為33 864 103，GLM預測的純保費比GAM低了78 357，占比0.231%，這兩個估計都略高于實際的總損失33 742 058。

就純保費預測精度而言，GAMs和GLMs兩者表現相當。就模型解釋性而言，GLMs有直觀的風險保費類別，更易于理解和解釋；而GAMs有非線性的平滑效應，在解釋方面較為復雜。

根據以上整體分析，分箱后的GLMs在擬合效果上近似于GAMs，解釋性優于GAMs，以進化樹分箱來構造車險風險保費類別的方法可以從多角度來優化GAMs。

七、總結

在車險定價中，廣義線性模型(GLM)已經成為標準方法。對連續型自變量，很多情況下，直接應用廣義線性模型，會忽略自變量的非線性效應。作為傳統的廣義線性模型的推廣，通過引入變量的樣條函數，廣義可加模型(GAM)能很好地考慮到非線性效應。廣義可加模型的預測精度更好，但不足之處是在實務應用中，模型的可解釋性變差。在實務中傳統的做法是：對連續型自變量，直接劃分為分類變量，再應用廣義線性模型。但這樣做的不足之處在于，主觀性較強，理論依據顯得不足。

本文運用了數據驅動的分箱方法，對連續型變量進行分箱處理，目的是更好地建立車險定價中的風險保費類別。我們對索賠頻數和索賠強度這兩個響應變量，在分箱處理前后，分別建立了廣義可加模型(GAM)和廣義線性模型(GLM)，結合這兩個模型的預測值，預測了純保費，結果發現分箱后的GLM可以用來優化GAM。

本文的思路是先對法國三責險數據freMTPL2freq和freMTPL2sev進行處理，得到索賠頻數和索賠強度模型擬合的數據集FF和FF.sev。再以GAM框架為起點，構建了一組索賠頻數-索賠強度模型。隨后，運用決策樹中的進化樹算法，對連續型變量進行分箱處理，將連續型變量轉化為分類變量，再構造新的GLM，得到了一組新的索賠頻數-索賠強度模型，由此構造了車險風險保費類別。

模型擬合一直存在著擬合精度和可解釋性之間的權衡，不斷優化模型的目的之一，是用更簡單的模型達到更好的擬合精度，分箱后的廣義線性模型比廣義可加模型更簡單、更直觀、易解釋。經過模型預測，我們得出由廣義線性模型計算出的保費，與由廣義可加模型得到的結論非常接近。由此，本文研究得到了一個更簡單直接的模型，可作為實務中更復雜車險定價模型的較好替代。

本文的研究結果中，模型里的定價類別并沒有加入地區(Area)等空間因素自變量，但是在Fahrmeir 等(2007)[12]、Tufvesson 等(2019)[13]中考慮了地理空間因素在車險風險保費類別構造中的影響。此外，模型最終擬合中沒有加入汽車動力(VehPower)自變量，而在Wüthrich(2020)[14]車險定價模型中包含了這個自變量。

本文使用的進化樹算法是一種近幾年才出現的機器學習算法，作者查閱了國內相關文獻，未發現將進化樹算法應用于車險定價的論文，本文重點介紹了進化樹算法的原理及其精算應用。

近年來，大數據和機器學習技術快速發展，本文的數據驅動進化樹算法不僅可應用于車險定價領域，今后也必會應用于其他領域來處理預測建模問題。數據科學對保險業的沖擊和促進是必然趨勢，相信在不遠的未來，會有越來越多的機器學習方法被應用于精算領域。