高速鐵路板式軌道和大地的振動預測及對連續軌道板模型的討論

彭宇豪，圣小珍，張皓迪，岳松濤

(1.上海工程技術大學 城市軌道交通學院, 上海 201620；2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

隨著鐵路附近建筑用地的增加以及公眾對振動和噪聲問題認識的提高，鐵路引起的環境振動問題受到人們的廣泛關注，成為影響高速鐵路和城市鐵路網可持續發展的重要問題之一。因此開展對環境振動的研究十分必要，其中一個重要方面，就是鐵路環境振動的預測。

已有許多研究者建立鐵路環境振動預測模型。預測模型包括經驗模型、數值模型和解析模型。對軌道結構和大地做一些簡化，可以建立具有高計算效率的解析(或半解析)模型，通過這些解析模型的分析計算，揭示鐵路環境振動的特性。Dieterman[1]認為當列車速度接近彈性半空間的臨界速度時，會激發大地的特征波，使大地的振動水平顯著上升。文獻[2-4]基于傳遞矩陣法建立了固定和移動荷載作用下環境振動的解析模型，系統響應在頻率-波數域中求解。軌道被簡化成沿著縱向(軌道延伸方向)不變的結構，土壤為水平分層結構且服從線彈性假設。和振興[5]使用文獻[2-3]的方法，將軌道板假設成無限長的梁，研究了板式軌道交通引起的環境振動問題。

現有的解析模型通常將軌道系統簡化成沿著縱向不變的結構，即2.5D結構。但實際上鋼軌的周期離散支承、軌道板的分段澆筑或預制軌道板的鋪設，都使得軌道結構是一個周期結構。Hussein等[6]基于周期結構理論考慮軌道板的離散分布，但分析僅針對于地下軌道交通。對鋪設在大地表面的高速鐵路，考慮軌道/大地結構周期特性的地面板式軌道交通環境振動預測模型還有待建立。同時，已有的預測模型將不連續的軌道板簡化為連續無限長的歐拉-伯努利梁，此簡化對大地振動的影響并未得到充分的研究。本文將軌道/大地系統作為一個無限長的周期結構，建立地面的板式軌道交通誘發的環境振動預測模型，同時考慮鋼軌的離散支承和軌道板的離散分布。通過傅里葉變換、周期結構理論和頻率-波數域中大地的動柔度求解系統的響應，其中邊界自由的軌道板的振動使用模態疊加法表示，模態疊加系數在頻率-空間域中求解。通過將預測結果與已有模型預測結果進行對比，明確了軌道板簡化對環境振動預測的影響。

1 軌道/大地系統運動微分方程及對移動簡化荷載響應的求解

已有研究表明，在軌道板下使用低剛度的減振墊，可以減少振動向軌下系統的傳遞，控制高速列車運行引起的環境振動問題[7-8]。本節針對這樣的減振型板式軌道建立運動微分方程并進行求解。軌道/大地系統見圖1，包括鋼軌、軌道板和混凝土底座。鋼軌由離散的彈簧(扣件系統)支承，軌道板下的減振層表示為連續分布的彈簧。鋼軌和混凝土底座分別簡化為無限長的鐵木辛柯梁和歐拉-伯努利梁，而邊界自由的軌道板則表示為有限長的歐拉-伯努利梁。通常認為，鋼軌在高頻激勵下會發生剪切變形，鐵木辛柯梁比歐拉-伯努利梁更適合于確定鋼軌在高頻下的動力響應，但在低頻下它們是等效的。對自由的標準60鋼軌的研究表明，歐拉-伯努利梁理論可以適用于大約300 Hz以下的振動。然而，文獻[9]表明，由于鋼軌不是自由鋼軌，而是受到來自扣件的橫向力的作用，這些橫向力所產生的剪切變形使得歐拉-伯努利梁理論即使是在頻率很低時也會產生較大的誤差。本文認為將鋼軌簡化為鐵木辛柯梁比歐拉-伯努利梁更為合適。如圖1所示，軌道/大地系統在縱向是一個無限長的周期結構，周期為L。假定每個軌道板上有K個扣件，扣件間距為l。第j個子周期位于[jL，(j+1)L]，包含了第j個軌道板，其中j=-∞,…,0,…,+∞。x軸的原點位于第0個子周期軌道板的左端。

圖1 軌道/大地系統示意圖

當移動速度為c，頻率為Ω的簡諧激勵P0eiΩt作用在鋼軌上，鋼軌的振動可表示為

(1)

將式(1)對x和t作傅里葉變換,得

(2)

式中：對x的傅里葉變換記為“-”，對應波數β；對t的傅里葉變換標記為“^”，對應頻率f。

根據周期結構理論可得[10-12]

(3)

式中：

β*=(Ω-2πf)/c

(4)

(5)

令

根據在轉動方向上鋼軌墊片的動剛度kψ=bs2kP/12(bs為墊片長度)，并由式(5)可得頻率-波數域中鋼軌的位移為

(6)

將式(6)對波數β作傅里葉逆變換得到鋼軌的位移頻譜

式中：

βj=β*-2πj/L

(8)

第0個子周期內軌道板的振動位移可以通過模態疊加法表達為

(9)

其中,

φs(ξ)=cosh(λsξ)+cos(λsξ)-

Fs[sinh(λsξ)+sin(λsξ)]

Fs=[sinh(λsL)+sin(λsL)]/

[cosh(λsL)-cos(λsL)]s≥3

僅考慮軌道板的前S階模態，對應的第S階固有頻率需滿足遠大于大地振動關注的頻率范圍(人體可感知的振動為1～80 Hz，大地振動導致的二次結構噪聲為20～250 Hz)。

將式(9)代入式(7)可得

(10)

式中：

(11)

as(x,f)=

(12)

矩陣是未知的，由第0個子周期內鋼軌在扣件位置處的位移頻譜組成，將在式(13)～式(34)中求解。

(13)

式中：

(14)

(15)

(16)

(17)

式(17)為鋼軌的位移頻譜，下面將用類似的方法求解混凝土底座的頻譜。首先定義矩形窗函數為

(18)

則在x∈(-∞,+∞)，混凝土底座的振動微分方程可表示為

(19)

式中：EBIB為混凝土底座的彎曲剛度；mB為單位長度混凝土底座的質量；k1為單位長度減振層的剛度；Fg(x,t)為大地對混凝土底座的作用力。

將式(19)對x和t作傅里葉變換并由式(2)得

(20)

(21)

式中：γ為y方向上的波數。

在y= 0處，大地表面和軌道混凝土底座的位移存在連續性

(22)

將式(22)代入式(20)得

(23)

式中：

(24)

將式(23)對波數β作傅里葉逆變換可得到混凝土底座的位移頻譜

(25)

對第0個子周期內的軌道板(即j=0)，其振動微分方程為

(26)

式中：ESIS為軌道板的彎曲剛度；mS為單位長度軌道板的質量。

將式(26)對t作傅里葉變換并代入式(25)(混凝土底座的位移頻譜)得

0≤x≤L

(27)

將式(27)兩邊同乘第m階振型函數φm(x)，并利用振型函數的正交性可得

(28)

式中：

(29)

(30)

將式(28)中的m由1取到S可得以下的線性代數方程組

(31)

令

C2qR

(32)

式(31)可簡寫為

(33)

根據式(13)和式(33)，可以得到軌道板的模態疊加系數

(34)

將式(34)代入式(17)，即可得到鋼軌的位移頻譜

(35)

式中：

根據式(11)～式(12)、式(14)～式(16)，式(35)可進一步表達為

(36)

其中，

將式(36)對頻率f作傅里葉逆變換可得時間-空間域中大地的穩態響應，且根據式(4)，2πf=Ω-βc=ω，2πdf=-cdβ，大地的響應最終可表示為(β*用β替代)

(37)

在隨荷載移動的坐標系中，將x方向的坐標定義為x′=x-x0-ct。因此，式(37)變為

(38)

式中：x′=x-x0-ct為移動坐標系中x方向的坐標，表示響應點相對于移動荷載的位置[10-12]；方括號中的項在表示移動坐標系中，頻率為Ω的單位移動簡諧激勵下鋼軌的位移導納，它是一個關于時間t的周期函數，周期為L/c(即荷載通過一個子周期所需的時間)。

聯立式(20)～式(23)、式(34)，并對波數β和γ作傅里葉逆變換，得到大地表面的位移頻譜為

(39)

式中：

(40)

由于多普勒效應，即使荷載以單個簡諧頻率振動，鋼軌和大地的頻譜都包含了一個范圍的頻率成分。對于已有的模型(將軌道/大地系統簡化為2.5D結構)，軌道和大地的頻譜幅值關于x是獨立的[2-3]，而本文將軌道/大地系統作為一個周期結構，鋼軌和大地的位移頻譜幅值則與位置坐標x相關。

2 算例及分析

2.1 軌道結構和大地參數

本節基于上述推導研究周期的軌道/大地結構的臨界速度、大地頻譜以及鋼軌導納，并將結果與軌道板假設成連續無限長梁時的結果對比，明確了軌道板簡化對系統響應的影響。采用的軌道參數見表1，其中減振層剛度參考文獻[14]，為k1=4×107N/m。

表1 軌道系統參數

大地參數見表2。由于僅考慮較低的頻率范圍(0～250 Hz)，經過驗算，關于j的無窮級數可以只考慮對j=-10,…,0,…,10的各項。對邊界自由的軌道板，考慮前18階模態，即S=18，對應固有頻率為2 171 Hz，遠高于大地振動所分析的頻率范圍，能夠保證計算精度。

表2 大地參數

2.2 軸荷載臨界速度

不同速度的單位軸荷載作用下，剛性地基上周期的軌道系統中鋼軌最大位移-荷載速度曲線(上)及其頻散曲線(下，亮黃曲線)，見圖2。對于考慮軌道板離散的周期軌道結構，存在多個峰值速度，而且隨著荷載速度的降低，峰值大小明顯降低同時曲線逐漸趨于平滑。圖2(b)中的頻散曲線存在曲線聚散(即兩條頻散曲線靠近又分開)現象，圖2(a)中峰值速度對應的荷載-速度線(在頻散圖上滿足“頻率=波數×荷載速度/(2π)”的直線)總是穿過頻散曲線的聚散點(233 m/s)，或者與頻散曲線相切(111 m/s和71 m/s)。頻散曲線聚散現象在其他領域被廣泛地研究，它和系統一種類似共振的行為有關[15]。而在荷載-速度線與頻散曲線的切點(f0，k0)處，相速度為cp=2πf0/k0，群速度為cg=2π?f/?k∣(f0,k0)，且在切點處移動荷載的速度c=cp=cg，此時相速度與群速度重疊，這通常是2.5D軌道/大地結構臨界速度的產生機制[16]。圖3為移動坐標系下大地最大位移-荷載速度曲線，其中周期的軌道/大地結構對應的曲線也出現了多個峰值速度。236 m/s處的峰值與圖2(a)中233 m/s的峰值相對應，主要是周期的軌道系統引起的。180 m/s左右的峰值是主要由大地導致的，但被軌道系統影響。將軌道板假設為連續無限長的結構在一定程度上加強了軌道/大地系統，故預測出的臨界速度(182 m/s)略高于軌道板離散時的結果(177 m/s)。周期的軌道/大地模型預測出了多個峰值速度，這與軌道板連續模型的結果存在明顯的差別。

圖2 剛性地基上周期軌道的鋼軌最大位移-荷載速度及頻散關系

圖3 大地表面最大位移-荷載速度曲線

2.3 移動簡諧荷載產生的振動譜

為分析離散軌道板對系統響應的影響，首先對剛性地基上的軌道板作模態分析，減振層用等效的彈簧表示。軌道板的前5階模態振型(彩色云圖)及其固有頻率見圖4，前兩階模態為剛體模態，軌道板在減振層上作剛性的平動和轉動，其余的模態為軌道板的彎曲模態。圖4中軌道板振型對應的固有頻率皆位于大地振動所關注的頻率范圍之內。

圖4 軌道板模態及其固有頻率

在荷載速度100 m/s激勵頻率60 Hz的單位簡諧激勵下，大地的頻譜見圖5。軌道板離散時大地頻譜曲線在31.7 Hz出現了額外的峰值，圖4中軌道板在33.4 Hz處也存在一彎曲模態。因此大地頻譜在31.7 Hz的峰值主要是減振層上自由軌道板的彎曲模態導致的。軌道板彎曲模態對鋼軌的響應也有明顯的影響，將在2.4節詳細地分析。當軌道板被假設成無限長時，軌道/大地系統為波導結構，在頻譜曲線上有兩個尖銳的峰值，這是多普勒效應的典型特征。而實際上軌道板為離散結構，即軌道/大地系統是周期結構，具有不同的波導特性(存在通帶和阻帶)，故兩條頻譜曲線存在明顯的差別。

圖5 大地頻譜

圖6 鋼軌導納

2.4 軌道結構和大地的頻響特性

移動坐標系下的鋼軌導納見圖6，其中x′=x0=0，c=0，t=0。圖6中在頻率為28、195 Hz的峰值處鋼軌振動類似于一個二自由度系統，峰值頻率與二自由度系統的固有頻率相吻合。在14 Hz處的峰值主要由層狀大地的固有振動引起的，但同時被軌道系統所影響。與軌道板離散的情況相比，將軌道板假設為無限長時提高了軌道板的彎曲剛度，所以在14、28 Hz處軌道板離散時鋼軌導納具有更高的峰值。當頻率提高到195 Hz時，鋼軌主要在鋼軌墊片上振動，軌道板是連續或離散對鋼軌導納的影響不大。軌道板離散時，鋼軌導納在62、102 Hz有額外的峰值，圖4中軌道板在56.9、100.2 Hz也存在相應的彎曲模態，所以鋼軌導納在62、102 Hz的峰值仍與軌道板的彎曲模態有關。軌道板被假設成無限長時對鋼軌導納的影響會影響輪軌力的計算，進而影響大地響應的預測。

3 結論

本文基于傅里葉變換、周期結構理論和頻率-波數域中大地的動柔度建立了更接近實際結構的地面板式軌道交通誘發的環境振動預測模型，即考慮了鋼軌的離散支承和軌道板的離散分布，對比了本文模型與簡化模型的對大地振動預測的差別。已有的模型通常將軌道/大地系統簡化為縱向均勻的2.5D結構，而本文將其視為無限長的周期結構，以一減振型無砟軌道為例，通過將本文模型與簡化模型的預測結果作對比，明確了將不連續軌道板假設成連續無限長的歐拉-伯努利梁對臨界速度、大地頻譜和鋼軌導納預測存在以下影響：

(1)對于臨界速度，簡化模型僅預測出了一個臨界速度，其產生機制為相速度與群速度的重疊，周期的軌道/大地結構存在多個峰值速度(臨界速度)，其產生機制除了是相速度與群速度的重疊，還與頻散曲線的聚散現象有關。

(2)對于大地頻譜，簡化模型中軌道/大地結構是一個波導結構，本文將其作為更符合實際的周期結構，具有不同的波導特性(存在通帶和阻帶)，因此兩種模型預測的大地頻譜也會不同。離散軌道板的彎曲模態會導致大地的頻譜響應出現相應的峰值，如大地頻譜在31.7 Hz的峰值對應軌道板在33.4 Hz處的彎曲模態。

(3)對于鋼軌導納，與簡化模型相比，本文模型中邊界自由的軌道板的彎曲模態會也使鋼軌導納曲線出現相應峰值，如鋼軌導納在62、106 Hz處的峰值，對應軌道板在56.9、100.2 Hz的彎曲模態。