空間超長波天線繩系系統動力學建模與分析

高懷旭 張曉敏 徐 瑞

北京理工大學宇航學院，北京 100081

0 引 言

超長波(Extremely low frequency，ELF)通信又稱超低頻通信，指信號頻率在30 Hz ～ 300 Hz的電磁波通信模式。超長波具有抗干擾能力強，衰減率低的優點，非常適合超長距離通信，在民用和軍用領域都有著廣泛的應用。然而，超長波通信的理論優勢應用在實際中，仍然面臨一些困難。根據波長與頻率的反比關系，超低頻的信號需要匹配極大尺寸的天線。傳統的超長波天線安裝在地面上，不方便機動和隱蔽，且容易受到地面上山川河流或者建筑物的阻礙影響?？臻g超長波天線則另辟蹊徑，借助日趨成熟的衛星技術進入近地空間。天線在地外環境中展開不受任何空間上的約束，受地面干擾極小，而且天線還可隨著衛星的軌道機動而機動，極大增加了其應用范圍。截至目前，關于空間超長波天線系統的理論研究和空間實驗很少。不過，該系統的理論模型與繩系衛星有很高的相似性。

繩系衛星系統(Tethered satellite system，TSS)主要是指由兩顆衛星(一般根據功能區分為主星、子星)和一根系繩組成的二體航天器。自20世紀提出以來，因其在清除空間碎片[1]、軌道轉移[2]、人工重力[3]、系繩編隊[4]等方面具有重要的應用，受到研究人員的的持續關注[5]。在目前已經開展的繩系衛星實驗中，系繩的材料以非導電材料為主，這種材料柔性大，易彎折；普通的金屬材料系繩雖然能導電，但重量大，不易收納和展開。這兩類材料都不具備充當空間超長天線材料的可能。碳納米管作為一種新型高分子材料，密度低，導電性能好，延展性強。千米級的碳納米管繩，可以被收納到容積為2L的盒子里，這就為空間超長天線系統的構建提供了材料上的支持。

搭載著超長天線的衛星進入軌道后，其最終目的是將千米級的天線展開，并保持對地穩定，如此才能完成信號的傳輸。因此對于空間天線展開的動力學建模尤為重要。參考繩系衛星的研究，對于展開過程的動力學建模主要有以下幾種方法[6]：1)運用Lagrange方程建立的桿模型(啞鈴模型)[7]；2)運用牛頓第二定律的珠鏈式模型；3)運用絕對坐標節點法的有限元模型。

趙國偉等[8]基于啞鈴模型設計了繩系衛星軌道機動中的連續推理控制方法。William[9]則在剛性桿的基礎上設計了繩系衛星對于目標捕獲的控制方法。朱兵等[10]針對啞鈴模型提出了一種新的離散控制繩系無超調釋放的方法。楊育偉[11]等研究了系統參數對電動力繩系動力學的影響。胡仄虹等[12]基于珠鏈式模型建立了空間繩系機器人的動力學方程組，并給出了一種高效時域求解算法。Mankala等[13]采用有限元法建立了系繩釋放和回收兩個過程的動力學模型，并進行了離散化求解。Ellis等[14]基于有限元模型完成了電動力系繩建模工作。

珠鏈式模型和有限元模型為了提高精度必須增加相當數量的質點，但這會增加計算量和求解的復雜性。而在以往采用Lagrange法建立的桿模型中，經常忽略系繩的質量、彈性以及在系繩釋放過程中整個系統質心的變化。剛性桿模型不能體現出系繩在釋放過程中的彈性勢能的變化以及其中的阻尼損耗。對于釋放過程的穩定性，大部分的研究都著重于控制方法的設計，忽視了釋放條件對于系統的影響。

針對上述研究中的不足，本文依托北理工2號衛星(BP-2)的工程項目，采用Lagrange法建立了有彈性、有阻尼、變質量的動力學方程來描述超長波天線繩系系統的釋放過程，并根據釋放條件對于系統的影響情況，設計了最優釋放初值。

1 繩系系統建模

1.1 系統組成

超長波天線繩系系統由兩顆衛星和一根千米級的碳納米管繩組成，兩顆衛星根據功能區分為主星、子星。衛星發射前，主星和子星通過爆炸螺栓緊固連接在一起，碳納米管繩盤繞在收納盒中。

北理工2號衛星計劃運行在軌道高度370km、軌道傾角97°的太陽同步軌道上。發射入軌后，衛星在空間飛行試驗中解鎖爆炸螺栓，由彈簧將主星和子星推離，初始相對速度約1m/s。系繩為純碳納米管材料，總長度1080m，直徑約1mm，線密度為0.8g/m。

1.2 坐標系定義

為描述繩系系統在空間的運動狀態，本節將介紹下列3組坐標系：

1)地心慣性坐標系：以地心O1為原點，X1軸指向春分點，Z1軸與地球自轉軸方向一致，Y1軸由右手法則確定；

2)軌道坐標系：以繩系系統的質心O為原點，Z2軸指向地心，X2軸指向系統飛行的方向，Y2軸由右手法則確定；

3)本體坐標系：以繩系系統的質心O為原點，由主星指向子星的方向為Z軸。本體坐標系可由軌道坐標系經過2次旋轉得到，2次旋轉的角度記為θ和φ，稱為繩系系統的面內角和面外角。釋放繩長l、面內角θ和面外角φ，描述了空間繩系系統的基礎運動狀態。

圖1 北理工2號繩系衛星的連接方式

圖2(a) 慣性系與軌道系

圖2(b) 軌道系與本體系

1.3 釋放階段動力學方程建立

繩系系統釋放階段的動力學服從理想約束條件，因此采用分析力學的方法推導動力學方程。這種方法需要先計算系統的動能和勢能。為使建立的模型可計算可分析，現做出如下幾個假設：

1)考慮到繩系系統從開始釋放到相對穩定的時間遠少于離軌時間，因此認為在釋放期間，整個系統運行在軌道高度不變的圓軌道上，忽略其他因素對于軌道的攝動影響；釋放過程中關閉電子收發裝置，無洛倫茲力的產生；

2)主星和子星在建模中視為質點，不考慮其姿態對于系繩的影響；

3)系繩在釋放過程中始終呈直線，不考慮系繩的柔性。由于在實際的繩系衛星實驗中，系繩的長度常常達到千米級甚至十幾千米，因此在計算中需考慮系繩的質量和彈性，同時也考慮系繩釋放過程中對于主星質量的影響、對于系統質心的影響。

各部分質量表達式為

(1)

考慮系繩質量變化和系統質心變化的等效質量m*和m#表達式為

(2)

下面直接給出系統動能、重力勢能和彈性勢能的表達式[15]

(3)

取拉格朗日函數L=T-V1-V2，建立含有耗散函數的第二類拉格朗日方程

(4)

求解拉格朗日方程中需用到的等效質量對時間和繩長的導數如下

(5)

三個廣義坐標分別為q1=θ,q2=φ,q3=l。在自由釋放過程中，無主動力的控制和外界攝動力的作用，廣義力Qqi=0。

為提高方程解算精度，引入無量綱化處理

(6)

定義如下質量系數

(7)

最終得到的無量綱化的動力學方程為

(8)

2 繩系釋放過程仿真

本節將對第1節中所建立的繩系釋放動力學模型進行仿真計算，仿真環境為Windows 10，Matlab和ode45 Runge-Kutta積分器。仿真中所用的物理參數來源于北理工2號繩系衛星。根據北理工2號衛星的預設工況，本小節設置釋放初始面內角θ0=5°，初始面外角φ0=1°，其余參數設置如表1所示。

表1 北理工2號繩系衛星參數

圖3和4展示了繩系系統的三個廣義坐標隨時間的變化情況。從中可以分析出：系繩釋放長度在首次達到標稱長度后，迅速下降至一個波谷，然后再次上升至標稱長度，如此反復幾次。最終在系繩阻尼的作用下趨于穩定，整個過程持續時間約為0.7個軌道周期。面內角在釋放過程中會隨著時間進行一定幅度的振蕩變化，且并不收斂。面外角在整個釋放過程中也隨時間進行周期性振蕩，但其振蕩幅度始終很小(-0.6°～0.6°)。因此，可將三維空間內的繩系衛星釋放過程，簡化至二維平面內。

圖3 無量綱繩長隨時間變化圖

結合3個廣義坐標的變化情況，可以得出繩系系統釋放時的運動規律。在釋放的初始階段，子星相對主星的運動可以看成是遵循C-W方程的相對運動。當系繩釋放至標稱長度時，其產生的張力促使子星迅速向主星所在方向回擺，主星和子星之間的距離縮短，系繩變為松弛狀態，整個系統也進入新的運動狀態。當兩顆立方星之間的距離再次達到標稱長度時，系繩再次張緊，子星再次回擺，如此循環若干次最終由于系繩上的彈性勢能不斷被其阻尼耗散，系繩釋放長度趨于穩定，兩顆立方星之間的距離也不再變化。但由于面內角無法收斂，在無其它外力的擾動和控制下，子星將相對于主星做周期性的圓弧形擺動，擺動幅度為-15°～15°。

圖4 面內角和面外角隨時間變化圖

3 釋放動力學特性分析

3.1 繩系釋放初值對于系統運動的影響

在繩系系統開始釋放時，子星的相對運動方向(即繩系系統面內角初值)和速度大小，會影響到整個系統的運動狀態和最終達到穩態的時間。本小節對此進行仿真計算，選取一組初始面內角θ0=[5°,10°,20°,40°]和速度v0=[0.5,1,2,2.5]m/s。

圖5展示了在初始釋放速度為1 m/s的情況下，不同的面內角初值對系統運動狀態的影響。隨著面內角初值的增大，釋放完畢后系統面內角的振蕩幅隨之減小。當面內角初值增加至40°時，最終的振蕩幅值大幅度降低(-5°～5°)。由此得出，面內角初值即系繩釋放的初始方向，對系統的穩定性有很大影響。另一方面，面外角的振蕩幅度同樣會隨著面內角初值的增加而增加，但相比于面內角仍然很小。

圖5 不同面內角初值下的面內角變化曲線

圖6和圖7展示了在初始面內角為5°的情況下，釋放初速度對系統運動狀態的影響。當初速度為2.5m/s時，繩系系統的運動狀態相比于1 m/s時，都產生了較大的變化。面內角在-50°～50°的范圍內大幅度振蕩；預設工況下振蕩幅度很小的面外角振幅也達到了-8°～8°，系統有隨時翻轉、失穩的可能，抗干擾能力很弱。由此可見，應將2.5m/s設為釋放初速度的安全上限。

圖6 不同釋放初速度下的面內角變化曲線

圖7 不同釋放初速度下的面外角變化曲線

3.2 系繩最優釋放初值分析

已有文獻表明[17]當系繩擺角接近50°，系繩會松弛。若繩的擺幅過大，如90°，此時，主星和子星之間的重力梯度力會消失，在外界的輕微擾動下很容易導致整個繩系衛星系統發生翻滾，使其空間任務失敗。

根據3.1小節中的研究，已經初步得到面內角和面外角的擺幅變化規律。本小節將會在一定區間內采用遍歷法，尋找北理工2號繩系衛星的最優釋放初值。

給定面內角初值區間[1°,40°]、釋放初速度區間[0.5,1.5]m/s。將繩系系統釋放穩定后面內角和面外角的擺動幅度(極值)分別記為θs和φs，通過遍歷法尋找兩者之和的最小值。

遍歷計算的結果如圖11所示，經比較、檢驗，當θ0=35°、v0=1.15m/s時，繩系系統穩定后的面內角、面外角振蕩幅度最小，振蕩幅值之和在3°以下，相比于預設工況釋放條件下的運動情況， 最優釋放條件使整個系統的擺幅降低了80%，大大提高了穩定性，也為后續的主動力控制減輕了負擔。

圖8 釋放初值與振蕩幅值的等值區域圖

4 結論

以空間超長波天線繩系系統為研究對象，依托北理工2號衛星的實際工程參數，使用Lagrange方法，充分考慮系繩的質量、彈性和阻尼耗散，建立了變質量、變質心的繩系系統釋放過程的動力學模型。分析了繩系釋放從開始到相對穩定的全運動過程，探究了系繩釋放初速度和面內角初值對于系統運動和穩定性的影響，指出在一定范圍內隨著面內角初值的增加，系統最終的振蕩幅度會減小。計算得到系統的最優釋放條件(θ0=35°、v0=1.15m/s)，為北理工2號衛星繩系系統的工程方案設計提供了理論依據。