“等時圓”對折射定律的表示意義

黃 偉 陳 珂

（1.湖北漢川一中，湖北 孝感 431600；2.武漢光谷教育發展研究院，湖北 武漢 430000）

折射定律概括了光線在不同光介質中傳播的基本規律.折射定律是幾何光學的基本原理，它的發現奠定了幾何光學的定量地位.折射定律有3種表示方式，分別是斯涅耳原理、費馬原理、惠更斯原理.

1 折射定律的發展及深入理解

公元2世紀，古希臘人托勒密（約90—168）通過實驗研究了光的折射現象，并得出“折射角與入射角成正比”的結論.1611年，德國科學家開普勒（1571—1630）在其系統研究的基礎上，寫成了《折射光》一書，指出托勒密的折射定律只適用于入射角小于30°的情況.他認為折射角是由兩部分組成的，一部分正比于入射角，另一部分正比于入射角的正割，對折射定律的研究開普勒比托勒密前進了一步，但他沒找到折射定律的正確形式.

1.1 斯涅耳的折射定律

折射定律物理上的正確表述最早是由荷蘭數學家斯涅耳（1591—1626）于1621年由實驗得出，他作了這樣的表述：對于給定的兩種介質，入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值.他研究了水中的物體看起來像漂浮的現象，如圖1所示，當從空氣中的A點觀察水中的B點時，猶如在E點一樣.斯涅耳發現：對于任意入射角，存在以下關系

圖1

斯涅耳得出這一定律，但他在世時并未公開發表，1626年，惠更斯閱讀其遺稿后，才正式發表.斯涅耳的折射定律只是實驗結果，沒有作理論上的推導.

1.2 費馬原理與折射定律

費馬原理為折射定律提供了嚴格準確的證明.

法國數學家費馬（1601～1665）在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.“取極值”在數學上可理解為一階導數為0，它可以是極大值、極小值甚至是拐點.用光程表示的費馬原理為

參考圖1，若光從A點出射通過分界面到達B點，設介質1中光速為v1，介質2中光速為v2，令AC=a，BD=b，CD=l，CO=x，則通過的時間為

費馬原理還可表述為：在所有可能的光傳播途徑中，實際路徑所需的時間取極值.

1.3 惠更斯原理與折射定律

惠更斯原理從光的波動說的角度更加形象地解釋了折射定律.

荷蘭物理學家惠更斯（1629—1695）在1690年出版的《光論》一書中正式提出了光的波動說，建立了著名的惠更斯原理（后發展為“惠更斯-菲涅耳原理”）.在此原理基礎上，他推導出了光的反射和折射定律，圓滿地解釋了光速在光密介質中減小的原因.

惠更斯原理指出：介質中任一波面上的各點，都可以看作發射子波的波源，其后任意時刻，這些子波在波前進方向的包絡面就是新的波面.如圖2所示，由惠更斯原理，O、B為同一波面上的兩點，經Δt后，O點發射的子波到達界面處A點，B點發射的子波到達C點，由于

圖2

2 惠更斯原理下“等時圓”的幾何表示

惠更斯用波前的概念表示光波的傳播，如圖2是惠更斯原理的幾何三角形的表示，三角形表示的意義在于直觀呈現在不同介質中，光線行進方向的轉向關系.幾何三角形還可以被“等時圓”的形式等價表示，“等時圓”表示的意義在于直觀呈現不同折射率光線相同時間的光程大小關系.

2.1 惠更斯“等時圓”模型

如圖3所示，一束白光從真空射入某種介質中，發生折射后，各種單色光到達以入射點O為端點、界面為直徑的一個幾何圓周上的時間相等，與折射率無關.

圖3

證明：如圖4所示，OB為其中一束折射光線，設入射角為θ，折射角為α，圓的半徑為R，則此束光線在介質中從O傳到B的時間

圖4

2.2 模型拓展

復色光從真空射入平行透明磚色散的兩個推論.

推論1：折射角為45°的折射光通過平行透明磚時間最短.

證明：如圖5所示，以入射點O為端點，上界面為直徑作圓，與下界面相切于B點，由惠更斯“等時圓”可知，折射光線OB在介質中傳播時間最短，此時折射角為45°.

圖5

推論2：折射角互余（關于折射角為45°折射光線角對稱）的兩束折射光通過平行透明磚時間相等.

證明：如圖6所示，由惠更斯“等時圓”可知，折射光線OA、OC在介質中傳播的時間相等，由圓的幾何對稱關系可得，其折射角∠POA與∠POC互余，即關于折射角為45°折射光線角對稱.

圖6

2.3 模型應用

例1.（2008年全國卷Ⅰ第21題改編）如圖7所示，一束由紅、藍兩單色光組成的光線從一平行透明磚上表面以入射角θ射入，穿過平行透明磚自下表面射出，則在θ從0°逐漸增大至90°的過程中，求哪種色光先射出透明磚（設平行透明磚厚度為d，對紅光折射率為n1，對藍光折射率為n2）.

圖7

解析：（1）用折射定律求解.

設紅光與藍光穿過磚所用時間為t1和t2，根據路程，折射率，速度，可得時間，原高考題中n=1.5，進1一步計算可得t1＜t2.

這類題目一般以選擇題的形式出現，利用折射定律求解計算量較大，若介質折射率未知則需分類討論，更為復雜.

（2）“等時圓”圖解很直觀.

例1中，當入射角為θ=90°、折射角為α=45°時，

圖8

（a）當入射角為臨界角θ0時，如圖9所示，紅光、藍光同時射出透明磚.

圖9

（b）當入射角小于臨界角θ0時，如圖8所示，紅光先射出透明磚.

（c）當入射角大于臨界角θ0時，如圖10所示，藍光先射出透明磚.

圖10

例2.如圖11所示，某玻璃磚的橫截面是等腰直角三角形，一束由紅藍兩色組成的復色光從AB邊的O點平行于BC邊射入后，兩種色光均在BC發生全反射后首次從AC邊射出玻璃磚，求哪種色光先射出透明磚.

圖11

解析：“等時圓”圖解.如圖12所示，構建正方形平行玻璃磚ABDC，由幾何對稱關系可知，紅光由O傳到E與O傳到E′的時間相等，藍光由O傳到F與O傳到F′的時間相等，由上述平行透明磚的推論可知，紅光先射出玻璃磚.

圖12

3 結束語

綜上所述，利用惠更斯“等時圓”比較光通過平行玻璃磚的時間非常形象直觀，“等時圓”表示折射定律使其物理意義得以更加明確地體現.在教學中，加強“物理模型”的構建與轉化應用，有利于培養學生的科學思維、發展學生物理學科核心素養.