帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題分析

陳 燕 羅志恒

（蘇州大學附屬蘇州十中，江蘇 蘇州 215006）

1 問題提出

帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題是磁場教學中的重點與難點之一.因其能有效考查學生數理結合能力、讀圖形畫圖形能力、空間思維能力，此類問題成為近年高考的熱點之一.以壓軸題出現，其情景變化多端，難以一眼洞穿.我們可以用計算機制作動畫模擬物理情景，將帶電粒子運動軌跡畫出，動態模擬“動態圓”變化過程，能直觀形象地探究粒子的運動情況，化抽象為形象，數形結合來解決物理問題.當粒子入射點、速度方向一定，速度大小變化時，可以用“縮放圓”模型分析、解決問題.當粒子速度方向一定，速度大小變化，入射點變化時，可以用“縮放圓”“等時圓”“移動圓”等模型分析、解決問題.從實例中進行解決問題策略的研究.

2 案例分析

“新鮮出爐”的2021—2022學年度蘇、錫、常、鎮4市高三教學情況調研（二）中的壓軸第15題，可以將物理情景轉化為物理模型，用幾何畫板畫“動態圓”模擬粒子運動情況的分析.如圖1所示，某行星的赤道線，半徑為R，在其赤道平面上，行星產生的磁場可以近似看成以行星中心為圓心、半徑為3R的有界勻強磁場，磁感應強度為B.太陽耀斑爆發時，向該行星持續不斷地輻射大量電量為q、質量為m的帶正電的粒子，粒子速度方向平行，垂直于AB，速度大小介于某一范圍.已知從A點射入磁場的帶電粒子在磁場力的作用下恰能到達赤道線下半圓弧上的各點.不計一切阻力.

圖1 粒子進入磁場運動

（1）求帶電粒子的速度范圍；

（2）求帶電粒子從磁場邊緣到行星赤道面的最短時間；

（3）帶電粒子在該行星赤道上存在一段輻射盲區（不能到達的區域），求該盲區所對圓心角的正弦值.

解析：第（1）小問，從A點射入磁場的帶電粒子在磁場力的作用下恰能到達赤道線下半圓弧上的各點，當粒子入射點、速度方向一定，速度大小變化時，可以用“縮放圓”模型分析、解決問題.如圖2-圖4逐漸增大帶電粒子做勻速圓周運動的半徑，也就是“縮放圓”與赤道線下半圓弧上的各點相交，粒子做勻速圓周運動的半徑由R增大到2R.

圖2 粒子運動半徑為R

圖3 粒子運動半徑R＜r＜2R

圖4 粒子運動半徑r=2R

第（2）小問，輻射大量電荷量為q、質量為m的帶正電的粒子，在勻強磁場中運動的周期，可以用幾何畫板畫出半徑為R到2R的大小變化的“等時圓”，“動態等時圓”的動點D沿著磁場區域的外邊界即半徑為3R的大圓上運動，模擬速度豎直向下的帶電粒子的運動軌跡.帶電粒子從磁場邊緣到行星赤道面的時間要短，即圖5中的“等時圓”實線部分圓弧（弦長l）對應的圓心角2α要小，弦長l要短，粒子做圓周運動的半徑r要大.如圖6示，粒子做圓周運動在磁場區域的弦正好與磁場的半徑重合，此時弦長l最短是2R，粒子做圓周運動的最大半徑為2R，此時，對應的最小圓心角

圖5 粒子進入磁場運動的“等時圓”

圖6 半徑2R弦長最短“等時圓”

第（3）小問，可以用幾何畫板畫出半徑為R到2R的大小變化的“動態圓”，“動態圓”的動點D沿著磁場區域的外邊界即半徑為3R的大圓上運動，模擬速度豎直向下的帶電粒子的運動軌跡，可以看出從不同點豎直向下射入環形勻強磁場區域的速度不同的粒子到達赤道線圓弧上的不同點.帶電粒子運動速度大小一定，即“動態圓”的半徑一定，越靠右豎直向下進入磁場區域的粒子到達赤道線圓弧上的位置越靠右，如圖7、8比較所示.當此半徑一定的動態圓與赤道線圓弧相切時如圖8所示，即此速度的帶電粒子能到達赤道線圓弧上的最靠右位置.若增大粒子入射速度，即增大“動態圓”半徑，則粒子能到達赤道線圓弧上的更靠右位置，如圖9所示.帶電粒子運動半徑最大為2R，它能夠打到該行星赤道的上半圓的區域最大.如圖10所示，最大速度運動粒子的圓弧軌跡與赤道上半圓弧相切點，為能輻射到赤道線圓弧上的最大區域的右上邊界，半徑最大為2R的“動態圓”的動點D沿著磁場區域的外邊界即半徑為3R的大圓弧上順時針方向運動，可得到涂色部分所對應的赤道線圓弧線部分即帶電粒子能打到的區域，剩下的赤道線圓弧線部分為帶電粒子輻射盲區（不能到達的區域）.

圖7 速度一定、靠左入射粒子運動軌跡

圖8 速度一定、最靠右入射粒子軌跡

圖9 速度最大、最靠右入射粒子軌跡

圖10所示幾何關系，△OO′C為等腰三角形，所以，.

圖10 最大“動態圓”顯示輻射區域

三角形底邊與AB平行，所以輻射盲區圓心角

從第（1）小問解決分析中我們可以總歸納出帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題“動圓”模型1.

模型1：“縮放圓”，如圖11所示.

圖11 “縮放圓”（半徑不同的內切圓）

適用條件：帶電粒子從同一點進入勻強磁場，運動速度的方向不變，大小改變即.粒子運動軌跡是半徑不同的內切圓.

應用方法：以入射點為定點，圓心在垂直于初速度方向的一條直線上，將半徑縮放作軌跡圓，從而探索出臨界條件.

第（2）小問可以應用“縮放圓”模型分析，如圖5、6所示，帶電粒子從圖上的同一點D以方向都是豎直向下，大小不同的速度射入有界勻強磁場中，帶電粒子速度大，則其在磁場中的軌跡圓弧長度（對應弦長）在減小，如圖6所示，粒子做圓周運動在磁場區域的弦正好與磁場的半徑重合，最短為2R，所以圓弧長度除速度，即帶電粒子從磁場邊緣到行星赤道面的時間最短.

第（3）小問也可以應用“縮放圓”模型分析，如圖12所示，比較從同一位置射入磁場的粒子，速度越大，即運動的軌跡圓越大，能輻射到赤道線圓弧上的點越靠右，輻射到赤道線圓弧上的區域越大，不能輻射到的區域即盲區越小.

圖12 用“縮放圓”模型比較分析

從本題第（2）小問解決分析中我們可以歸納出帶電粒子在勻強磁場內運動問題中“動圓”模型2.

模型2：“等時圓”.

適用條件：同一粒子以不同大小的速度射入勻強磁場，或質量和帶電量相同，運動速度大小不同的粒子射入勻強磁場，即粒子做圓周運動的半徑不同運動周期相等的圓.

應用方法：根據問題情景畫出半徑大小不等的“等時圓”，確定圓弧對應的圓心角，從而探索出臨界條件.

如圖13和圖14兩個“等時圓”，粒子做圓周運動在磁場區域的弦正好與磁場的半徑重合，此時弦長l最短是2R，從兩圖對比中可以看出圖速度大的粒子在有界勻強磁場中的運動的實線圓弧部分對應的圓心角2α小，圖14中粒子做圓周運動的最大半徑為2R，三角形是等邊三角形，對應的最小圓心角.

圖13 半徑小于2R弦長最短“等時圓”

圖14 半徑2R弦長最短“等時圓”

從本題第（3）小問分析、解決中我們可以總歸納出帶電粒子在勻強磁場內運動問題中“動圓”模型3.

模型3：“移動圓”.

適用條件：粒子的速度大小、方向均一定，入射點位置不同.

應用方法：將半徑r=mv／qB的圓移動.

如圖10所示，將半徑為2R的圓上的點D沿著磁場區域的外邊界，即半徑為3R的圓弧上由A點開始沿順時針移動，半徑為2R的圓移動，可得到涂色部分所對應的赤道線圓弧線部分即粒子能打到的區域，剩下的赤道線圓弧線部分為粒子輻射盲區.

解題策略：利用“縮放圓”模型，粒子速度方向一定，大小不同，以入射點為定點，圓心在垂直于初速度方向的一條直線上，將半徑縮放作軌跡圓.“等時圓”模型，質量和帶電量相同，運動速度大小不同的粒子，即粒子做圓周運動的半徑不同運動周期相等的圓.“移動圓”模型粒子的速度大小、方向均一定，入射點位置不同，將半徑r=mv／qB的圓移動.以上3種“動態圓”模型，再結合案例中有界環形磁場區域，從而探索出臨界條件.借助計算機軟件輔助模擬，動態顯示粒子軌跡，再應用物理規律和幾何知識，數形結合解決問題.

3 反思總結

帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題的解決策略如圖15所示.

圖15

帶電粒子在有界勻強磁場中運動的動態問題，尤其是多個粒子從不同位置以相同或不同的速度、從同一位置以相同速率、不同方向或從同一位置以不同速率進入有界勻強磁場，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，更需要結合幾何知識確定臨界條件.這是解決此類問題的關鍵所在，也是難點所在.往往是大家思維和方法上的難點，我們若能借助“動態圓”，將圓進行平移、縮放、旋轉，形成一種“動態”的軌跡呈現，就能“化靜為動”，從而消除或減少大家在解題過程中的思維、方法障礙，化繁瑣為簡單，化抽象為形象，問題迎刃而解.