實驗驗證和數(shù)值仿真一個彈簧擺問題

朱國強 姚夢真 陳峻峰

（1.浙江省蕭山中學，浙江 杭州 311200；2.金華市第八中學，浙江 金華 321000；3.杭州市蕭山區(qū)第三高級中學，浙江 杭州 311200）

1 試題錯解

輕彈簧和小球是高中物理的兩個常見模型.小球和輕彈簧拴連在一起，在豎直平面內運動，構成一個組合模型——彈簧擺.

高中物理教學中，彈簧擺模型常被設計為考察能量守恒和牛頓定律的試題.

1.1 典型試題

例題.如圖1所示，有一小球拴在不計質量的彈簧的一端，彈簧另一端固定在C點，該彈簧的自然長度為l0=0.14m.起初彈簧位于水平位置A，并保持自然長度；然后釋放小球，當小球落下經過豎直位置P時，彈簧被拉長為l=0.30m.求該時刻的小球速度.（答案：1.47m／s）

圖1 彈簧擺示意圖

1.2 流行解答

1.3 錯因分析

錯解的原因在于解題者額外添加了一個條件：在豎直位置P點時小球的速度沿水平方向.也就是想當然地、簡單地認為小球在豎直位置一定是彈簧擺的最低點.

如果不加這一條件，牛頓定律的式（2）不能列出，只能列出能量守恒的式（1），如此一來，在中學知識范圍內就不能解出該時刻小球的速度.

1.4 深入思考

既然對于彈簧在豎直位置時，小球的速度方向是否沿水平方向證據不足.那么，我們應該設法確定下面3個問題.

（1）P點是最低點嗎？如果不是，那么彈簧擺的最低點在何處？

（2）P點小球的速度方向水平嗎？如果不水平，那么P點小球的速度方向與水平方向夾角是多少？

（3）彈簧擺被自由釋放后，小球的運動軌跡是怎樣的？

2 實驗驗證

2021年10月 ，蕭山三中陳峻峰老師在浙江省朱國強名師網絡工作室組織的研討會中展示了彈簧擺實驗照片.彈簧擺由電磁鐵和鐵夾固定位于水平位置，并保持自然長度，如圖2所示.利用頻閃照相技術，拍攝了電磁鐵斷電后，小球在彈簧的約束下的運動軌跡，如圖3所示.

圖2 彈簧擺固定位置圖

圖3 小球運動軌跡圖

實驗的頻閃照片表明：

（1）彈簧擺懸掛點（鐵夾所在點）豎直線上的P點不是彈簧擺小球運動的最低點.

（2）P點時小球的速度不是水平的，而是斜向下.彈簧擺的最低點在彈簧擺懸掛點豎直線的另一側.

（3）小球的運動軌跡是曲線，一種未知名的曲線，看上去比較復雜，會往復運動.

3 理論求證

實驗已經充分表明P點時小球的速度不是水平的，上述試題解法中的式（2）不成立，確實是一種錯解.那么，彈簧擺小球的運動究竟是什么樣的呢？我們用牛頓力學和分析力學進行求解.

3.1 牛頓力學解法

以小球為研究對象，建立坐標系，如圖4所示，根據牛頓運動定律列方程

圖4 彈簧擺運動示意圖

根據幾何關系，

聯(lián)立得

3.2 分析力學求解

4 實驗仿真

這兩個動力學二階微分方程沒有解析解.為了便于進行數(shù)值計算，需進行降階處理.

4.1 降階處理

將兩個二階微分方程降階處理，得到4個一階微分方程.

如果給定4個初始條件，初始時刻位置2個，初始時刻速度2個，這個一階微分方程組可用計算機進行數(shù)值求解.

4.2 數(shù)值仿真結果

MATLAB繪制的彈簧擺的運動圖如圖4所示.

圖4 彈簧擺運動圖

彈簧擺的小球由點（1.4，0）由靜止釋放，第1次位于最低點在（-0.65，-3.50），彈簧懸掛點正下方的左側.而小球到達彈簧懸掛點正下方時的位置為（0，-3.0），速度方向斜向下，不是水平方向.

由表1數(shù)據還可以求出擺球的速度，小球的運動軌跡的數(shù)值仿真與實驗的結果一致.

表1 彈簧擺運動實驗數(shù)據記錄表

5 相關結論

彈簧擺作為由彈簧和重物組成的單擺系統(tǒng)，其運動呈一種復雜的非線性運動形式.

每次從右往左運動，都出現(xiàn)一個“最低點”，“最低點“的豎直坐標發(fā)生變化，如圖6所示，第2次的“最低點”比第一次低.隨運動時間流逝，如圖7所示，第3次的“最低點”比第1次、第2次要高些.所以彈簧擺的最低點究竟在何處？較難確定.

圖6 彈簧擺運動圖

圖7 彈簧擺運動圖

隨著時間繼續(xù)流逝，還出現(xiàn)了更低的“最低點”，如圖8所示.所以彈簧擺的最低點難以預測.

圖8 彈簧擺運動圖

如果改變彈簧擺的參數(shù)，比如僅改變質量為m=0.02kg，彈簧擺的運動發(fā)生明顯改變，如圖9所示.

圖9 彈簧擺運動圖

彈簧振子與單擺運動分析是物理教學的重要內容.但是彈簧振子與單擺的組合運動，運動復雜，會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.中學階段命題時需要考慮到其運動的復雜性，保障試題設問的科學性和適切性.