對一道動態平衡問題的深入探析

蔣 敏 陶朗毅 魏繼紅

（1.西南大學附屬中學校，重慶 400700；2.重慶南開中學校，重慶 400030）

高中物理無論是力學，還是電學，經常用動態平衡問題來考查學生的理解能力、知識遷移能力、分析綜合能力和利用數學知識解決問題的能力.一般說來解決三力動態平衡問題方法有圖解法與解析法.[1]

圖解法往往比較直觀、形象.當物體受3個力的作用平衡時，將3力的矢量（有向線段）平移使它們依次首尾相連，必定構成封閉三角形，此時三角形3條邊的邊長分別對應3個力的大小.在動態平衡問題中，物體所受3個力有變化，因此3力構成的封閉三角形的形狀也逐漸變化，可以通過邊的長度與方向的改變來判斷對應力的大小與方向變化.但有時題目中的力之間的大小方向關系不夠直觀，圖解法無法解決問題，這時往往就要用到解析法.解析法就是根據平衡條件列出方程，得出解析式再進行分析，這種方法比較嚴密.運用解析法時，可能用到直角三角形、相似三角形的知識，有時還會用到正弦定理.[2]對于由解析法得出的表達式較為復雜的問題，可能還要通過函數作圖找到其變化趨勢，甚至通過求導等方法分析其變化規律.下面通過一道例題加以說明.

1 例題呈現

例題.如圖1所示，水平天花板上固定有AO和BO兩根不可伸長的輕繩，它們系在同一點O，且AO＞BO，一只蜘蛛通過吐出的絲使自己靜止懸掛在O點，此時BO沿豎直方向，AO繩剛好繃直.現將A端緩慢向左移動，則

圖1 蜘蛛懸掛示意圖

（A）AO繩的拉力大小一直增大.

（B）AO繩的拉力先增大后減小.

（C）BO繩的拉力大小一直增大.

（D）BO繩的拉力大小一直減小.

解析：先進行受力分析，蜘蛛受重力G，AO繩的拉力F1，BO繩的拉力F2.剛開始時F2的大小為蜘蛛的重力G，F1的大小為0.在A緩慢向左移動過程中，可認為蜘蛛始終受力平衡，作出力的矢量三角形的變化如圖2所示.由圖2可以看出，F1隨AB距離的增大而一直增大，F2隨AB距離的增大先減小后增大，所以（A）選項正確.

圖2

對力的矢量三角形進行進一步的分析.當F1與F2方向相互垂直時，F2＜G，所以F2一定有減小的階段.當F1與F2方向接近水平時，F1與F2都應該趨于無窮大，所以F1與F2最后的階段都應該增大，因此，從最簡單的角度來考慮，應該有F1從0逐漸增大，F2先減小后增大.但是，這一分析并不嚴密，圖2只是確定了3個狀態的矢量三角形：最初F2豎直向上時，中間F1與F2方向相互垂直時，F1與F2方向接近水平時，3個狀態之間的過程分析并不清晰.

如果作出如圖3所示力的矢量三角形，這種情況F1就是先增大后減小再增大，F2就是先減小后增大再減小再增大.由此可見，采用矢量三角形分析這類問題，由于F1、F2大小方向的關系在圖像上并不直觀，分析的結果因作圖過程而具有任意性（這一問題在學生獨立分析時尤其突出），因此不可能嚴格準確地分析出拉力F1、F2的變化，甚至很容易得到完全錯誤的結論.對于拉力F1、F2具體的變化情況，必須用解析法進行詳細分析.

圖3

2 求拉力表達式

如圖4所示為O點的受力示意圖，G為蜘蛛重力大小，AO繩的拉力F1與豎直方向夾角為β，BO繩的拉力F2與豎直方向夾角為α.在水平與豎直方向分別列出受力平衡方程，有

圖4

由（1）式可以看出，由于β＞α，所以F1始終小于F2，而且F1與F2的比值決定于α與β的大小，由于α與β在逐漸變化，所以F1與F2的比值可能也在改變.

由（1）、（2）兩式，解得

從（3）、（4）式可以看出，由于蜘蛛重力G一定，拉力F1、F2的變化規律決定于夾角α與β的變化.同時分析α與β的變化非常麻煩，但α與β并不是相互獨立的，它們有幾何關系的制約，可以將β用α表示，進而將F1與F2表示成α的函數關系.

設AO繩長為l1，BO繩長為l2，有幾何關系

3 函數圖像與理論分析

A端緩慢向左移動過程中逐漸增大，F1、F2隨著夾角α變化的關系式（6）、（7）比較復雜，其單調性不易得出，先取一些特殊的參數，畫出F1、F2變化的函數圖像進行分析.

取蜘蛛重力G=0.2N，分別取k=0.2、0.5、0.8，以F1為縱坐標，α為橫坐標，作出F1隨α的變化規律如圖5所示.由圖5可以看出，F1隨著α的增大從0逐漸增大，當α較大時F1增大得越來越快，當α趨近時，F1趨近正無窮.

圖5 F1隨α變化的規律

以F2為縱坐標，α為橫坐標，作出F2隨α的變化規律如圖6所示.由圖6可以看出，F2隨著α的增大先減小后增大，當α趨近時，F2趨近正無窮.

圖6 F2隨α變化規律

4 結束語

以一個典型的兩繩懸掛物體的模型為例，在懸掛點移動的情況下，先運用圖解法根據矢量三角形的變化進行了定性分析.然后運用解析法進行了定量計算，得出拉力隨角度改變的表達式，并借助作圖軟件展現了拉力的變化趨勢.最后，通過拉力單調性的討論進一步證明了拉力隨角度的變化規律.該問題的分析過程有一定的代表性，可以培養學生嚴密思考的物理思維，為學生強基題的解答提供參考方法.