《飛行性能與計劃》課程教學中培養學生數學思維能力的典型教學案例

陳昌榮，黨淑雯

（上海工程技術大學航空運輸學院（飛行學院），上海 201620）

《飛行性能與計劃》課程教學過程中的量化分析相關的教學內容可分為兩類，一是依據性能描述模型開展計算分析，二是結合手冊做插值計算，根據課程知識特點及教學目標，在教學過程中，對學生的數學思維能力和量化分析能力有較高要求。雖然在實際應用中飛行性能的具體量化分析已經實現自動化[1]，但從培養學生思維能力的角度考慮，掌握重要關系式背后的含義有助于培養學生透過表面現象看本質的能力。本文結合幾個描述性能模型的重要關系式，闡述學生學習和掌握課程核心知識點的教學過程。

1 案例1：非標準大氣中的真實高度H與指示高度Hi的關系

飛機上的高度表顯示的指示高度是根據飛機與基準面的氣壓差按標準大氣環境計算出的，由于實際溫度與標準大氣溫度存在偏差，實際飛行高度H與高度表指示高度Hi存在差異，H與Hi的近似關系式是：

這里，T表示實際溫度，TISA表示指示高度對應的標準溫度。

在飛行原理中，大氣溫度對實際飛行高度的影響有定性結論：當實際氣溫高于標準溫度，實際飛行高度高于高度表指示高度，溫度越高，實際飛行高度越高；當實際氣溫低于標準溫度，實際飛行高度低于高度表指示高度，溫度越低，實際飛行高度越低。式（1）不僅有助于學生理解上述定性結論，而且可定量估算實際飛行高度與指示高度的偏差。

式（1）有什么實際用途？冬季低溫時，實際飛行高度低于高度表指示高度，為確保起飛越障的安全，應知道低溫時實際高度與指示高度的偏差，式（1）能快速估算出實際高度與指示高度之差。需要指出，應用式（1）時易出現的錯誤是誤認為TISA等于標準海平面溫度288K。

2 案例2：聲速a與氣溫T的關系

聲速在空氣中隨溫度而變，聲速a與空氣溫度T的近似關系式是：

這里a0和T0分別表示標準海平面的聲速和溫度，T表示實際溫度。

馬赫數Ma的定義為：

這里v表示真空速。由于聲速a隨溫度T而變，所以同一真空速對應的馬赫數隨溫度而變。

由式（2）可知空氣中的聲速只隨溫度而變，溫度越高，聲速越大。掌握式（2）（3）有助于理解以等馬赫數爬升和下降過程中的真空速變化規律。學生也可根據式（2）（3）理解到，在對流層，以等馬赫數爬升過程中，真空速逐漸減小；而以等馬赫數下降過程中，真空速逐漸增大；在平流層，以等馬赫數爬升或下降過程中真空速不變。

3 案例3：真空速v與指示空速vi的關系

氣流的動壓q與密度和空速的關系式是：

這里 和v分別表示實際空氣密度和真空速，0表示標準海平面的空氣密度，vi表示指示空速。由式（4）可得出真空速v與指示空速vi的近似關系式為：

計算飛行性能時需要的空速是真空速，而飛行員在駕駛艙速度表看到的是指示空速。真空速 v與指示空速 vi的近似關系式（5）不便于記憶，而動壓公式（4）容易記憶，理解了動壓公式（4），就可方便地推導出真空速v與指示空速vi的近似關系式（5）。學生從式（4）可知空氣動壓是單位體積空氣的動能；從式（4）的單位可知空氣動壓是垂直于氣流方向上單位面積受到的空氣作用力。

式（4）有助于理解等表速爬升和下降過程中的真空速變化規律，學生可根據式（4）掌握到：等表速爬升過程中，真空速逐漸增大；等表速下降過程中真空速逐漸減小。

4 案例4：爬升梯度 與推力TN、阻力D、重力G和升阻比L/D的關系

爬升梯度與作用力的關系可近似表示為：

這里，TN和D分別表示推力和阻力，L和G分別表示升力和重力，L/D表示升阻比。

民航飛機在航路下降階段使用空中慢車推力，推力接近于零，所以下降梯度就是式（6）當推力TN為零時的情況，下降梯度可近似表示為：

公式(6)中假設爬升過程中的加速度為零，也就是假設真空速不隨高度的升高而增大，經過這一簡化，適合學生在以下幾個延展知識的理解和應用：

（1）理解以綠點速度爬升和下降時的爬升梯度和下降梯度特點。升阻比最大時所對應的速度被定義為綠點速度，空客飛機實際給出的綠點速度是近似對應于最大升阻比，不是準確對應于最大升阻比狀態[2]。學生通過式（6）可理解：對于給定的推力，以綠點速度爬升時的爬升梯度最大，這有助于學生理解一發失效后的起飛航跡第四段為什么采用綠點速度[3]。學生通過式（7）可理解：以綠點速度下降時的下降梯度最小，這有助于學生理解巡航時發生一發失效后的飄降為什么用綠點速度[4]。

（2）理解高高原機場著陸為什么使用比較小的襟翼放出量。高高原機場空氣稀薄導致復飛性能差，例如，拉薩機場海拔3570米，對應的標準溫度是-8℃，在夏季下午溫度可達25℃，實際溫度比標準溫度高33℃，這導致發動機推力減小。為了在滿足復飛爬升梯度要求的情況下使最大著陸重量盡可能大，式（6）中的TN-D應盡可能大，這需要降低阻力D使升阻比達到最大，所以著陸應采用比較小的襟翼放出量。

（3）理解失速改出措施。失速時，要改出需要向前推駕駛桿操縱升降舵以減小迎角，迎角減小則阻力減小，有助于TN-D<0變成TN-D>0，使飛機進入爬升狀態。前推駕駛桿，則飛機向下俯沖降低高度，高度降低則空氣密度增大，而TN-D具有隨空氣密度增大而增大的性質，所以高度降低也有助于TN-D<0變成TN-D>0，使飛機進入爬升狀態。

（4）理解升降舵與爬升和下降的關系。升降舵的名稱易使人認為飛機的爬升和下降是由升降舵決定的。理解了式（6），就知道操縱升降舵可使飛機抬頭、低頭，也就是操縱升降舵可改變迎角大小，但飛機是爬升還是下降取決于推力與阻力之差TN-D：TN-D=0時，平飛；TN-D>0時，爬升；TN-D<0時，下降。

5 案例5：升力公式的含義

升力公式可表示為：

這里CL表示升力系數，q表示動壓，S表示機翼投影面積，表示空氣密度，v表示真空速。

升力公式在分析起飛、爬升、巡航、下降、著陸各階段性能時都有用途，以巡航階段[7]為例，教學中設定三個問題：問題一，高度保持不變巡航過程中，最大航程馬赫數如何變化？問題二，等馬赫數巡航過程中，最佳巡航高度如何變化？問題三，以等馬赫數保持高度不變巡航，怎么實現？這三個問題都可在升力公式的理解基礎上可得以解答。巡航過程中隨著燃油消耗，飛機重量逐漸減小，巡航時升力等于重力，所以需要的升力應逐漸減小?；卮饐栴}一：高度不變則空氣密度不變，所以式（8）中的速度v應逐漸減小，所以最大航程馬赫數逐漸變小?；卮饐栴}二：由于v不變，則應降低，即最佳巡航高度應逐漸升高?；卮饐栴}三：高度不變則 不變，馬赫數不變則v不變，巡航過程中S不變，所以降低升力需要CL逐漸減小。CL迎角和構型有關，巡航時構型不變，所以需要迎角逐漸減小。迎角減小則阻力減小，推力等于阻力，所以需要逐漸減小油門以逐漸減小推力。

6 結語

本文主要圍繞《飛行性能與計劃》課程，通過實際高度與指示高度的關系、聲速與溫度的關系、真空速與指示空速的關系、升力的含義等知識點為例，闡述分析了堅持問題為導向，提高學生思維能力，尤其是數學思維能力的教學案例。此外，有關如何提高學生基本理解能力及分析解決問題能力的具體案例作者另有文章論述。