從一道強基計劃“關聯”函數圖像試題談起

劉文明

(山東省德州市臨邑第一中學)

“關聯”函數的圖像識別問題重點考查的是函數圖像,在2020年復旦大學強基計劃試題中就涉及了此類問題.

母題已知f(x)的圖像如圖1所示,則f(f(x))的大致圖像為( ).

圖1

解析注意到f(1)＝f(－1)＝0,f(0)＝－1,f(x)為偶函數,所以f(f(x))為偶函數,故A,D 錯誤.當x0∈(0,1)時,f(x0)∈(－1,0),此時f(f(x0))＜0,所以C錯誤,故選B.

設函數y＝f(u)的定義域為Df,函數u＝g(x)的定義域為Dg,且g(x)的值域Rg?Df,則y＝f(g(x))(x∈Dg)稱為由函數u＝g(x)與函數y＝f(u)構成的復合函數,它的定義域為Dg.

從母題中可以看出,這類試題命制的模式是根據所給函數的圖像,判斷復合后函數的圖像.這類題目的特點是給出一個函數的圖像,然后判斷與其相關的新函數圖像.

這道試題的命題思路,引發了筆者的思考,這類“關聯”式函數圖像試題還存在哪些其他的命題模式,下面筆者沿著這一思路進行探究.

例1函數y＝f(x)的圖像如圖2所示,則函數的圖像大致是( ).

圖2

解析由函數y＝f(x)的圖像知,當x∈(0,2)時,f(x)≥1,所以.又因為函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,所以)在(0,1)上單調遞增,在(1,2)上單調遞減.結合各選項知C正確.

點評本題通過所給函數的圖像,讓學生識別底數為的對數函數圖像,較好地考查了學生的推理論證能力.

例2已知函數y＝f(x)的圖像如圖3所示,則其導函數y＝f′(x)的圖像可能是( ).

圖3

解析由題意知函數y＝f(x)在(0,＋∞)上單調遞減,則其導函數在(0,＋∞)上恒小于0,排除B和D.又因為函數y＝f(x)在(－∞,0)上先單調遞增,后單調遞減,再單調遞增,則其導函數在(－∞,0)上先大于0,后小于0,再大于0,排除C,故選A.

點評雖然本題也是一道“關聯”函數圖像問題,但與例1有本質上的區別,這道題將函數圖像與導函數的圖像進行了有機結合,需要學生熟練掌握函數的單調性與導數的關系.

例3設函數f(x)的導函數f′(x)圖像如圖4所示,則函數y＝f(x)的圖像可能為( ).

圖4

解析由導函數的圖像可知,函數y＝f′(x)的符號從左至右依次為負、正、負,則函數y＝f(x)的單調性從左至右依次為單調遞減、單調遞增、單調遞減,排除A,B.

由導函數的圖像可知,函數y＝f′(x)為偶函數,即f′(－x)＝f′(x),構造函數g(x)＝f(x)＋f(－x),則g′(x)＝f′(x)－f′(－x)＝0,所 以f(x)＋f(－x)＝a(a為常數),則函數y＝f(x)的圖像關于點對稱,排除D.

綜上,故選C.

點評根據導函數y＝f′(x)的符號與原函數y＝f(x)單調性之間的關系,結合導函數為偶函數這個隱含條件即可得出正確的答案.

例4在同一平面直角坐標系中,函數(a＞0 且a≠1)的圖像可能是( ).

解析當0＜a＜1時,函數y＝ax過定點(0,1)且單調遞減,則函數過定點(0,1)且單調遞增,函數過定點且單調遞減,D 選項符合.當a＞1時,函數y＝ax過定點(0,1)且單調遞增,則函數過定點(0,1)且單調遞減,函數且單調遞增,各選項均不符合.故選D.

點評本題是兩個函數的圖像識別問題,它們之間的關聯性在于通過變量a構建了橋梁.在討論a的不同取值情況時,需要分別討論指數函數、對數函數圖像的單調性和變量a的聯系,再結合選項得出正確結論.對函數的圖像和性質掌握不扎實,容易導致判斷失誤.

(完)