計數原理易錯點梳理

葉朝倫 李燕祥

(云南省玉溪市民族中學)

計數原理是高考理科數學考查的重要內容之一,該問題具有類型多、方法多、變化多、交會多的特點,解題時,稍不注意就會出現這樣或那樣的錯誤,而且有的錯誤往往令人難以察覺.基于此,本文梳理常見易錯點,以幫助讀者加深對有關基本知識和解題思維的準確理解與到位認識,進一步提升解題能力.

1 處理相鄰問題時，沒有考慮順序問題

例1 6名同學排成一排,其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( ).

易錯點分析本題易錯點是將甲、乙兩人看成一個整體加以處理時,沒有考慮甲、乙之間的順序問題——是甲左乙右,還是甲右乙左? 特別提醒:

1)一般地,遇到相鄰問題,則應將相鄰元素看作一個整體加以處理,但要注意考慮相鄰元素之間的順序問題(是固定的,還是可變的);

2)一般地,設正整數n,m滿足n＞m≥2,若n個人站成一排,其中m個人必須排在一起,則不同排法有種.局部整體化分析時,需要考慮順序問題.

2 處理有關個數問題時，沒有考慮隱含條件

例2用0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復數字的三位數,其中偶數共有( ).

當三位數是偶數時,應滿足個位是偶數,這里可取0,2,4.

若個位是0,則只需考慮十位、百位放什么數字,顯然此時從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數得到的不同的排列數符合題意,從而有個偶數.

若個位是2,則先從1,3,4,5這四個數中任取一個數放在百位,顯然有4種放法,再從剩余的四個數中任取一個數放在十位,也有4種放法,從而此時有4×4＝16個偶數.

若個位是4,則類似個位是2 的分析知,有4×4＝16個偶數.

易錯點分析本題易錯點是沒有注意到當個位是2或4時,應優先考慮百位放什么數字,這是因為三位數的百位不能為零.特別提醒:

1)一般地,若一個位數大于2的自然數,則該自然數的首位不能為零;

2)本題的求解用到了“分類與整合”的思想,這是由個位數的不確定而引起的.

3 約束條件較多時，利用“作差法”

例37人站成一排,若要求甲不站排頭,且乙不站排尾,求不同的排法共有多少種?

易錯點分析本題易錯點是沒有注意到若甲站排頭,則乙可能站排尾;若乙站排尾,則甲可能站排頭.因此,利用作差法求個數時,極易因忽視“甲站排頭同時乙站排尾”這類特殊情形而導致錯誤.特別提醒:

1)求解這類有關個數問題時,要注意“正難則反”思想在解題中的靈活運用;

2)一般地,n(n∈N*,且n≥3)個人站成一排,由左到右分別記作:第1個位置,第2 個位置,…,第n個位置,若甲不站某一個指定位置,且乙不站另一個指定位置,則不同排法共有種.

4 約束條件較多時，考慮不全面

例4有3個成年男子和2個男孩應邀一起去上海觀光旅游,晚上住在某旅店,該店有A,B,C 三個房間,房間A 可住3人,房間B可住2人,房間C可住1人.為確保安全,男孩需由成人陪同方可入住,則他們入住的不同方式共有________種.

要把5人安排入住,可以分兩類:一是只住2個房間A 和B,2個小孩都住A 房間,只需挑1個大人住A 房間,其余2個大人住在B 房間,共有種;或1個小孩住A 房間,共有種.二是住在3個房間,2個小孩都住A 房間,共有種;或1個小孩住A 房間,共有種.

易錯點分析本題易錯點是因為約束條件較多,分類討論時不能將各種情況考慮全面,所以極易出錯.

5 沒有厘清“二項式系數”與“系數”

例5的展開式中第六項的二項式系數是_________,第六項的系數是_________.

展開式中第六項的二項式系數是C56＝6.因為展開式中

故所求展開式中第六項的系數是－6.

易錯點分析本題易錯點是沒有真正厘清如何具體求解“指定項的二項式系數”與“指定項的系數”.特別提醒:(a＋bx)n(n∈N*)展開式中第r＋1項的二項式系數為,第r＋1項的系數為,具體運用時必須把底數看作是兩數之和的形式,否則極易出錯.

6 沒有厘清“二項式系數之和”與“系數之和”

例6已知二項式

(1)若展開式中各項的二項式系數之和為256,求展開式中含x－1的項的系數;

(2)若展開式中各項的系數之和為256,求展開式中含x－1的項的系數.

令4－r＝－1,得r＝5,故所求展開式中含x－1的項的系數為

(2)取x＝1,即得的展開式中各項的系數之和為(5－1)n＝4n,所以由題設得4n＝256,所以n＝4.

令2－r＝－1,得r＝3,故所求展開式中含x－1的項的系數為

易錯點分析本題易錯點是容易搞混“展開式中各項的二項式系數之和”與“展開式中各項的系數之和”這兩個不同的概念,從而導致錯誤.特別提醒:一般地,設f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*),則展開式中各項的二項式系數之和必為2n;取x＝1,即得展開式中各項的系數之和為f(1).

綜上,認真學習計數原理章節的知識,梳理常見解題易錯點,有利于幫助我們不斷積累解題經驗,避免一些常見錯誤的產生,逐步提高解題的速度和準確性.

鏈接練習

1.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( ).

2.高考規定每一個考場30名學生,可以編成“五行六列”就坐.若來自同一學校的甲、乙兩名學生將同時排在同一考場考試,要求這兩名學生前后左右不能相鄰,則甲、乙兩名學生不同坐法種數為( ).

5.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中,有5架“中國殲-15”戰斗機準備著艦,如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有_________種.

鏈接練習參考答案

(完)