目標可觀、可測視域下教學問題設計“三立三明”策略初探
——以高中數學《必修第一冊》“三角函數的概念”(第一課時)為例

吳天然 李志洪

(1.莆田第一中學 2.莆田第二中學)

在基于問題的中學數學課堂教學中,問題質量不高、設計流程不當、教學效果不佳等現象仍時有發生.問題是數學的心臟,是思維的起點.本文根據課題研究總結歸納的初步成果,結合自身教學實踐的經驗感悟,在課堂教學目標可觀、可測的基礎上,立足目標、課型、課時,明確問題設計內容維度;立足活動環節評價,明確問題設計難度維度;立足核心素養導向,明確問題設計情境維度,從內容、難度、情境這三個維度,提出“三立三明”的問題設計操作規程及其實施策略,總體規劃并統籌協調課堂教學中的問題在內容、難度和情境等方面的理念立意、預期目的和作用效果,輔于高中數學《必修第一冊》“三角函數的概念”(第一課時)教學案例并加以評析,教學設計總體框架如表1所示.同時倡導高中數學課堂教學應以問題為載體、以思維為核心,讓有效思考貫穿教學的全過程,在提出問題、分析問題、解決問題和再發現問題中學習,把學習知識的過程變成了學生基于問題而自主探究的“再發現”“再創造”的過程,促進數學核心素養落地生根,切實落實立德樹人的根本任務,共同營造全方位發展素養、立德樹人的有機生態.

表1 “三角函數的概念”(第一課時)

1 立足目標、課型、課時，明確問題設計內容

按照本課題組研究總結歸納的初步成果,將教學課型劃分為概念課型和規則課型.本節課屬于概念課型,教學內容側重于概念原型的舉例,概念內涵的抽象概括、刻畫描述、辨析分化和理解應用等形成過程,概念外延的列舉、分類和判斷過程,概念間相互關系的探析和結構體系的建立等內容.

案例1以“三角函數的概念”(第一課時)教學目標設計為例.

根據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對“三角函數的概念”的教學要求,結合學情分析,設計可觀、可測、可評的課堂教學目標,即通過對周期性規律的感知與認識、函數定義的復習與回顧、探索“角”與“其終邊上點的坐標”間的對應關系、新、舊三角函數定義的融合與拓廣、探索“三角函數定義”不同形式的刻畫表達、三角函數定義的正向、逆向、變用等活動,理解三角函數的概念并會初步簡單應用,提升抽象概括、運算求解、邏輯推理等數學能力,感悟數形結合、函數方程等數學思想方法,發展數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模等數學核心素養.評價觀測要點如下.

1)能列舉出若干具有周期性變化規律的現象,能說出三角函數是刻畫現實世界中周期性變化規律的數學工具.

2)通過分析單位圓上點在旋轉運動過程中涉及的量及其相互關系,獲得對應關系并抽象概括出三角函數的概念,并能對概念的合理性和拓展性進行分析.

3)能復述或寫出三角函數概念的內涵,會用符號表示該概念,能用不同的形式或語言進行多元表征并互譯.

4)能說出三角函數概念的特征、性質或規律,并正確進行概念辨別或辨析.

5)能正確求出角的終邊與單位圓上交點的坐標,會利用三角函數的概念求已知角的三角函數的值,會正確使用角的終邊上的任意點坐標求解三角函數,會正確應用三角函數概念解決簡單問題.

6)能說出新、舊三角函數概念之間的聯系與區別.

7)能說出本節課所涉及的數學思想、方法、能力.

2 立足活動環節評價，明確問題設計難度

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》規定了合格水平的學生應知應會的教學內容及其要求層級,是教、學、考、評的標尺.在課堂教學過程中,教師應當根據課標內容標準的有關要求,分析學生的學情,明確學習起始點、目標制高點和評價觀測點,以教學環節為評價觀測區間,以教學活動為評價觀測節點,立足評價逆向進行問題設計.一個環節可以由一個或多個活動有序組合而成,而一個活動同樣可以由一個或多個問題有序組織而成,按照最近發展區原則,逐個明確問題設計的難度,合理優化問題難度的梯度,采取目標導向和支架輔助策略,通過問題的逐個解決達成預期目標,達到教、學、評一體化.

案例2以環節3(任意角三角函數的概括形成與區別聯系)和活動5(新、舊三角函數概念的融合與拓廣)的問題設計為例.

師:(問題9,指向目標6)我們知道“在數學中,引進一個新的概念或法則時,總希望________”.

生:它與已有的概念和法則相容.

師:(問題10,指向目標6)與三角函數有關的“舊”概念有哪些?

生:銳角三角函數的概念——以銳角為自變量,以比值為函數值的函數.

師:(問題11,指向目標2,6)初中所學銳角三角函數的概念是在直角三角形中定義的,如何將原來的定義與今天學習的新知識結合起來呢?

生:將直角三角形放入平面直角坐標系中.

師:很好,那么有哪些步驟呢?

生:第一步,作出Rt△ABC,其中∠A＝α,∠C＝;第二步,以點A為原點,AC為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系,作單位圓,得AB邊與單位圓交點P(x1,y1)(假設此時AB＞1);第三步,證明y1＝sinα.

師:銳角三角函數的概念與今天學習的知識是否能夠相容呢?

生:可以.

師:(問題12,指向目標2,6)如何將銳角三角函數的概念推廣到任意角三角函數的概念呢?

學生回答,教師總結.

活動5基于教學目標可觀、可測要點6,用繼承和發展的眼光分析銳角三角函數與任意角三角函數的聯系,使學生體會兩個概念間的和諧統一性,從最近發展區培養學生的邏輯推理核心素養,也為三角函數概念的拓廣做鋪墊.問題9突出目標導向與思考聚焦,難度偏易;問題10突出切入點探求,難度偏易;問題11突出共性及關聯剖析,難度適中;問題12是活動5的目標制高點,難度較大.通過幾個小問題從易到難的鋪墊引導,通過逐個小問題的解決、評價、反饋與調整,達成探究新、舊三角函數概念間關系的教學目標,從而實現三角函數概念從銳角到任意角拓展的教學目標.

3 立足核心素養導向，明確問題設計情境

基于知識立意導向的情境設計,能鞏固舊知但可能導致學生淺層、機械學習.基于能力立意導向的情境設計,有助于學生能力水平的有效提升但可能會導致情智失衡.而只有基于核心素養導向的情境設計,才能真正促進數學學科核心素養落地生根、開花結果,達到關鍵能力、必備品格和價值觀念的有機融合.

案例3以環節4(三角函數定義初步應用)、活動6(三角函數概念的正向、逆向應用)、活動8(三角函數的變式應用)和課后作業的問題設計為例.

例利用三角函數的概念求的正弦、余弦和正切值.

變式1分別求的三個三角函數值.

變式2說出幾個使cosα＝1的α的值.

變式3已知點P在半徑為1的圓上按逆時針方向做勻速圓周運動,角速度為1rad·s－1,求2s時點P所在的位置.

課后作業選做題:已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動,角速度為1.5rad·s－1.求2s時點P所在的位置?

必做題:請以小組為單位,梳理總結三角函數概念的抽象過程,并利用單位圓對三角函數的性質進行猜想.

淺層的學習滿足輸入,深度學習重于輸出.設計問題串設計的目的是促進新知的理解與遷移應用,并完成最后的知識探討輸出.其中例1強調概念的正向應用,進一步理解概念的內涵.例1的變式1強調一些特殊情況(特殊角、特殊位置等)下概念的正向應用,防止出現應用盲區或易錯、易混點.例1的變式2強調定義的逆向應用,促進對定義的全面深入理解,檢驗學生對定義的理解情況.例1的變式3強調定義的綜合應用,課后作業中的選做題、必做題,形成一個完整的問題串,充分展示三角函數是刻畫勻速圓周運動的數學模型,通過練習使學生從另一個角度理解三角函數的概念,關注知識在生產、生活、實踐中的應用,訓練了運算求解能力、實踐應用意識、數形結合思想,培養了數學建模、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.不同立意下的問題情境創設與統籌協調,強化了知識的正向、逆向應用.

(完)