突出本質 發展量感
——《平行四邊形的面積》教學實踐與思考

文|林艷萍

【教學過程】

一、經驗喚醒，回顧舊知

師：（出示長方形框架）誰會計算它的面積？

生：長方形的面積=長×寬，所以14×10=140（平方厘米）。

師：長方形的面積為什么用長×寬，誰還記得？

生1：有14 行，10 列。

生2：有14 個10。

生3：用1 平方厘米的小正方形去測量，長要擺14 個，寬要擺10 個。

師：（邊板書邊小結）剛剛這幾位同學都說得很好。他們讓我們想起來為了求面積，數學家們創造了面積單位，有了面積單位我們就可以測量長方形的面積。

【設計意圖：回到知識的原點是結構化教學的重要手段。上課伊始，教師通過創設富有挑戰性的問題“長方形的面積為什么用長×寬”，引發學生深度思考，喚醒學生對面積及面積測量（數格子）方法的記憶，為本節課研究平行四邊形面積的方法埋下伏筆。】

二、制造沖突，形成猜想

教師推動黑板上的長方形框架，將它變成一個平行四邊形。

師：請試著算出這個平行四邊形的面積。有困難的同學可以到前面找老師，看看有什么問題，老師幫助解決。

【設計意圖：由于長方形、正方形面積計算經驗的負遷移，很多學生會想當然地覺得平行四邊形的面積是鄰邊相乘，更多的學生會因為題目中只有鄰邊分別是14cm 和10cm 這兩個條件，而直接將這兩個數相乘。只有深入思考的同學才會發現這里條件是不足的，在這里，教師提供了非常規的問題。如果給學生“高”這個條件,出錯的學生會比較少。然而，實踐證明，讓學生經歷由差錯走向正確，認知會更深刻。】

師：誰來說說你是怎么算的？為什么這么算？

生1：我是用14×10=140（平方厘米）。因為把它推回來就變成長方形，它的面積還是長×寬。

生2：我認為不可以這么算，這么算會改變面積。

師：現在問題的焦點是往下推面積到底變不變，如果面積變了，就不可能是14×10，討論一下。

大部分同學認為，這么一推，變矮了，面積會改變。

課件出示下圖：

師：面積單位可以測量長方形的面積，也可以測量平行四邊形的面積，我們現在就把它放在面積單位里。大家數一數。

生：我是這么數的，把左邊多出來的部分切下來平移到右邊，這樣平行四邊形就變成了長方形。所以平行四邊形的面積等于14×8=112（平方厘米）。

師：大家有什么疑問嗎？

生1：8 是哪來的呢？

生2：8 是長方形的寬，也就是平行四邊形的高。

師：也就是大家猜想平行四邊形的面積不是兩條鄰邊相乘，而是什么？

生：底乘高。

【設計意圖：這里的學習是充滿張力的，因為同一個平行四邊形，學生算出了140 平方厘米和112 平方厘米兩個結果，這對學生來說是很大的沖擊，讓他們將目光聚焦在轉化前后“面積是否改變”這一本質特征上，回到“數格子”，學生最終形成“底乘高”的猜想。】

三、實踐操作，驗證猜想

師：現在大家有一個大膽的猜想：平行四邊形的面積=底×高。

師：是不是所有平行四邊形的面積都是底乘高？在你們的信封里有剪刀和平行四邊形, 我們一起來驗證。

課件出示操作要求：（如下圖）

學生動手驗證，匯報。（如下圖）

師：通過操作，我們發現只要沿著平行四邊形的高剪開，就可以把平行四邊形轉化成長方形，平行四邊形的底相當于長方形的長，平行四邊形的高相當于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：老師發現有一組同學沒辦法把平行四邊形轉化成長方形，為什么？

生：因為他們沒有沿著平行四邊形的高剪。

師：為什么要沿著平行四邊形的高剪？不沿著高剪行嗎？

生：長方形有四個直角，平行四邊形的高和底垂直，不沿著高剪就沒辦法拼成長方形。

師：沿著這條高剪可以嗎？這條呢？

生：沿著平行四邊形的任何一條高剪都可以。

師：如果用S 表示平行四邊形的面積，a 表示平行四邊形的底，h 表示平行四邊形的高，它的面積計算公式可以怎么表示？

生：S=ah。

師：我們要知道平行四邊形的面積，必須知道什么條件？

生：底和高。

【設計意圖：數學的學習離不開學生的動手操作，離不開同學之間的合作交流，更離不開學生自己的獨立思考。教師給學生準備大小不一的平行四邊形，學生在經歷、體驗、思考、分享的過程中，思維不斷拓展，最終將新知轉化成舊知，根據長方形的面積計算公式推導出了平行四邊形的面積計算公式。】

四、幾何直觀，反思論證

師：回到剛才的問題，為什么把平行四邊形框架這么一推，面積就變小了？

生：這么一推，底不變，高變短了，所以面積就變小了。

師：如果把平行四邊形推回長方形，會把平行四邊形的面積算多了，我們來看個視頻。老師在平行四邊形的框架里鋪滿了幸運星，我們一起來看會發生什么變化？

生：平行四邊形的底不變，高變長，面積就變大。里面就會空出來一塊。

師：現在這個框架已經推成了長方形，想一想，老師如果再往下推，面積會怎么樣？為什么？

生1：如果再往下推，底不變，高變短了，平行四邊形的面積就變小了。

生2：推成長方形，面積最大。

師：現在把這個長方形拉回來，里面的幸運星會怎么樣？為什么？

生：底不變，高變短了，面積變小了，里面的幸運星會被擠出來。

師：這么一推，面積變小了，小了哪部分的面積？

【設計意圖：教學峰回路轉，回到一開始的矛盾沖突,讓學生直面這一沖突，并追究、深究為什么不能用“推”的方法進行轉化。借助直觀演示，從鋪滿幸運星的面積模型的動態變化中，學生再次回到知識的原點，借助“面積單位”（幸運星）的“平鋪”（面積的測量方法），結合圖形變換中量的變與不變來理解。】

五、即時練習，鞏固提升（略）

【課后思考】

一、追本溯源，突出本質

課堂伊始，教師設計了兩個問題：一是面積是什么？二是長方形面積的計算公式是如何得到的？這兩個問題直擊“面積”及其測量的數學本質,為探究平行四邊形的面積提供了知識與方法的準備。眾所周知，探究平行四邊形的面積至少需要以下兩個方面的認知準備：一方面是要理解平行四邊形的面積“在哪里”；另一方面是要知道面積這個量是怎樣測量得到的。課前的兩個問題有效地喚醒了學生對面積這個量的意義表象，值得一提的是，用“一行的面積單位數”乘“行數”求面積的方法，實實在在為學生合理猜想平行四邊形的面積計算方法做好鋪墊。

二、聯結融通，形成結構

小學數學的結構化教學，是指在數學教學中，整體地、系統地對教材和教學流程進行合理安排，把已經學的、現在學的、未來學的知識或方法建立一個結構性的聯系，以使其充分遵循學生的心理認知結構和知識發生規律的教學觀念和方法。結構化教學可以保留知識的本質以及曾經建立的知識關系，把抽象難懂的知識內容變成具體且立體的知識體系，進而在學生腦海中形成一個完整的知識鏈。具體在本課中，教師把面積、面積單位、長方形和平行四邊形的面積計算方法等內容串聯起來，這是知識的結構化。長乘寬對應底乘高，進而讓學生直觀感知長方形和平行四邊形面積的計算是“相互垂直的一組線段的乘積”，這是方法的結構化。在知識與方法上幫助學生建構結構，同時為以后的面積計算學習埋下種子。

三、方法統整，提升能力

《數學課程標準（2011年版）》指出：“圖形度量的相關知識對于每個學生的學習和適應未來的生活都是有用的，測量過程中蘊涵的方法和思想有助于學生提高分析問題和解決問題的能力。”度量是數學的本質，也是人們認識數學，進而認識現實世界的工具。《數學課程標準（2022年版）》更是將“量感”作為一個新的核心概念加以強調。面積計算是圖形所包含的面積單位的個數，實質是單位面積度量的結果。教學中，將二維平面做成的“面積尺”作為計量單位，通過數方格的方式測量面積。而后，更是將“割補”的方式作為一種快捷地“數單位”的方法。在不知不覺中將“割補”與“數單位”統一起來，讓學生在不同的方法中尋找并感受相同，其本質是讓學生洞悉面積作為一個量，其本質是面積單位個數，是計量的結果，也是計數的結果。

四、幾何直觀，發展量感

平行四邊形為什么不能用“推”的辦法轉化為長方形？將一個平行四邊形“推”成長方形時，面積真的變了嗎？是增加還是減少？增加與減少的部分在哪里？這些問題，學生的感覺都是模糊的。為此，教師設計了如下的環節：在平行四邊形框架里鋪滿幸運星，用視頻生動地展示了面積的動態變化過程，當“推”成長方形時，多出了空間，說明面積變大了，當長方形“推”回平行四邊形時，幸運星再次密鋪了圖形，繼續推，幸運星被擠出框架之外……幸運星將平行四邊形框架圍成的面積變化直觀地展示在學生的眼前。在這樣的過程中，學生對面積這個量的感覺具體了，且具有某種“畫面感”，這種“畫面感”是對面積最形象而真實的記憶與感覺，是量感。