說理課堂，讓度量學習迸發力量

文|張炎伙

數學的本質在于度量（史寧中語），度量的本質在于用標準單位刻畫描述物體某一方面的屬性，其核心訴求是“量感”的培養。度量學習所承載的數學思考是活躍、多維的，是從感性直覺走向理性思辨的思維歷程。因此，度量學習與數學說理相伴相生。基于“說理”視角展開度量學習，方能洞悉度量本質，夯實度量單位表象、深化度量計數計量的過程，發展結構化思維，讓學習迸發力量。

一、真問題，驅動量感直覺

每一個走進新知課堂的兒童，對于即將要學習的“量”一定有其原有的生活經驗和自然直覺，度量學習需要教師在把握“兒童經驗”的基礎上，以真實問題為線索，觸發兒童的量感思維，喚起兒童綜合已有知識、實踐、經驗等內部參照，協同“物理量感”和“心理直覺”做出樸素的原認知判斷。

泉州實驗小學王明濱老師執教北師大版三年級下冊《面積單位的換算》時，課堂開始直接拋出問題“1平方分米=（ ）平方厘米”，學生大膽猜想“10 平方厘米”“100 平方厘米”。教師隨機板書“10、100？”不組織辯論，更沒有直接告知，而是再次將問題拋給學生“到底是10 還是100，不著急，請獨立思考，再把你的想法記錄在《學習單》上”。我們看到，這時學生給出的“10、100”更多的是出于無意識的直覺猜想，問題驅動學生走向理性思考探究。

教師基于學生不同的元認知猜想，讓學生借助《學習單》用近10 分鐘投入冷靜的獨立操作思考和小組探究中。全班交流時，幾乎所有學生都認為1 平方分米=100 平方厘米，王老師再拋出問題：“剛才認為10 的同學，為什么現在都改成了100 呢，能講講等于100 的理由嗎？”此時，經由充分具身操作體驗后，學生的樸素表達中傳遞著“真思考”：

生1：我原本認為是10，因為我覺得“平方分米和分米、平方厘米和厘米很像”，把平方去掉，1 分米＝10厘米，所以我以為1 平方分米＝10 平方厘米。通過畫圖，我知道答案是100。

生2：計算面積，我發現大正方形邊長10 厘米，面積就是10×10=100（平方厘米）。

……

教師再發問：有同學用鋪、有同學畫完數、有同學用面積公式計算，你們有什么發現？

在問題的牽引下，鋪、畫、算三種方法越發清晰，學生的理解也不斷升華：1 平方分米=？平方厘米，其實就是借助小的面積單位來刻畫描述更大的面積單位。整課學習，正因為王老師從最關鍵的核心問題出發，并由此衍生出多個富有價值的小問題，放大學生思考探究、體驗感悟的磁場，學生才能不斷豐富對面積單位的感受，不斷修正對面積單位“進率關系”的理解。

真實的現實問題總是更能驅動兒童求知的意愿，也正是基于兒童原有經驗感悟的真實歷程，才能不斷激蕩兒童從對量的直覺感悟上升為“統一度量單位、創生科學度量工具、理解度量單位進率”的理性追索和行動需求，幫助兒童學會用度量的眼光打量刻畫現實世界。

二、明道理，洞悉度量本質

度量的本質在于先定義一個小單位，再看被測量對象包含多少個小單位累加，抽象的度量可以具化為“賦形或賦數”的過程，是數與形的有機融合和定量刻畫。同時，度量意識的形成依賴于學生充分的體驗活動，經歷觀察、想象、估測、操作、驗證、推理等說理行為，理解度量本質。

羅鳴亮老師在執教《長方體的體積》一課時，有意識地幫助學生跨越看得見的長方體體積計算公式，從簡單歸納推理走向理性演繹推理，分析公式外在形式背后的深層道理，甚至在一個更大視域內思考度量之理。

教學聚焦核心問題“為什么長方體的體積＝長×寬×高”，引發學生以長5dm、寬4dm、高3dm 的長方體為例思考。全班交流環節，學生呈現兩種不同思考（如圖1）：“下面一層可以擺5×4=20 個小正方體，有3 層，共60 個，它的體積是60 立方分米。”“也可以先前面擺5×3=15 個，共4 面……”羅老師借助不斷地追問“5 個什么？20 個什么？60 個什么？15 個什么”，引發學生既講清道理，又將思維的目光反復回溯于“1 立方分米”這一個體積單位上。這時,“用多個體積單位來描述長方體體積的方法”愈發深刻地走進了學生的心里。“數”＋“量”的量感體驗在羅老師的說理課堂里自由穿梭，也不斷沖擊著學生感知覺器官的理性參與。

圖1

教學并未就此止步，羅老師巧妙設問：現在你能說說為什么長方體體積=長×寬×高嗎，長、寬、高分別表示什么？學生結合直觀圖形自然架構“長方體的長與每排小正方體個數，寬與排數，高與層數，長方體的體積與體積單位之和”的本質聯系。而接下來的問題“體積是8 立方分米的長方體會長什么樣子，怎么描述它呢？”（如圖2）更是把學生卷入了“由數想形”的量感體驗之道上。教學中，不管是學生“2×2×2 的正方體、4×2×1 的長方體”的猜想，還是出人意料的4×4×0.5 的長方體和4×4×1 三角棱的呈現，都彰顯著度量的本質屬性“運動不變性、疊加性”，即同樣的8 立方分米，可以物化為不同的立體圖形，8 立方分米還可以繼續累加計算。這樣的學習經歷不斷豐富著學生“用若干個體積單位之和來定量刻畫長方體體積大小”的思維歷程。

圖2

量感，是指對度量對象屬性的直覺感知，其中凝聚著定量刻畫的本質道理。基于說理課堂的度量學習力求追本溯源、說清道理，通過估測、想象、驗證、辨析、推理等高層次思維活動，從抽象形式的公式計算、機械重復的簡單測量走向理性深刻的度量本質理解，蘊蓄量感的生長。

三、深聯結，筑牢量感體系

度量貫穿整個小學數學學習歷程，盡管涉及的內容各不相同，但從度量學習的基本要素（單位、工具、屬性、結果）分析，比較小學數學所涉及的五大類（三維空間、角度、質量、時間、人民幣），甚至計數，其思維路徑和邏輯道理都有著極大的相似性，基于說理課堂的度量學習最后走向的是結構化量感體系的建構。

首先，度量知識網絡體系建立。用“講道理”的教學觀來關照量感體系的建立，我們還應該在教學時延伸到更為隱秘之處，破譯兒童的認知盲點，幫助兒童建立更“理直氣壯”的度量知識網絡。如學習完千米之后，對于已學的“千米、米、分米、厘米、毫米”之間的進率關系，學生的心里其實是“別扭”的：其他相鄰長度單位的進率是10，為什么千米到米的進率卻是1000呢？教學如果能在適當時機引進“百米、十米”，就能幫助兒童更好地理解長度單位體系（如圖3）。同樣道理，學生學習完“平方千米、公頃”后，總有這樣一道“過不去的坎”，為什么相鄰面積單位的進率是100，而公頃和平方米的進率卻是10000 呢？教師可以適時引導學生理解，公頃也叫平方百米，公頃和平方米之間還隔著平方十米（公畝），進而形成面積單位進率模型（如圖4）。這樣不管是直觀形式上（千米2、百米2、十米2、米2、分米2、厘米2”，還是內在意義上（邊長為1千米的正方形面積為1 平方千米、邊長為……），學生都更容易理解認同。

圖3

圖4

其次，度量教學方法體系建立。度量學習應該打通蘊蓄量感素養發展的教學主線，形成可遷移的教學路徑。如北師大版二年級《課桌有多長》：

環節1：自選工具測量課桌長度，感受統一單位的必要性。

環節2：操作體驗，科學認識1 厘米，建立1 厘米表象。

環節3：把1 厘米進行疊加，經歷尺子的形成過程，最后用直尺測量生活中的不同物體，理解測量的內在原理。

縱橫對比，面積、體積、角度的測量，其本質上是相同的，正如羅鳴亮老師所言“測量、測量，就是數一數、量一量有多少個這樣的測量單位”，其教學路徑也是相通可借鑒的。

當然，量感知識、方法體系建構背后指向的是學生結構化思維體系的塑造。只有基于這樣的認識，我們幫助學生建構的量感體系才能順應學生數學思維發展的秩序，讓學生以全局視角俯瞰度量知識的根源脈絡，形成本源清晰、結構穩定、充滿張力的知識、方法、思維網絡。

概而言之，各類不同的“量”和“量的學習”背后無不體現著深厚的邏輯關聯和數學思考。站位知識之上，建構基于說理的度量學習樣態，關注學生量感直覺、通透度量本質理解、筑牢量感體系建構。如此，方能不斷放大度量學習的生長力量，幫助學生在量感的世界里、說理的數學課堂里自由通行。