多重對比，讓計算學(xué)習(xí)走向深入
——以人教版二年級下冊『除法豎式』為例

文 張慧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出：“數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運算之間有密切的關(guān)聯(lián)。”學(xué)生在計算的學(xué)習(xí)過程中不僅要掌握算法，明晰算理，還要感悟計算的本質(zhì)，建立計算知識體系，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。劉月霞教授在《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）》中指出：“在深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神，基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會歷史實踐的主人。”可見，深度學(xué)習(xí)著眼于學(xué)生對于知識的遷移和對知識整體的把握，并重視學(xué)生思維和情感的提升。

四則運算中難度最大的是除法，學(xué)生在描述書寫過程和計算中有一定的困難。除法豎式的形式較為特殊，因此掌握其算法、理解其算理都存在一定的困難。人教版二年級下冊教材第六單元中第一次出現(xiàn)了“除法豎式”，學(xué)生在掌握豎式計算方法和理解算理的過程中遇到困難。原因有三：其一，除法豎式的書寫格式與學(xué)生本節(jié)課前學(xué)習(xí)的加、減、乘法豎式不一樣；其二，除法豎式中被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的書寫位置沒有按照橫式的順序進行排列；其三，學(xué)生難于從除法豎式中直接觀察到平均分的過程。比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，對于難理解和難掌握除法豎式的學(xué)習(xí)來說，教師可以讓學(xué)生在多次對比的過程中理解除法豎式的計算過程，建立起除法橫式與除法豎式之間的聯(lián)系，從而深化對除法豎式模型的理解和掌握。

一、對比豎式圖形，解析除法豎式過程

邏輯并不產(chǎn)生于語言，而是可以從動作的普遍協(xié)調(diào)中找到其較深的起源，計算思維是一種邏輯推理，學(xué)生在算理的學(xué)習(xí)中就要借助動作來經(jīng)歷邏輯推理過程，從而形成計算思維。小學(xué)生的思維大多處于具體運算階段，在此階段中，學(xué)生要借助具體的表象來表征抽象的運算，從而理解運算的道理。小學(xué)數(shù)學(xué)計算是十分抽象的，其豎式的書寫規(guī)則是約定俗成的，學(xué)生不能夠直接體會其優(yōu)勢。幾何直觀作為理解計算的腳手架，是連接豎式計算外在形式和內(nèi)在算理的橋梁。在“除法豎式”一課的教學(xué)中，教師在學(xué)生列橫式計算后創(chuàng)設(shè)“有13 個車輪，組裝1 輛車用4 個車輪，可以組裝幾輛車？”的情境，為學(xué)生提供豎式計算的機會，并讓學(xué)生借助操作圓片解析豎式計算過程。

師：（如圖1）這位同學(xué)列的豎式就是數(shù)學(xué)上規(guī)定的除法豎式，它與我們以前學(xué)習(xí)的加法、減法和乘法豎式不一樣，你能看懂這個豎式嗎？請你借助圓片擺出豎式計算的過程，一邊擺一邊說豎式里面的每一個數(shù)表示什么？

借助已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生擺出圖2，邊擺邊解釋圖1 豎式計算的過程。

圖1

圖2

師：結(jié)合圖來說說，豎式里的13、4、3、12 和1 分別表示什么？

生：13 是被除數(shù)，是表示車輪的總數(shù)，是所有圓片數(shù)。

生：4 是除數(shù)，是每輛車有4個車輪，是一輛的車輪數(shù)。

生：3 是商，是可以裝3 輛車，一共有3 輛。

生：12 是3×4 的積，是用掉的車輪。

生：1 是余數(shù)，是分剩下的車輪。

借助分圓片的操作過程，學(xué)生將抽象的除法豎式計算過程具體化。豎式計算的過程較為抽象，學(xué)生不能夠直接理解其過程中的各數(shù)是什么意思，尤其是12，只有在豎式中有所體現(xiàn)，無法在橫式中找到。學(xué)生借助操作經(jīng)歷平均分的過程，找到了豎式中的除數(shù)4和商3，也找到了12 的原型，是3個4，即組裝3 輛車用掉的車輪數(shù)。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過擺一擺、圈一圈等活動，將平均分的過程與豎式計算的過程相結(jié)合，就能夠理解豎式計算中的每一個數(shù)字表示的含義。

二、對比橫式豎式，感悟豎式的完整性

比學(xué)什么更重要的是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識過程中一定要遷移舊的知識與方法。知識遷移是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的方法之一，任何數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)之前，學(xué)生都有著一定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)。如學(xué)生在學(xué)習(xí)列除法豎式前已經(jīng)學(xué)習(xí)了列橫式計算有余數(shù)的除法，知道除法橫式中各部分的名稱，能列出“13÷4＝3（輛）……1（個）”的算式，求出組裝3 輛車，還剩1 個車輪。但是橫式計算有局限，其無法呈現(xiàn)豎式計算的全過程。對于第一次接觸除法豎式的學(xué)生來說，初步理解和掌握除法豎式計算模型是本節(jié)課的重難點之一。因此，教師在教學(xué)前要充分把握學(xué)生的知識起點，找準(zhǔn)學(xué)生知識的生長點。學(xué)生要遷移除法橫式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗學(xué)習(xí)豎式，將除法豎式中各部分名稱與橫式相對應(yīng)，從而感悟除法豎式能夠完整清晰地體現(xiàn)除法豎式的計算過程。

師：觀察橫式和豎式，它們有什么相同與不同？

生：橫式里的被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)在豎式里面也有。

生：豎式比橫式多了一個12，12 是3×4 的積。

師：橫式與豎式表示的道理都一樣，只不過豎式能夠清楚地表示出除法計算的過程。

學(xué)生在學(xué)習(xí)豎式前是用橫式表示除法計算的，在學(xué)習(xí)豎式后，學(xué)生學(xué)會用豎式來表示計算的過程，也能夠詳細描述除法豎式的算法。除法橫式是舊知識，豎式是新知識，在教學(xué)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生借助對比的手段在新舊知識之間形成聯(lián)系，使得除法豎式各部分與橫式的各部分一一對應(yīng)起來，從而借助橫式來理解豎式的計算過程。此外，在學(xué)習(xí)除法豎式的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將橫式和豎式進行對比，區(qū)分橫式與豎式各自的優(yōu)勢，感悟豎式不僅能夠體現(xiàn)除法各個部分，還能夠體現(xiàn)除法計算的過程，即感悟豎式的完整性。

三、對比正誤格式，鞏固除法豎式表象

相對于加法、減法和乘法來說，除法豎式的模型更難于掌握，學(xué)生嘗試豎式計算除法時更容易遷移加法、減法和乘法豎式模型來計算除法。世界各國的除法豎式模型不盡相同，但是無論模型外在形式是怎樣，其都要在豎式計算的過程中體現(xiàn)除法計算的過程，體現(xiàn)出計算方法。在豎式計算的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要記憶豎式計算的過程，也要經(jīng)歷知識的再認與辨析等。除法豎式計算過程對于二年級的學(xué)生來說稍復(fù)雜，學(xué)生在剛學(xué)習(xí)除法豎式時難免會出現(xiàn)兩種錯誤。其一，是遷移加、減、乘法豎式計算的模型，將除法豎式寫成乘法豎式的形式（如圖3）；其二，是漏掉除法的計算過程，只體現(xiàn)被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)（如圖4）。

圖3

圖4

學(xué)生遷移原有舊知識來幫助自己理解和掌握新知識，在除法豎式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會遷移加法、減法、乘法的模型來構(gòu)建除法豎式。但是，受除法計算特殊性影響，除法豎式計算的外在表現(xiàn)形式與其他三種運算不同。因此，教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生遷移其他豎式的形式來計算除法時要將其與正確除法豎式格式進行對比，幫助學(xué)生建立正確的除法豎式模型。

師：想一想，剛才老師為什么沒有選擇這個除法豎式（圖3）？

生：它沒有表示出3×4 的積是12。

師：原來這個豎式（圖3）沒有表示出除法計算的過程，它不夠完整。

除法豎式的書寫格式是人為約定的，約定的正確書寫格式能夠完整體現(xiàn)除法計算過程的形式。對比正誤，學(xué)生不僅加深了對除法豎式外在形式的印象，還可以更加深入地理解各部分所表示的含義。此外，在二年級的除法豎式計算中，學(xué)生經(jīng)常在商的書寫位置上出現(xiàn)錯誤，學(xué)生會將商與十位和個位的中間對齊，且這個錯誤常常會持續(xù)很久，甚至?xí)３值轿迥昙墝W(xué)“小數(shù)除法”時。由此可見，學(xué)生對于商書寫位置的理解需要加強。針對這種現(xiàn)象，教師同樣可以借助對比的方法，讓學(xué)生對比兩種商的書寫位置并說一說哪種書寫是正確的。借助直觀圖，學(xué)生能夠說出除得的3 表示的是3 輛車，而不是30 輛車，所以應(yīng)該與個位對齊。學(xué)生在對比辨析中，不僅能夠深化對正確書寫格式的記憶，還可以進一步說理，再次深入分析除法豎式計算的算理鞏固算法，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判精神。

四、對比有無余數(shù)，深化除法豎式模型

除法的本質(zhì)是等分計數(shù)單位，剛好分完是等分的一種特殊情況，大部分的整數(shù)除法都是有剩余的，寫在除法橫式中就是余數(shù)。學(xué)生在除法豎式中容易出現(xiàn)兩種錯誤：其一，剩余的數(shù)大于或者等于除數(shù)；其二，沒有剩余時，忘記用0 來占位。針對學(xué)生容易走進的誤區(qū)，教師在教學(xué)過程中要準(zhǔn)確把握教學(xué)重難點和學(xué)生的易錯點，著重介紹除法計算中的余數(shù)。除法計算的最后一步就是看有沒有剩余，如果有余數(shù)，就在豎式的最后一行寫下余數(shù)，如果剛好除盡，沒有剩余，就在余數(shù)的位置寫0 來占位。在學(xué)習(xí)除法豎式的過程中，學(xué)生要經(jīng)過有無余數(shù)的對比，才能夠體驗余數(shù)的產(chǎn)生過程，也就能夠理解沒有余數(shù)還要寫一個0 來占位的道理。

師：對比13÷4 和16÷4 這兩道題的豎式（如圖1、圖5），它們有什么不同？

圖5

生：13÷4 的橫式和豎式中都有余數(shù)，16÷4 的橫式和豎式中都沒有余數(shù)。

生：13÷4 沒有分完，所以有余數(shù)；16÷4 正好分完，所以沒有余數(shù)。

生：被除數(shù)比除數(shù)與商的積大時，有余數(shù)；被除數(shù)和除數(shù)與商的積一樣時沒有余數(shù)。

通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，余數(shù)就是等分后的剩余，剛好分完就沒有余數(shù)；平均分到不能夠再分還有剩余，剩余的部分就是余數(shù)。學(xué)生在觀察豎式的過程中發(fā)現(xiàn)，豎式的書寫是十分完整的，無論有沒有余數(shù)，都要寫出一個數(shù)來表示剩余情況，0 就是沒有剩余，非0 就是有剩余，而以前學(xué)習(xí)的橫式則采用直接不寫余數(shù)來體現(xiàn)沒有剩余。可見，除法豎式對除法過程描述更加詳細。對比有無剩余的橫式豎式，學(xué)生進一步發(fā)現(xiàn)了除法豎式的優(yōu)勢，采用的除法豎式不僅能將除法的各個部分體現(xiàn)出來，還能夠完整體現(xiàn)除法計算的全過程，進一步深化對除法計算的理解。

對比是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方法。通過對比學(xué)習(xí)計算，學(xué)生能夠深入理解各種計算的相同和不同，領(lǐng)悟計算之間的關(guān)聯(lián)，感悟計算的一致性。因此，小學(xué)計算學(xué)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進行多角度對比。對比正誤，經(jīng)歷計算知識的形成過程；對比同一種計算的不同外在形式來掌握計算方法；對比計算與幾何直觀，深入理解算理；對比不同計算之間的相同與不同，使抽象的除法計算越來越具體、清晰。在充分對比的計算學(xué)習(xí)中，學(xué)生憑借多角度對比建立豎式表象、鞏固豎式模型，經(jīng)歷計算推理過程，從而實現(xiàn)運算能力的提升，促進自身深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。