數(shù)學(xué)實驗：彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)魅力
——《圓的周長》教學(xué)片斷與賞析

文|湯 倩

《圓的周長》是蘇教版五年級的教學(xué)內(nèi)容。從測量方法上看，圓的周長屬于間接測量，需要通過具體操作（數(shù)學(xué)實驗）得到周長與直徑的關(guān)系，再推導(dǎo)圓的周長計算公式。圓的周長在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有迷人的魅力，特別是周長與直徑的比值π，至今還是數(shù)學(xué)研究的對象。數(shù)學(xué)教學(xué)怎樣引導(dǎo)學(xué)生穿越千年的研究歷史，讓學(xué)生親自參與探究圓的周長過程？數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生在教師指導(dǎo)下利用一定的工具（實物或軟件），通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)方式。將數(shù)學(xué)實驗融入數(shù)學(xué)課堂，有利于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力，發(fā)展學(xué)生的智慧，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。安徽丁元春老師執(zhí)教的“圓的周長”一課，帶領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

【片斷一】激活經(jīng)驗，直觀感知

師：（板書：圓）上節(jié)課我們認(rèn)識了圓。瞧，這里有三個大小不同的圓形車輪，想一想，如果它們各滾動一周，哪個車輪滾動的距離比較遠(yuǎn)呢？

生：半徑最長的圓；直徑最長的圓。

師：那到底是不是這樣呢？我們一起來驗證一下。

師：（課件動態(tài)演示）同學(xué)們對圓的感覺真好。其實車輪轉(zhuǎn)動一周所行駛的距離就是車輪的？

生：（齊）周長。

師：（板書：周長）車輪的周長在哪里呢？誰愿意上來選擇一個指一指？

生：（學(xué)生上臺指）是這一條線段的長度，也是它一圈的長度，這兩個長度一樣。

師：車輪一周邊線的長就是車輪的周長。這里三個車輪的大小不一樣，周長也不一樣，車輪的周長可能與什么有關(guān)？

生：我覺得它應(yīng)該和半徑、直徑有關(guān)系。

師：圓的周長跟它的半徑、直徑到底有沒有關(guān)系呢？如果有，又是什么樣的關(guān)系呢？今天我們就一起來探索與圓周長有關(guān)的奧秘。

【片斷二】對比猜測，定性描述

師：今天的探索不妨就從圓的周長與直徑的關(guān)系開始。（板書：直徑）

師：這是三個圓的直徑和它們的周長，請同學(xué)們認(rèn)真觀察并比較，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：直徑越長，周長也就越長。

師：圓的周長和它的直徑之間有什么關(guān)系呢？

生：它們之間可能是倍數(shù)關(guān)系。

師：如果是倍數(shù)關(guān)系，說明圓的周長和直徑之間存在什么運算關(guān)系？什么是不變的？

生：說明圓的周長除以直徑所得的商是不變的。

師：研究兩個量之間的關(guān)系，除了可以看它們的商，還可以看什么？

生：還可以看它們的和、差、積。

師：同學(xué)們提出了四個不同的猜想，哪一個可能性更大，或者說更合理呢？

生：我覺得差不變和商不變可能性最大，因為直徑越長，周長就越長，兩個都增大不可能出現(xiàn)和不變或積不變的。

師：差不變和商不變相比，哪個可能性更大？

生：還是商不變的可能性最大。雖然直徑越長，周長就越長，但直徑增加一點，周長可能增加較多。

【片斷三】動手實驗，定量刻畫

師：圓的周長與直徑的商到底是不是一個確定的數(shù)呢？如果是，它們的商又是多少呢？（板書÷ =）四人小組在一起商量，制定研究方案。

生：可以多找?guī)讉€圓，先量一量它們的周長和直徑，再計算。

生：可以像三年級測量樹葉周長那樣，用一根細(xì)線沿著邊線圍一圈，然后把線拉直，再用直尺量出它的長度，測量圓的周長也可以這樣做。

師：這個提醒很重要，測量圓的周長可以采用化曲為直的方法。

師：老師為每個小組準(zhǔn)備了這樣一個實驗材料袋，里面有一些大小不同的圓片，還有一些測量的材料以及工具，同學(xué)們可以根據(jù)需要選擇合適的材料去測量，并把測量的數(shù)據(jù)填寫在《實驗記錄單》上，最后用計算器計算出周長與直徑的商。

（學(xué)生分組實驗，教師巡視、指導(dǎo)）

師：黑板上是各小組實驗結(jié)果。請認(rèn)真觀察這些不同的圓的周長與直徑的商，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：商的開頭都是3。

生：它們好像都在3.14、3.15、3.16 徘徊。

師：也就是說，它們雖然都是三點幾，但這些數(shù)一樣嗎？

生：不一樣。

師：既然這些數(shù)不一樣，那是不是說明我們剛才的猜想是錯誤的呢？

生：其實也不一定，有可能因為每個小組測量時出現(xiàn)誤差，才使得實驗結(jié)果出現(xiàn)波動。

師：合理的誤差是一種正常現(xiàn)象。通過剛才的實驗我們發(fā)現(xiàn)，周長都是直徑的三倍多一點。到底多多少呢？為了減少誤差對實驗結(jié)果的影響，我們不妨借助現(xiàn)代技術(shù)工具幫助驗證一下。

（課件動態(tài)演示測量、計算）

師：通過借助現(xiàn)代技術(shù)和工具進行測量、計算，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：商不變的猜想是正確的。

師：根據(jù)剛才的實驗，你們對差不變這個猜想怎么看？

生：我覺得差不變的猜想是不成立的。在第一個圓中，周長是十二點多，直徑是四點多，它們的差大約是八；在第二個圓中，周長是十八點多，直徑是六點多，它們的差大約是十二。從八到十二，變化太大，所以不正確。

師：是的。借助數(shù)學(xué)實驗，我們在驗證一個猜想正確的同時，發(fā)現(xiàn)另一個猜想是錯誤的。

師：在數(shù)學(xué)中，我們把圓的周長與直徑的商叫做圓周率。（板書：圓周率）圓周率實際上是一個無限不循環(huán)小數(shù)，通常用字母π 來表示。為了方便計算，π通常取兩位小數(shù)，也就是說，π≈3.14。把你們的實驗數(shù)據(jù)和π 比較一下，有什么想說的？

生：我們組的實驗結(jié)果和3.14 相差只有零點一幾。

師：還有小組的實驗結(jié)果就是3.14。實際上，人類關(guān)于圓的周長與直徑關(guān)系的探索，經(jīng)歷了一個很漫長的過程。在我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，就有關(guān)于圓的周長與直徑的關(guān)系的記載（板書：周三徑一），意思周長是直徑的3 倍。后來，我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》做注解時發(fā)現(xiàn)，所謂的“周三徑一”，只是圓內(nèi)接正六邊形的周長和圓直徑的關(guān)系。（見右圖）

借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生解釋正六邊形的周長是圓直徑的3 倍，圓的周長比直徑的3 倍多一些。

師：劉徽用這種方法發(fā)現(xiàn)周三徑一有余。（板書：有余）后來，另外一位大數(shù)學(xué)家祖沖之在劉徽研究的基礎(chǔ)上又有新的發(fā)現(xiàn)，祖沖之把圓周率改進為3.1415926 到3.1415927 之間，是世界上第一個算到小數(shù)點后七位的人，他的這個發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時比歐洲等西方國家早大約1000 多年。同學(xué)們，回望中華民族五千年文明史，我們中國人在很多領(lǐng)域為人類的發(fā)展進步都做出過突出貢獻(xiàn)，我們每一個人都應(yīng)該為自己是一個中國人而感到驕傲。

【片斷四】借助結(jié)論，推導(dǎo)公式

師：現(xiàn)在我們回過頭看看剛才探索的過程，想一想，我們是怎樣一步一步發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑關(guān)系的？

生：我們是先提出一個猜想，然后通過實驗驗證猜想。（板書：猜想驗證）

師：驗證的過程要科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)。只有經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過程，才能得到科學(xué)的結(jié)論。（板書：結(jié)論）我們就是用這種方法得到了圓的周長與直徑之間的關(guān)系。如果圓的周長用大寫字母C 表示，直徑用小寫字母d 表示，它們之間的關(guān)系可以怎樣表示？

生：C÷d=π。（板書：C÷d=π）

推導(dǎo)圓周長公式：C=πd（板書）

師：我們根據(jù)周長與直徑的關(guān)系，推導(dǎo)出周長與半徑的關(guān)系，數(shù)學(xué)知識就是這么相互聯(lián)系著。

師：回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你都有哪些收獲？我們今天學(xué)習(xí)了圓周長的有關(guān)知識，關(guān)于圓還有很多奧秘值得我們進一步探索和研究，期待同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中有更多的發(fā)現(xiàn)。

【賞析】

縱觀整節(jié)課，丁老師以“圓的周長”內(nèi)容為載體，以動手做數(shù)學(xué)為主要方式，注重滲透對數(shù)學(xué)思想方法的感悟、對數(shù)學(xué)特有思維方式的把握和對數(shù)學(xué)精神（理性精神和探究精神）的追求，使學(xué)生切實體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

1.實驗價值：知識與素養(yǎng)聚合。

數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方式。丁老師設(shè)計數(shù)學(xué)實驗任務(wù)，不僅僅是滿足于趣味的“動手做”，還特別注重“實驗”后的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理、“思考”后的歸納概括與素養(yǎng)形成。在實驗探究過程中，教師先放手讓學(xué)生動手做，得到真實的實驗數(shù)據(jù)，借助思維參與，對“商不變”結(jié)論由質(zhì)疑到肯定。之后，教師通過精選數(shù)學(xué)史料，將數(shù)學(xué)文化相機滲透于課堂學(xué)習(xí)之中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和民族自豪感，涵養(yǎng)數(shù)學(xué)探索精神。最后，組織學(xué)生根據(jù)實驗結(jié)論，自主推導(dǎo)圓的周長公式，得出科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論。丁老師充分展開公式的探究發(fā)現(xiàn)過程，在過程中達(dá)成知識與素養(yǎng)的聚合。

2.實驗工具：傳統(tǒng)與現(xiàn)代融合。

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生運用有關(guān)工具，通過動手操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進行的一種探索數(shù)學(xué)、理解知識、解決問題的思維活動。丁老師在教學(xué)中選擇大小不同的圓片、毛線繩、長紙條、三角板、直尺等傳統(tǒng)實驗器材，讓學(xué)生動手操作、體驗、探索、領(lǐng)悟，在“做數(shù)學(xué)”的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。除外，教師還充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過直觀展示、動靜結(jié)合，擴大課堂信息容量，優(yōu)化課堂教學(xué)效果。在學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗得到的數(shù)據(jù)整數(shù)部分是3 但小數(shù)部分不同時，教師相機借助現(xiàn)代信息技術(shù)工具模擬實驗，揭示數(shù)學(xué)真相，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。丁老師將傳統(tǒng)工具與現(xiàn)代工具有機融合，既促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解，又彰顯了數(shù)學(xué)的科學(xué)與嚴(yán)謹(jǐn)。

3.實驗過程：主導(dǎo)與主體結(jié)合。

數(shù)學(xué)實驗是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生通過動手動腦，以“做”為支架的教與學(xué)的活動方式。本節(jié)課丁老師為學(xué)生定制“直觀感知——定性描述——定量刻畫”的探究線索，課始展示不同大小的車輪，讓學(xué)生直觀感知周長與直徑、半徑有關(guān)系，接著提出關(guān)鍵性問題“圓的周長到底與直徑有怎樣的關(guān)系呢？”鼓勵學(xué)生大膽猜想，定性描述圓周長與直徑之間可能存在商不變關(guān)系，還可能存在和不變、差不變、積不變的關(guān)系，教師繼而提出輔助性問題“你覺得哪個可能性更大？”引導(dǎo)學(xué)生進行有理有據(jù)地篩選，優(yōu)化猜想，在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)實驗定量刻畫、驗證猜想。整個探究過程學(xué)生始終是學(xué)習(xí)的主體，他們通過動手操作、動腦思考，自探、自得，體驗做數(shù)學(xué)的快樂。

總之，整節(jié)課丁老師以“圓周率”為核心，充分借力數(shù)學(xué)實驗，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗證、推理等過程，促進深度學(xué)習(xí)。學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論，而且發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，滲透了數(shù)學(xué)文化，培育了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感受了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。