多軸同步系統模糊補償虛擬主軸偏差耦合控制*

田 昊， 宋玉寶， 曹清媛， 劉曉林

(中國空氣動力研究與發展中心 低速空氣動力研究所，四川 綿陽 621000)

0 引 言

多軸同步系統廣泛地應用于現代工業控制領域[1]，現代工業的發展對系統的同步控制精度和跟蹤性能均提出了較高的要求[2]。多軸同步控制一般分為主令控制、主從控制和耦合控制[3]。 其中前兩者屬于非耦合控制，運動過程中沒有在軸與軸之間建立耦合關系, 存在較大的同步誤差[4]。

Koren[5]提出了交叉耦合控制結構，較好地解決了雙軸同步運動耦合問題。但交叉耦合控制結構不適用于多軸耦合控制[6]，為此，Perez-Pinal等[7-8]提出了偏差耦合同步控制結構。這種同步結構既利用了交叉耦合雙軸之間同步精度高的優點，又克服了交叉耦合結構不適用于多軸工況的缺點。但是，當軸間轉動慣量差異較大時，也存在起動過程中同步誤差較大的問題，且當控制軸較多時，系統運算量將急劇增大[9]。

針對偏差耦合同步控制運算量大的問題，文獻[10-11]提出了相鄰偏差耦合同步控制，該控制方法只針對各相鄰軸進行同步控制，能極大減小系統計算量。但該類控制方法對于運動軸存在調整的應用情況，如風洞試驗模型支撐方式的調整，每次必須重新建立各個調整軸與其相鄰運動軸之間的運動關系，從而難以滿足實際應用需求。文獻[12]提出了采用虛擬電機的偏差耦合結構，對各個電機與虛擬電機之間求轉速差，提高了多電機間的同步性能，具有一定的參考意義。但該方法對負載突變工況下減小跟蹤誤差作用有限，在風洞吹風試驗過程中負載處于變化狀態下的實用性受到限制。

因此，本文采用了一種改進型偏差耦合控制結構。通過建立虛擬主軸，將所有運動軸與虛擬軸轉速差作為虛擬軸同步補償器的輸入，單軸與虛擬軸的轉速差作為單軸同步補償器的輸入。該結構在減小起動過程中同步誤差的同時簡化了單軸補償器的結構，減少了軸調整過程中系統的運算量。在此基礎上，通過結合模糊補償控制策略，對控制參數進行自適應修正來滿足負載擾動過程中對跟蹤精度的要求。并以某風洞多軸運動機構為對象進行了試驗，對該控制結構和方法的有效性進行了檢驗。

1 改進型偏差耦合結構

圖1為虛擬主軸偏差耦合結構，其中：ωref為系統給定轉速，ωi為第i個軸的實際轉速，ωvir為虛擬軸的轉速，ki為第i個軸和虛擬軸的耦合比例系數，ei為第i個軸的跟蹤誤差和其對應轉速補償器輸出之和，evir為虛擬軸的跟蹤誤差和其對應補償器輸出之和，ui為第i個軸的控制器輸出，uvir為虛擬軸的控制器輸出，Tei為第i軸的給定力矩，TLi為第i軸負載力矩，Tevir為虛擬軸的給定力矩。

圖1 虛擬主軸偏差耦合結構

從圖1中可以看出，單軸控制輸入ei包括了單軸速度跟蹤誤差和轉速補償器輸出的補償量，其中轉速同步補償器包含軸自身與虛擬軸的轉速差。由于虛擬軸同步補償器包括所有軸與虛擬軸的差量，各軸通過轉速補償器與虛擬軸轉速關聯，從而與其他軸轉速關聯，同時實現跟蹤誤差與同步誤差補償功能。

假定系統有n個軸，則所有轉速同步補償器對應的轉速差數為2n，與相鄰偏差耦合控制一致，相對于傳統偏差耦合結構n(n-1)的轉速差數，當n>3時，可得2n

各軸起動過程中因轉速限幅的作用，各軸轉速輸出可能會達到飽和狀態，傳統偏差耦合控制轉速補償此時將處于失效狀態。當各軸轉動慣量差別較大時，將產生較大的轉速同步誤差。通過引入虛擬主軸，選取合適的虛擬轉動慣量，利用轉速同步補償器減小控制器轉速給定，避免飽和狀態，可以減小起動過程中的同步誤差。

2 轉速補償器

從圖1可以看出，各軸轉速同步補償由耦合比例系數ki和虛擬軸的轉速ωvir確定。

2.1 電機傳遞模型

根據電機電樞回路電壓平衡方程、電磁轉矩方程及電機轉子轉矩平衡方程[13]，有：

(1)

式中：ua(t)為電機電樞電壓；La、Ra為電樞電感和電阻；Ce為反電動勢系數；ia(t)為電樞電流；θm(t)為電機轉子角位移；Mm(t)為電機轉矩；Cm為電機轉矩系數；Jm為電機和傳動機構折合到電機軸上的轉動慣量；fm為電機和負載折合到電機軸上的摩擦系數；Mc(t)為負載轉矩。

忽略電樞電感La和電機軸摩擦fm，將式(1)聯立求解可得：

(2)

根據：

(3)

式中：ωd(t)為電機的實際轉速。

將式(3)代入式(2)可得：

(4)

將式(4)進行拉普拉斯變換得：

(5)

根據式(5)得到電機速度與電樞電壓和轉動慣量之間的傳遞關系。同時根據電機電樞電壓與電機給定轉速ωdg(t)之間近似關系：

ua(t)=Ceωdg(t)

(6)

可將式(6)轉換為

(7)

由此得到電機輸出轉速與電機給定轉速之間的傳遞關系。假定機構與電機之間為線性傳動關系，傳動比為X，則式(7)可轉換為

(8)

由此得到各軸實際轉速與系統給定轉速之間的開環傳遞關系。

2.2 耦合比例系數

從各軸實際轉速與系統給定轉速之間的開環傳遞關系可以看出，各軸速度響應與自身轉動慣量Jm相關。如果軸間轉動慣量差別較大，在起動過程中，軸與軸之間會出現較大的同步誤差。為實現各軸速度同步響應，各軸偏差補償耦合系數應參照自身轉動慣量值確定。為保證各軸轉速同步補償的協調性，可以對各軸耦合系數進行歸一化處理[14]。選取轉動慣量最大的軸(軸k)作為參考軸，將其余各軸的轉動慣量和參考軸的轉動慣量進行比運算，從而完成各軸耦合比例系數ki的歸一化確定：

(9)

式中：Ji為第i軸轉動慣量；Jk為第k軸的轉動慣量。

通過前文分析，為保證起動過程中的同步性能，應利用轉速同步補償器減小控制器轉速給定。從圖1可以看出，轉速補償應為負補償，即ωvir<ωi。因此，應增大虛擬軸的轉動慣量Jvir，Jvir取系統中轉動慣量最大軸的慣量值，即Jvir=Jk。

2.3 虛擬軸速度傳遞函數

根據圖1，虛擬軸的轉速為

(10)

對于虛擬軸，其轉動慣量參照系統中轉動慣量最大軸的慣量值Jk，因此其他參數應與對應軸保持一致。根據圖1可確定其開環傳遞函數H(s)：

H(s)=FVDVGV

(11)

虛擬軸的轉速可簡化為

(12)

根據式(12)得到虛擬主軸速度關系傳遞函數。同時由式(12)可以看出各軸速度變化對虛擬軸轉速ωvir的影響。

3 基于模糊補償的偏差補償控制

根據以上結構及關系確定的補償方法，雖然簡化了單軸補償器模型，優化了起動時的同步性能。但因為各軸控制參數固定，難以適應各種負載不確定，負載變化較大的應用工況，也存在魯棒性較差的問題。對此，在基于虛擬主軸的改進型偏差耦合結構的基礎上，采用基于模糊補償的速度補償控制器來調整控制系數，以保證在負載變化情況下的同步跟蹤性能。

3.1 模糊補償控制結構

綜合考慮系統控制性能及模糊推理運算工作量的大小，采用二維模糊補償控制器[15]。圖2為模糊補償控制器結構圖。模糊補償器采用跟蹤誤差和轉速同步補償器輸出之和e作為偏差輸入量，并同時以偏差變化率ec作為輸入量。當系統負載變化時，e和ec將發生變化。補償器根據輸入量的大小來調整控制器的PI參數，改變二者的變化量ΔKP和ΔKI，從而滿足同步控制性能要求。

3.2 隸屬度函數的選取

模糊補償器的輸入變量分別是e和ec，輸出變量分別為ΔKP和ΔKI，則輸入輸出變量的物理論域可分別設為[-emax,emax]、[-ecmax,ecmax]、[-ΔKPmax, ΔKPmax]和[-ΔKImax, ΔKImax]。

設定輸入輸出4個變量的模糊論域皆為[-Lmax,Lmax]，則可確定量化因子Ke、Kec、KΔKP和KΔKI分別為Lmax/emax、Lmax/ecmax、Lmax/ΔKPmax和Lmax/ΔKImax。

將4個輸入輸出變量的模糊論域按照{BN、MN、SN、Z、SP、MP、BP}7個模糊子集劃分，分別對應{負大、負中、負小、零、正小、正中、正大}7個語言變量。為保證系統具有較好的魯棒性，隸屬度函數的選取需跟隨誤差變化進行調整，即隨著誤差的增大，應逐步降低隸屬度函數的分辨率。輸入論域中誤差最大的2個模糊子集分別是BP和BN，此位置可選取分辨率較低的高斯函數作為其隸屬度函數。函數式為

(13)

式中:ε為函數中心的位置；δ為函數的寬度。

輸入論域其余位置以及輸出論域的隸屬度函數可選擇分辨率高的三角形函數，函數方程為

(14)

式中:a為隸屬度函數的下邊界;b為隸屬度函數的中心;c為隸屬度函數的上邊界。

圖3為隸屬度函數的分布圖。

圖3 輸入輸出變量隸屬度函數分布

3.3 模糊補償規則及解模糊方法

根據前期系統相關運行控制經驗，找出模糊化輸入量e和ec與控制器輸出量的模糊關系，據此用于指導e和ec與控制器參數的模糊關系，最終得到e和ec與ΔKP和ΔKI的模糊控制規則如表1所示。

表1 模糊控制規則表

解模糊方法用于將模糊量轉化為ΔKP、ΔKI的精確值，一般需考慮隸屬度函數和模糊關系規則這2個因素。重心法可同時兼顧模糊關系集合和隸屬度的差異，可作為解模糊方法使用，其計算式如下：

(15)

式中：xi為函數輸入變量；μ(xi)為xi對應的隸屬度值。

4 試驗與分析

以風洞閉口試驗段三軸同步機構為例，對控制方法的有效性進行檢驗。該機構包括閉口試驗段上下轉盤以及模型腹撐側滑轉盤3個運動軸。3個運動軸均采用伺服電機—減速器—齒輪傳動的傳動方式。圖4為機構結構及單軸傳動方式。共有上轉盤—下轉盤雙軸同步、側滑轉盤—下轉盤雙軸同步以及側滑轉盤—下轉盤—上轉盤三軸同步3種同步模式。其中上、下轉盤電機及機構參數較為接近，側滑轉盤電機及機構參數與另外2個軸差別較大。為便于比較控制性能，以三軸同步工況作為試驗運行工況，分別選取偏差耦合(RC)控制、虛擬主軸偏差耦合(VRC)控制以及結合模糊補償的虛擬主軸偏差耦合(FVRC)控制3種情況下的速度同步誤差進行比較分析。在試驗過程中，為模擬吹風試驗過程中可能存在的負載變化情況通過人工調整轉盤機構上的負載重量模擬運行過程中的負載變化情況。

圖4 機構結構及單軸傳動方式示意圖

4.1 試驗平臺與條件

試驗平臺采用西門子S7-317T型工藝CPU作為控制系統的主控制器，通過電機自帶多圈絕對值編碼器對各軸運動角速度和角位移進行測量和換算。上位機軟件采用LabVIEW開發平臺，PLC控制軟件采用SIMATIC Step7 開發平臺，使用LAD(梯形圖)和STL(語句表)編寫。

根據機構角速度運行數據以及控制系統中e和ec動態響應量的對應關系，確定二者的物理論域分別為[-0.002,0.002]和[-0.01,0.01]。根據單軸控制參數范圍，確定輸出變量ΔKP和ΔKI的物理論域分別為[-10,10]和[-0.5,0.5]。可將以上4個輸入輸出變量的模糊論域均設為[-6,6]，則得到4個變量對應的量化因子Ke、Kec、KΔKP和KΔKI分別為3 000、600、0.6和12。

各軸相關電機及機構參數如表2所示。其中M1、M2和M3分別代表上轉盤、下轉盤和側滑轉盤，m為轉盤質量，d為轉盤直徑，Jm0為轉盤轉動慣量，Nn為電機額定轉速，Tn為電機額定轉矩，X為機構傳動比。其中上下轉盤電機編碼器單圈分辨率為1/4 096，對應上下轉盤機構單圈分辨率為0.000 036°；側滑轉盤電機編碼器單圈分辨率為1/1 024，對應側滑轉盤機構單圈分辨率為0.000 091°。

表2 各軸電機及機構參數

4.2 試驗結果與分析

對3種控制方式在給定1°/s運行角速度下從起動到運行穩定一段時間的速度誤差情況進行比較分析，轉動角度范圍為10°。模擬重物約1 000 kg，通過通斷永磁起重磁鐵磁力的方式吸緊或放松重物從而模擬負載變化。

按照多軸同步系統以跟蹤誤差和同步誤差的大小作為判定同步性能好壞這一原則[16]，選取機構分別在無負載擾動運行情況下和存在負載擾動運行情況下采用3種不同控制方式的角速度同步誤差及跟蹤誤差進行比較，為便于分析，負載擾動在各軸轉速處于穩定階段施加。對比情況如圖5和圖6所示,分別對應了RC、VRC和FVRC 3種控制方式。同步誤差1為上轉盤和下轉盤速度差，同步誤差2為上轉盤和側滑轉盤速度差，同步誤差3為下轉盤和側滑轉盤速度差。跟蹤誤差1為給定速度和上轉盤速度差，跟蹤誤差2為給定速度和下轉盤速度差，跟蹤誤差3為給定速度和側滑轉盤速度差。

圖5 無負載擾動角速度誤差對比

圖6 負載擾動角速度誤差對比

表3為統計出的3種不同控制方式在無負載擾動情況下誤差絕對值的最大值比較情況。

表3 無負載擾動誤差情況 °·s-1

從圖5(a)和表3可以看出，RC方式在起動階段會出現較大的同步誤差2和同步誤差3，并導致較大的跟蹤誤差3。結合圖5(b)和表3數據，VRC方式因為通過包含虛擬軸的速度補償器對給定量的補償作用，能有效降低多軸因轉動慣量差別較大在起動階段導致的同步誤差，并減小跟蹤誤差。其中起動時的同步誤差和跟蹤誤差可降至之前的1/4～1/5，接近速度穩定階段的同步誤差和跟蹤誤差值。結合圖5(c)和表3最大誤差數據，在無負載擾動工況下，FVRC方式整體控制性能與VRC方式基本一致。說明VRC和FVRC相對RC在簡化控制結構、減少計算量并保持穩定階段的同步和跟蹤性能的同時，能有效提升起動階段的多軸同步和跟蹤性能。

表4為統計出的3種不同控制方式在存在負載擾動情況下的誤差絕對值的最大值比較情況。考慮RC方式在起動階段會導致較大的同步和跟蹤誤差，為便于比較，表4中的統計數據忽略起動階段的速度數據。

表4 負載擾動誤差情況(轉速穩定階段) °·s-1

從圖6和表4可以看出，在存在負載擾動的工況下，擾動對3種控制方式的同步誤差影響并不大。主要因為這3種方式在運算時均考慮了各個軸的實際速度，每個軸可根據其他軸的速度變化情況對自身速度補償進行實時修正，從而能不影響各個軸之間的同步誤差。但采用RC和VRC均會產生較大的跟蹤誤差，各軸最大跟蹤誤差可達到無擾動情況下的2～4倍。主要因為這2種方式雖然能保證各個軸之間同步修正速度補償量，但無法保證快速修正因負載擾動出現的實際速度與給定速度之間的偏差，從而會帶來較大的跟蹤誤差。

而采用FVRC的各軸最大跟蹤誤差比前2種方式的最大跟蹤誤差大大降低，可降低至前2種方式最大跟蹤誤差的1/3～1/4，與無負載擾動情況最大跟蹤誤差接近。主要由于FVRC能根據跟蹤誤差自適應快速修正調節參數，能及時減小因負載擾動產生的跟蹤誤差，具備更優的抗擾性能，從而在滿足同步要求的同時實現較好的跟蹤性能。

5 結 語

本文通過采用基于虛擬主軸的改進型偏差耦合控制結構在提升各軸同步性能和跟蹤性能的同時，簡化了控制結構，減少了系統計算量。在此基礎上，結合使用基于模糊補償的偏差補償控制，在保證同步性能的同時，有效降低了在負載擾動情況下各軸的跟蹤誤差，能更好地滿足風洞試驗對機構的控制要求。