GM(1,1)模型初始條件優化及其在GNSS鐘差預報中的應用

譚小容 許江寧 何泓洋 陳 丁 梁益豐 吳 苗

1 海軍工程大學電氣工程學院，武漢市解放大道717號，430033 2 九江學院電子工程學院，江西省九江市前進東路551號，332005

在全球導航衛星系統GNSS中，星載原子鐘的鐘差預報在維持衛星導航系統時間同步、優化導航電文鐘差參數、滿足實時動態精密單點定位需求、提供衛星自主導航所需的先驗信息等方面具有重要意義[1]。灰色模型以其表達式簡單、所需建模數據較少等優勢在鐘差預報中發揮著重要作用[2-3]。單變量一階微分模型GM(1,1)是灰色模型的重要組成部分，被廣泛應用于GNSS導航衛星鐘差預報。部分學者[4-5]采用GM(1,1)模型對GPS、GLONASS等導航衛星鐘差進行預報處理，驗證其可行性和有效性，并獲得較高的預報精度。但經過深入剖析GM(1,1)模型的建模機理發現，灰微分方程與所擬合的微分方程很難做到嚴格近似，而且參與建模的初始序列的光滑程度也會影響GM(1,1)模型的預報精度。針對GM(1,1)預報模型存在的問題，眾多學者從初始序列預處理、背景值重構、時間響應函數優化以及初始條件優化等方面展開研究。

在初始條件優化方面，現有的生成方法主要有3類：采用一階累加生成(first-order accumulated generating operation，1-AGO)序列的單個分量作為初始條件、采用1-AGO序列的多個分量進行線性組合作為初始條件、將系數乘以或添加到特定分量中獲得初始條件。上述方法都是基于白化方程的時間響應函數，以1-AGO序列的某個或多個分量進行線性組合作為已知參量求解初始條件。這類方法著重強調參與初始條件計算信息的挖掘和利用以及信息的權重分配，忽視了建模參數和表達形式對模型自身的影響，從而導致模型不穩定，預報效果不佳。本文提出一種利用原始序列生成初始條件的新方法，更注重預報模型的構建和參數對模型的影響。首先利用1-AGO和最小二乘法估計發展系數和灰作用量，然后運用一階累減運算(first-order inverse accumulated generating operation，1-IAGO)將白化方程的時間響應函數還原得到原始序列的擬合模型，最后將原始序列的最新分量代入擬合模型，求解初始條件得到GM(1,1)預報模型。利用新方法構建的GM(1,1)模型對IGS提供的精密衛星鐘差進行預報實驗，通過與其他方法構建的GM(1,1)模型進行對比分析來驗證新方法的有效性和優越性。

1 GM(1,1)模型及初始條件優化

1.1 GM(1,1)基本模型

定義GM(1,1)模型的灰微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b,k=2,3,…,N

(1)

式中，a為發展系數，b為灰作用量，z(1)(k)稱為GM(1,1)模型的背景值，用序列Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(N)}表示。z(1)(k)可由x(1)(k)的緊鄰均值生成，即

k=2,3,…,N

(2)

GM(1,1)模型的白化方程為：

(3)

式(3)為線性微分方程，其通解可近似為：

(4)

n=1,2,…,N,N+1,…

(5)

n=1,2,…,N,N+1,…

(6)

圖1 GM(1,1)模型預報流程Fig.1 Prediction flow of GM(1,1) model

1.2 初始條件的傳統求解法

(7)

以下為4種利用1-AGO序列求初始條件的方法：

表1 4種方法對應的GM(1,1)預報模型

1.3 初始條件優化法

(8)

式中，x0(k)可以取原始序列的某個分量或多個分量的加權和，本文依據新信息優先原則取其最新分量，將k=N代入式(8)得到初始條件的估計值為：

(9)

N=1,2,…,N,N+1,…

(10)

當n>N時，利用式(10)就可以求得優化初始條件后的GM(1,1)模型的預報值。

2 算例分析

為驗證優化初始條件后GM(1,1)模型的有效性，采用IGS提供的采樣間隔為5 min的最終精密星歷鐘差作為原始數據進行鐘差預報，并與傳統初始條件的GM(1,1)模型進行對比分析。IGS最終精密星歷鐘差的精度優于75 ps，可作為真值用于檢驗模型的預報精度。假設采用§1.2中方法1～4獲得的GM(1,1)模型分別為模型1、模型2、模型3和模型4，本文提出的初始條件生成法構建的GM(1,1)模型為模型5。采用預報值與真值的均方根誤差(RMSE)定量分析模型的預報精度，RMSE越小，說明鐘差預報精度越高；采用預報值與真值的殘差圖定性分析模型的預報誤差，殘差圖偏離0越遠則誤差越大。RMSE計算公式為：

(11)

2.1 數據來源

采用2021-10-17～23采樣間隔為5 min的GPS最終精密星歷鐘差作為實驗數據。由于GPS衛星鐘絕大部分為銣原子鐘，選取該時間段內鐘差數據完整性較好的4種類型銣原子鐘各1顆，4顆衛星的類型和編號分別為ⅡF Rb G01、Ⅲ Rb G04、ⅡR-M Rb G15和ⅡR Rb G19。其中G01鐘差信號呈遞減趨勢，其余3顆衛星的鐘差信號均遞增。除G01鐘差數據線性特性極好外，其他衛星的鐘差數據均出現不同程度的波動，G15衛星波動幅度和頻率最大。

2.2 鐘差預報及結果分析

在實際預報中，首先選取2021-10-17前12 h(00:00～12:00)的鐘差數據進行建模，然后分別預報未來6 h和24 h的衛星鐘差，并將模型5的預報結果與模型1～4進行對比分析。表2和表3分別為預報6 h和24 h的RMSE(單位ns)。

表2 鐘差數據預報6 h的RMSE

表3 鐘差數據預報24 h的RMSE

由表2和表3可知：

1)模型2和模型3對4種類型衛星的6 h和24 h預測結果與傳統GM(1,1)模型(模型1)幾乎相同，說明采用1-AGO序列的最舊分量、最新分量、最新最舊分量加權和生成初始條件構建的GM(1,1)模型進行衛星鐘差預報的精度相當。經多次實驗發現，衛星類型、建模數量和預報時間的選擇與3種模型鐘差預報精度幾乎一致的結論無關，這是由衛星鐘差序列之間的差值太小所致。對于數據差別較大的序列，模型預報精度完全不同，如文獻[6]中采用模型3對序列值之差為個位數的實驗數據進行預報處理，結果表明模型3的預報精度優于模型1。

2)模型4與模型1的RMSE雖然不相等，但是除了對G19衛星進行24 h預報時模型4的RMSE低于模型1外，其他情況下模型4的RMSE均遠遠高于模型1，尤其是ⅡF和ⅡR-M兩種類型銣鐘。說明在鐘差預報中用于生成GM(1,1)模型初始條件的分量并不是越多越好，分量過多反而會弱化最新序列與預報序列之間的關系，導致預報效果不佳。

3)相比于模型1和模型4，模型5進行鐘差預報的RMSE最小，精度最高。6 h預報時模型5的RMSE約為0.3 ns；24 h預報時，除G15外其余衛星鐘差預報的RMSE均在0.8 ns以內。由此可見，采用原始序列生成初始條件的方法具有可行性，在鐘差預報中能夠獲得較好的預報效果。

4)除G01外大多數衛星的RMSE均隨著預報時長的增加而增大，其中G15衛星的RMSE變化較為明顯。這是因為G01衛星的鐘差信號線性特性極好，而G15衛星鐘差波動較為嚴重。說明5種GM(1,1)模型對衛星鐘差的波動都很敏感，波動幅度越大、頻率越高，預報效果越差。

由于模型1～3的預報精度相當，后續圖表只給出模型1、模型4和模型5的處理結果。圖2和圖3分別為采用2021-10-17數據預報未來6 h和24 h的殘差結果。

由圖2和圖3可見，模型5的誤差基本在0 值附近波動，尤其是6 h預報時長；而模型1和模型4的誤差值偏離0值相對較遠，且預報時間越長該現象越明顯。模型5預報誤差的變化趨勢與模型1和模型4基本保持一致，隨著預報時長的增加，絕大部分衛星的誤差絕對值均緩慢增大。由此說明，模型4的預報精度得到很大提升，但穩定度還有待改善。

圖2 4種模型6 h預報誤差Fig.2 The 6 h prediction errors of four models

圖3 4種模型24 h預報誤差Fig.3 The 24 h prediction errors of four models

為進一步驗證模型5預報性能的優越性，將2021-10-17～22連續6 d的鐘差數據進行預報處理。由于篇幅有限，圖4只給出G01衛星2021-10-17～22的預報精度，表4(單位ns)為4顆衛星6 d預報結果的平均值，表5(單位%)為模型5相對于模型1和模型4的平均精度提高率。

圖4 G01衛星6 d的預報精度Fig.4 The 6 d prediction accuracy of G01 satellite

表4 6 d鐘差預報的RMSE平均值

表5 模型5相對于模型1和模型4的平均精度提高率

由圖4可知，除個別時間段模型5的預報精度略低于模型1外，其他預報時長和時間段內模型5的預報精度均遠遠高于模型1和模型4。由表4和表5可知，所有衛星6 d的平均預報精度均有不同程度提升，鐘差信號變化越平穩，模型5的預報精度提升越明顯。由此可見，對2021-10-17～22連續6 d的鐘差數據作與2021-10-17鐘差數據同樣的預報處理，能夠得到與2021-10-17相似的結論。

3 結 語

本文提出利用原始序列的最新分量生成初始條件的新方法，該方法既充分利用已知信息，又遵循新信息優先原則。理論分析和實驗結果表明，采用新的初始條件構建的GM(1,1)模型可以有效預報衛星鐘差，且預報精度明顯優于利用1-AGO 序列的某個或多個分量加權和生成初始條件構建的GM(1,1)模型。但本文構建的GM(1,1) 模型鐘差預報的穩定度相比于傳統GM(1,1)模型并未明顯改善，在以后的研究工作中可以從衛星鐘差序列的實際特征出發，結合信號預處理、背景值優化及其他輔助手段優化GM(1,1)模型，進一步提高鐘差預報的精度和穩定性。