一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統的自適應控制

劉玉發 劉勇華 蘇春翌 魯仁全

在工業生產和社會生活中,存在著大量的復雜系統,如非線性耦合機械系統[1]、超臨界機組[2]等.這些復雜系統線性化時通常包含了不可控模態,給其控制器設計與分析帶來了挑戰.在過去十幾年里,這類稱之為高階非線性系統的自適應控制問題吸引了很多研究者的關注.Lin 等在文獻[3-4]中提出了一種新的構造性設計框架-增加冪次積分法,有效解決了高階非線性系統的鎮定與實際跟蹤問題.借助于這一方法,文獻[5-19]研究了不同條件下高階不確定非線性系統的自適應控制問題,取得了一系列研究成果.值得指出的是,上述絕大多數研究結果都要求系統的冪次信息完全已知.然而,在一些實際應用中,由于控制系統本身與周圍環境存在著各種不確定因素,使得系統的冪次信息可能無法精確獲取.因此,進一步探討具有未知冪次的高階非線性系統的控制器設計是很有意義并值得研究的問題.

針對具有未知冪次的高階非線性系統,文獻[20-21]采用改進的增加冪次積分法,分別給出了狀態反饋和輸出反饋控制算法.然而,這些算法沒有考慮系統函數的不確定性,且需要假設系統的冪次上界信息已知.文獻[22]結合增加冪次積分技術和自適應控制方法,解決了具有未知冪次和不確定參數的高階非線性系統的自適應控制問題.最近,針對一類具有未知時變冪次的高階非線性系統,文獻[23]利用障礙李雅普諾夫方法給出了滿足全狀態約束條件的自適應控制方案.但文獻[22-23]所提控制方案仍然要求系統冪次的上界已知.為去除這一假設條件,文獻[24]采用增加冪次積分技術和邏輯切換方法,設計了一種全局切換自適應鎮定方案.該方案的不足在于切換控制信號是非光滑的,可能會引起抖振問題,從而激發系統中的高頻未建模動態.為此,文獻[25]利用動態增益法,提出了一種光滑自適應狀態反饋控制器,但這種控制器僅適用于相對階為2 的非線性系統.

基于以上討論,本文研究了一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統的自適應跟蹤控制問題.結合積分反推技術和障礙李雅普諾夫函數,提出了一種新穎的自適應狀態反饋控制策略.本文所得到的控制策略具有如下優點:1)采用對數型障礙李雅普諾夫函數[26-27]解決了系統冪次未知與模型不確定帶來的技術難題;2)所提出的自適應控制策略中沒有包含虛擬控制律的導數信息,避免了積分反推法中的“計算膨脹”問題;3)所設計控制器能夠確保閉環系統的所有信號一致有界.最后,仿真結果驗證了本文理論結果的有效性.

本文采用如下符號:R,R≥0,R＞0分別表示實數、非負實數和正實數集合.Rn表示n維實向量集合. sign(s)表示變量s的符號函數.對任意正常數q,定義[s]q=sign(s)|s|q.表示分子和分母都是正奇整數的所有有理數的集合.

1 問題描述與預備知識

1.1 問題描述

考慮如下高階不確定非線性系統

其中,x=[x1,···,xn]T∈Rn是系統的狀態向量,初始值x(0)=[x1(0),···,xn(0)]T,=[x1,···,xi]T∈Ri,i=1,···,n;u∈R 和y∈R 分別是控制輸入和系統輸出;pi∈,i=1,···,n是系統(1)的未知冪次.系統函數fi,gi:R≥0×Rn×R→R,i=1,···,n在t上分段連續,且關于x和u滿足局部Lipschitz 條件.本文的控制目標是設計自適應控制器u,使得系統輸出y跟蹤期望軌跡yr,同時確保閉環系統的所有信號皆有界.

注 1.不同于文獻[20-25]中的研究結果,本文中系統冪次無需滿足p1≥p2≥···≥pn.

假設 1.存在未知的連續函數:Ri→R≥0,:Ri→R＞0和:Ri→R＞0,滿足

其中,i=1,···,n,l=1,···,ji,ji為有限正整數,qil為滿足 0≤qi1＜qi2＜···＜qiji＜pi的正常數.

注 2.假設1 表明了本文所提控制算法無需知曉系統函數gi(t,x,u),fi(t,x,u)及相應的界函數的解析表達式.

假設 2.期望軌跡yr為連續可微函數,且存在未知正常數Br,滿足

1.2 預備知識

引理 1[28].考慮初值問題

其中,hr:R≥0×Ξr→RN在t上分段連續,且關于ηr滿足局部Lipschitz 條件,Ξr?RN為非空開子集.ηr(t)是初值問題(5)在最大存在區間上的解,＜+∞.設是 Ξr的緊子集,則存在ts∈,使得ηr(ts).

引理 2[29].對任意a∈R,b∈R,m∈R＞0,n∈R＞0和函數ρ(a,b)＞0,下列不等式成立

引理 3[29-30].對任意p≥1,a∈R,b∈R,下列不等式成立

其中,cp=2p-2+2.

引理 4[31].對任意δ∈R＞0和ξ∈R,下列不等式成立

引理 5[32].對滿足 0≤d＜c的c∈R 和d∈R,下列不等式成立

2 自適應跟蹤控制策略

本節設計了一種基于障礙李雅普諾夫函數的自適應跟蹤控制器,并給出了閉環系統的穩定性證明.

2.1 自適應控制器設計

定義如下誤差坐標變換

其中,αi-1是第i－1 步的虛擬控制律.

步驟i(i=1,···,n-1).選取正常數μi滿足μi＞|zi(0)|,設計第i步虛擬控制律和自適應律為

步驟n.選取正常數μn滿足μn＞|zn(0)|,設計實際控制律和自適應律為

上述自適應控制器的設計過程如圖1 所示.

圖1 具有未知冪次的控制系統框圖Fig.1 Block diagram of the control system with unknown powers

注 3.如式(14)～(17)所示,本文提出的自適應反推控制策略不依賴于系統冪次pi及其上界信息,且無需知曉系統函數fi(t,x,u),gi(t,x,u)及相應的界函數的解析表達式.同時,該控制策略未包含虛擬控制律αi的導數,消除了積分反推法中“計算膨脹”問題.

2.2 穩定性分析

在給出閉環系統的穩定性分析之前,先引入如下命題.

其中,

從而,有

本文主要結論可總結為如下定理.

定理 1.對滿足假設1 和假設2 的高階不確定非線性系統(1),在任意初始條件x(0)下,控制器(16)以及自適應律(15)和(17)保證了閉環系統的所有信號一致有界,并且輸出跟蹤誤差可以收斂到殘差為任意小的殘差集.

證明.本證明共分為3 部分.首先,證明由系統(1),控制器(16),自適應律(15)和(17)組成的閉環系統在最大存在區間 [0,tf)上存在唯一解η(t)=.然后,采用反證法證明tf=+∞.最后,實現本文控制目標.

Part 1.根據式(14)和式(16),虛擬控制律α1,···,αn-1,實際控制律u以及系統狀態x1,···,xn可寫為

因此,由式(1)和式(14)～ (17)組成的閉環系統可改寫為

定義開集

由于μi＞|zi(0)|,i=1,···,n,可知η(0)=[z1(0),···,zn(0),]T∈Ξ.同時,由于期望參考信號yr及其導數有界,函數fi,gi,i=1,···,n在t上分段連續,且關于x和u滿足局部Lipschitz條件,可推得φi:R≥0×Ξ→R 在t上分段連續,且關于x和u滿足局部Lipschitz 條件.根據微分方程解的存在唯一性定理[33],對任意初始條件η(0),閉環系統(29)～(32)在最大存在區間 [0,tf)上存在唯一解η=[z1,···,zn,]T∈Ξ,即,對?t∈[0,tf),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 2.本部分采用反證法證明tf=+∞.為此,不妨假設tf＜+∞.

考慮如下障礙李雅普諾夫函數[26]:

步驟i(i=1,···,n-1).Vi的導數為

其中,α0=yr.

根據假設1 和引理2,下列不等式成立

其中,

將式(35)代入式(34),可得

根據命題1,可得

情形1.當pi=1 時.由Part 1 可得:|zi+1|＜μi+1,?t∈[0,tf),因而

情形2.當pi＞1 時.由引理2 和引理3 以及|zi+1|＜μi+1,?t∈[0,tf),可得

其中,

將式(40)代入式(37)中,并結合命題1,易得

其中,ωil和νim為未知正常數.

將式(42)和式(43)代入式(41)中,有

通過式(14)和式(15),并結合引理3,可得

根據引理2 和引理4,式(45)中的項σiωil?i|ξi|放縮為

其中,

由式(45)和式(46),可得

依據引理2 和引理5,以及Young 不等式,則有

其中,

由式(48)～(50),可得

因此,對?t∈[0,tf)中,有

從式(52)和式(53),可得

進而可推出,對?t∈[0,tf),αi和xi+1有界.接著,對αi和ξi分別求導,可得

步驟n.求Vn的導數,可得

類似于式(35)的推導過程,利用假設1 和引理2,可得

其中,

由式(59)以及命題1,可推得

其中,ωnl和νnm為未知正常數.

利用式(61)和式(62),有

根據式(16)和式(17)以及命題1 和引理3,可得

依據引理2 和引理4,式(64)中的項σnωnl?n|ξn|放縮為

其中,

將式(65)代入式(64)中,得到

根據引理2 和引理5,以及Young 不等式,可得

其中,

根據式(67)～(69),可得

因此,對?t∈[0,tf),有

由式(71)和式(72),可得

故可推出,對?t∈[0,tf),u有界.

由步驟 1～n可知,存在緊子集,使得閉環系統在 [0,tf)上存在唯一解η(t)∈Ξ′.根據引理1,可得:tf=+∞,即,對?t∈[0,+∞),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 3.重復Part 2 中的步驟1～n,可得x1,···,xn,α1,···,αn-1和u均有界,?t∈[0,+∞).另外,從式(54)可知,通過減小μ1和?1可將輸出跟蹤誤差z1收斂到任意小的殘差集. □

注 4.不同于文獻[20-25]中提出的控制方案,本文采用積分反推技術和障礙李雅普諾夫方法解決了高階非線性系統中冪次未知和系統函數不確定的問題,且所設計控制策略不依賴于未知冪次的上界信息.

3 仿真算例

為了驗證本文所提控制算法的有效性與通用性,考慮如下兩個高階非線性系統

在仿真中,系統 Σi和自適應參數的初始值設置為 [x1(0),x2(0)]T=[－0.5,0.4]T,=0,i=1,2.控制器參數k1=2,k2=1,μ1=4,μ2=2,σ1=3,σ2=2,γ1=2,γ2=3,δ1=δ2=0.01 和λ1=λ2=0.002,其中,μ1=4＞|z1(0)|=0.5,μ2=2＞|z2(0)|=106/315.系統 Σ1和 Σ2的仿真結果如圖2～4 所示.圖2 刻畫了輸出跟蹤誤差y－yr的變化情況,圖3 給出系統的控制信號u,圖4 描述了自適應參數.從仿真結果可以看出,本文所提自適應控制策略既能使系統 Σ1和 Σ2的輸出跟蹤誤差收斂到原點附近的較小鄰域內,又能確保閉環系統的所有信號有界.

圖2 系統 Σ1 和 Σ2 的輸出跟蹤誤差y-yrFig.2 Output tracking errors y-yr of systems Σ1 andΣ2

圖3 系統 Σ1 和 Σ2 的控制信號uFig.3 Control signals u of systems Σ1 andΣ2

圖4 系統 Σ1 和 Σ2 的自適應參數Fig.4 Adaptive parameters of systems Σ1 andΣ2

為進一步驗證本文控制算法的冪次無關特性,在系統初始值與控制器參數不變的條件下,對具有不同冪次p1和p2的系統 Σ1進行仿真測試.仿真結果如圖5 和圖6 所示.圖5 為系統 Σ1在不同冪次p1和p2條件下的輸出跟蹤誤差y－yr,圖6 為相應的控制信號u.仿真結果表明,在不同冪次條件下,該控制器仍然可以保證閉環系統獲得良好的控制性能.

圖5 系統 Σ1 在不同冪次下的跟蹤誤差y-yrFig.5 Output tracking errors y-yr of system Σ1 under various powers

圖6 系統 Σ1 在不同冪次下的控制信號uFig.6 Control signals u of system Σ1 under various powers

4 結束語

針對一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統,提出了一種基于障礙李雅普諾夫函數的自適應控制算法.在無需知曉系統函數先驗知識的條件下,所提控制算法有效克服了系統冪次未知與模型不確定帶來的技術挑戰.該算法的顯著特點是所設計的自適應控制器均與系統冪次無關.最后,仿真結果驗證了本文控制算法的有效性與通用性.

今后的研究方向包括將本文所提方法推廣到具有未知冪次的高階非線性系統的輸出反饋控制設計[34].此外,為驗證本文方法的實用性,將本文所提控制策略應用于實際系統[35]亦是我們未來研究的目標.