同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾系統(tǒng)全維和降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

吳 陽 張建成

在原控制系統(tǒng)存在未知輸入信號(hào)的條件下,基于原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并利用其已知輸入和可測(cè)輸出構(gòu)造出一個(gè)新的系統(tǒng),以此達(dá)到對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入估計(jì)的目的,這樣的新系統(tǒng)就稱為原系統(tǒng)的一個(gè)未知輸入觀測(cè)器(Unknown input observer,UIO)[1-4].未知輸入觀測(cè)器在工程中有著廣泛的應(yīng)用背景.例如,在機(jī)械工具的應(yīng)用中,工具施加的切割力作為系統(tǒng)的輸入很難測(cè)量,或者是即便可測(cè)但是測(cè)量的代價(jià)太高.如果把切割力作為機(jī)械工具系統(tǒng)的未知輸入,就可以構(gòu)建UIO 將系統(tǒng)狀態(tài)和該未知輸入同時(shí)估計(jì)出來[5].事實(shí)上,控制系統(tǒng)的執(zhí)行器故障,外部干擾以及在基于混沌同步的保密通信的信號(hào)接收端所需要還原的未知信號(hào)等都可以看作系統(tǒng)的未知輸入[6-10].因此,UIO 技術(shù)在故障檢測(cè)和重構(gòu),基于觀測(cè)器的魯棒控制以及保密通信等方面發(fā)揮著重要作用[11-12].幾十年來,一直是控制理論和工程學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題[12-18].

需要指出的是,經(jīng)典的UIO 技術(shù)主要針對(duì)不含測(cè)量干擾的系統(tǒng).誠然,一旦測(cè)量輸出受到不確定干擾的影響,其觀測(cè)器設(shè)計(jì)會(huì)變得異常困難.然而,對(duì)于許多實(shí)際系統(tǒng)來說,輸出通道中又往往不可避免地受到傳感器故障,測(cè)量噪聲等不確定干擾信號(hào)的影響.因此,對(duì)同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾系統(tǒng)研究如何消除輸出通道中的不確定干擾并進(jìn)而設(shè)計(jì)觀測(cè)器具有重要意義,并已經(jīng)受到眾多學(xué)者們的關(guān)注[19-23].例如,Dimassi 等[19]針對(duì)同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量噪聲的系統(tǒng)研究了自適應(yīng)滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題.Yang 等[20]利用滑模微分器技術(shù)解決了觀測(cè)器匹配條件不滿足時(shí)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題.Li 等[23]基于H∞理論討論了未知輸入和測(cè)量噪聲同時(shí)重構(gòu)問題.注意到,上述針對(duì)同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題的研究中大部分文獻(xiàn)都采用經(jīng)典的描述系統(tǒng)方法來消除測(cè)量干擾[21].該方法的思路是通過增維的思想將原系統(tǒng)狀態(tài)和測(cè)量干擾寫成一個(gè)新的狀態(tài)向量.這樣以來,原來的一般系統(tǒng)就可以寫成一個(gè)描述系統(tǒng),而基于新的狀態(tài)向量其輸出方程在形式上已經(jīng)不再包含干擾.進(jìn)而,可針對(duì)該描述系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)器設(shè)計(jì).該方法的優(yōu)點(diǎn)是思路簡單且在估計(jì)狀態(tài)的同時(shí)可以將測(cè)量干擾也估計(jì)出來.但是該方法在將一般系統(tǒng)寫成描述系統(tǒng)的同時(shí)一方面會(huì)增加系統(tǒng)維數(shù),進(jìn)而增加系統(tǒng)的復(fù)雜性,另一方面還可能會(huì)改變系統(tǒng)的干擾解耦條件.此外,基于該方法,系統(tǒng)干擾解耦條件只能基于描述系統(tǒng)的參數(shù)矩陣給出而不能基于原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣給出,這也會(huì)給觀測(cè)器設(shè)計(jì)條件的驗(yàn)證帶來一定的困難.

另一方面,相比于全維觀測(cè)器,降維觀測(cè)器由于只需要估計(jì)系統(tǒng)的部分狀態(tài),因而可以具有較低的維數(shù).這意味著,在工程中只需要使用較少的積分器就可以將全部的狀態(tài)估計(jì)出來,不但可以節(jié)約硬件成本,還可以在很大程度上降低系統(tǒng)的復(fù)雜性.然而,對(duì)于同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾的系統(tǒng),由于測(cè)量干擾的存在,經(jīng)典的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)變得極其困難.這是因?yàn)榻?jīng)典的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中一般包含兩個(gè)步驟:1)利用狀態(tài)變換將部分狀態(tài)信息從測(cè)量輸出中提前分離出來;2)利用測(cè)量輸出構(gòu)造動(dòng)態(tài)觀測(cè)器將剩余的狀態(tài)估計(jì)出來.因此,如果測(cè)量輸出中包含有未知的干擾信號(hào),經(jīng)典的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法中的步驟1)和步驟2)都將無法實(shí)施,也就無法設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器.因此,找到一種在不增加系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)和設(shè)計(jì)保守性的前提下同時(shí)能夠消除測(cè)量干擾的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法很有意義.

基于以上觀察,本文針對(duì)同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾的系統(tǒng)全維和降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題展開較為系統(tǒng)的研究.本文的主要貢獻(xiàn)和創(chuàng)新點(diǎn)體現(xiàn)在:1)利用待定系數(shù)法給出并證明了全維觀測(cè)器結(jié)構(gòu)和存在條件.該條件完全由原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣表示,易于驗(yàn)證.其中,對(duì)存在條件的分析和證明是本文難點(diǎn)所在.2)為消除測(cè)量干擾對(duì)降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)的影響,提出了構(gòu)造新的測(cè)量輸出的思路,使得新的測(cè)量輸出不再包含干擾信號(hào).與經(jīng)典的描述系統(tǒng)方法相比,該方法不需要增加系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù).3)證明了全維和降維觀測(cè)器存在條件的內(nèi)在統(tǒng)一性,即全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)所需要滿足的觀測(cè)器匹配條件和強(qiáng)可檢測(cè)條件在研究降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)所要討論的新的系統(tǒng)中都可以得到保持.因而,只要全維觀測(cè)器存在,降維觀測(cè)器也存在.

本文內(nèi)容安排如下:第1 節(jié)是問題描述和主要結(jié)論.第2 節(jié)給出仿真算例來驗(yàn)證方法的有效性.最后在第3 節(jié)給出結(jié)論.

1 問題描述與主要結(jié)論

1.1 問題描述

考慮一類同時(shí)具有未知輸入和測(cè)量干擾的不確定系統(tǒng)

其中,x∈Rn,u∈Rm,y∈Rp,ω∈Rq,η∈Rr分別為系統(tǒng)的狀態(tài),控制輸入,可測(cè)輸出,未知輸入和測(cè)量干擾向量.A,B,D,C,F分別為已知的常數(shù)矩陣.不失一般性,假設(shè)n＞p≥q+r且矩陣D,F滿秩.

本文將討論系統(tǒng)(1)的全維和降維觀測(cè)器存在條件和設(shè)計(jì)方法.在第1.2 節(jié)首先通過對(duì)全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)的分析得出其存在條件.在第1.3 節(jié)將證明在全維觀測(cè)器的存在條件下,也能設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的降維觀測(cè)器.

1.2 全維觀測(cè)器

本節(jié)來討論全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì).構(gòu)造具有如下形式的全維觀測(cè)器

其中,z(t)為觀測(cè)器狀態(tài),為x的估計(jì).N,G,H和E為待定的常數(shù)矩陣.令e(t)=x(t)－為狀態(tài)估計(jì)誤差,則有

其中,In表示n維的單位矩陣.計(jì)算e(t)的動(dòng)態(tài)方程可得

因此,若要e(t)→0,t→∞,須有

且矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定陣.

顯然,若先能確定E,K,那么根據(jù)矩陣方程(4)～(9),我們還能確定矩陣H,G和N.下面,給出能保證式(4)～(9)成立和矩陣N可穩(wěn)的條件以及相應(yīng)的引理.

假設(shè) 1.系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣滿足觀測(cè)器匹配條件,即

引理 1.假設(shè)1 成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣K和E使得式(6)～(8)成立.

證明.矩陣方程(6)～(8)可重寫為

因此,存在K和E使得式(11)成立的條件是

而

根據(jù)式(12)和式(13)可直接得出引理的結(jié)論. □

為了保證矩陣N可穩(wěn),給出假設(shè)2 和相應(yīng)的結(jié)論引理2.

假設(shè) 2.系統(tǒng)(1)的系統(tǒng)矩陣滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件,即對(duì)于所有具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s都有

引理 2.系統(tǒng)(1)滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件,則存在矩陣K和E使得矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定.

證明.注意到

其中,矩陣K和E滿足式(11).記

則由式(11)得矩陣K和E為

其中,Σ?為矩陣 Σ 的廣義逆矩陣,滿足 ΣΣ?Σ=Σ,Z為具有適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣.將式(15)代入到式(14),得

其中

為常數(shù)矩陣.因此,為了證明N可穩(wěn)定,只需要證明 (Π1,Π2)可檢測(cè).

事實(shí)上,對(duì)于任意具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s,都有

另一方面,

由式(16)和式(17)并結(jié)合假設(shè)1 知,對(duì)于所有具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s都有

即 (Π1,Π2)可檢測(cè). □

注 1.系統(tǒng)(1)滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件[1],即對(duì)于任意初值x(0)和任意控制輸入u(t)都有y(t)≡0?x(t)→0,t→∞.該條件能夠保證觀測(cè)器誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

由引理1 和引理2 可知,當(dāng)系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1 和假設(shè)2 時(shí),全維觀測(cè)器(2)存在,由此我們給出定理1.

定理 1.基于假設(shè)1 和假設(shè)2,存在增益矩陣K,E,G,H和Hurwitz 穩(wěn)定矩陣N滿足式(4)～(9),則系統(tǒng)(2)為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全維觀測(cè)器,且→x(t),t→∞.

證明.由引理1 和引理2 立即可得到本定理的結(jié)論. □

我們將全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟總結(jié)為算法1.

注 2.在全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中,我們不光要將未知輸入ω(t)和測(cè)量干擾η(t)解耦(即保證式(5)～(8)成立),還要保證解耦完成以后誤差系統(tǒng)極點(diǎn)的可配置性(即矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定).如何分析得到假設(shè)1 和假設(shè)2,并證明假設(shè)1 和假設(shè)2 如何保證上述性質(zhì)是全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)過程中的難點(diǎn)所在.

注 3.本小節(jié)討論了全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法和存在條件.在下一小節(jié)討論降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)將證明在全維觀測(cè)器存在條件下我們也可以設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的降維觀測(cè)器.

1.3 降維觀測(cè)器

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì).為了突破測(cè)量干擾信號(hào)對(duì)經(jīng)典的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的限制,本小節(jié)通過構(gòu)造新的測(cè)量輸出提出一種新的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.

根據(jù)矩陣的廣義逆理論,將系統(tǒng)(1)的輸出方程左右兩邊同時(shí)左乘矩陣Ip－FF-,得

注 4.在系統(tǒng)(19)中構(gòu)造了一個(gè)新的輸出(18)來代替原系統(tǒng)的輸出,以此消除了原系統(tǒng)輸出通道中測(cè)量干擾的影響.對(duì)于系統(tǒng)(19),已經(jīng)證明只要其滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件,即對(duì)于任意具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s

和觀測(cè)器匹配條件

則不難對(duì)其設(shè)計(jì)一個(gè)降維觀測(cè)器[1-2,5].因此,下面將證明在假設(shè)1 和假設(shè)2 成立的條件下,新系統(tǒng)(19)也同時(shí)滿足式(20)和式(21).

引理 3.假設(shè)1 成立,當(dāng)且僅當(dāng)=rank(D).

證明.根據(jù)假設(shè)1 可知

引理 4.假設(shè)2 成立,當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(19)滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件,即對(duì)于任意具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s,都有

證明.由假設(shè)2 知,對(duì)于任意具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s有

這意味著對(duì)于任意具有非負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)s都有

基于引理3 和引理4 的結(jié)論可得到引理5.

引理 5[5].系統(tǒng)(19)同時(shí)滿足強(qiáng)可檢測(cè)條件和觀測(cè)器匹配條件,則存在可逆矩陣T和S,使得

證明.由 rank(D)=q知

下面給出定理2.

定理 2.基于引理1 和引理2,取增益矩陣L使得矩陣為Hurwitz 穩(wěn)定,則系統(tǒng)

我們將降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟總結(jié)為算法2.

注 5.本小節(jié)研究了系統(tǒng)(1)的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì),其創(chuàng)新點(diǎn)和難點(diǎn)體現(xiàn)在:1)構(gòu)造了新的不含測(cè)量干擾的輸出.并基于該輸出實(shí)現(xiàn)了觀測(cè)器的實(shí)質(zhì)性“降維”.2)證明了原系統(tǒng)(1)滿足的觀測(cè)器匹配條件和強(qiáng)可檢測(cè)條件在由新的輸出構(gòu)成的新系統(tǒng)(19)中都可以得到保持.

注 6.本文在全維和降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中采用干擾解耦的方式來處理未知輸入ω(t)和測(cè)量干擾η(t).因此,只要干擾解耦條件(觀測(cè)器匹配條件)(10)成立,無論ω(t)和η(t)為何種類型的干擾,其影響都可以在觀測(cè)器中得到完全消除.

注 7.注意到文獻(xiàn)[20]和[23]也研究了同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[23]討論了H∞觀測(cè)器.該觀測(cè)器存在條件較弱,但它僅能實(shí)現(xiàn)H∞意義下的狀態(tài)估計(jì),并不能實(shí)現(xiàn)漸近估計(jì).文獻(xiàn)[20]針對(duì)該系統(tǒng)提出了一種新的解決方案,弱化了觀測(cè)器匹配條件.但是該方案必須使用測(cè)量輸出的一階甚至高階微分信號(hào),因此容易受到測(cè)量噪聲的影響.而本文提出的方法只需要使用測(cè)量輸出本身而不必使用其高階微分信號(hào).在仿真部分將進(jìn)一步說明這一點(diǎn).

2 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個(gè)數(shù)值例子,并用其驗(yàn)證方法的有效性.考慮系統(tǒng)(1)且其系統(tǒng)參數(shù)為

其中,未知輸入ω(t)=5.2 sin(3.8t),測(cè)量干擾η(t)=3.5 cos(4.7t).由于控制輸入u(t)為已知的,它不影響系統(tǒng)的能觀性.因此不妨假設(shè)u(t)=0.

2.1 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

容易驗(yàn)證該系統(tǒng)滿足觀測(cè)器匹配條件(假設(shè)1)和強(qiáng)可檢測(cè)條件(假設(shè)2),故根據(jù)定理1 和定理2,我們一定可以設(shè)計(jì)全維和降維觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的重構(gòu).

首先,求得矩陣

進(jìn)而求得矩陣 Π1和 Π2.然后,選取增益矩陣

使得矩陣N的特征值為 {－1,－6.125,－2.4}.此時(shí)可求得全維觀測(cè)器的系數(shù)矩陣

為驗(yàn)證該觀測(cè)器的有效性,假設(shè)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)初值為x(0)=[－1－2 0]T,觀測(cè)器初值為z(0)=[1 1 2]T.圖1 給出了原系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)曲線.可以看出,本文設(shè)計(jì)的全維觀測(cè)器很好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)的漸近估計(jì).

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(jì)(全維觀測(cè)器)Fig.1 Actual states and their estimations(full-order observer)

2.2 降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

求得矩陣 的一個(gè)廣義逆矩陣F-=[0 1],而后構(gòu)造一個(gè)新的測(cè)量輸出=(Ip－FF-)y(t)及分布矩陣

容易驗(yàn)證,在原系統(tǒng)滿足觀測(cè)器匹配條件和強(qiáng)可檢測(cè)條件下,新系統(tǒng)也滿足觀測(cè)器匹配條件和強(qiáng)可檢測(cè)條件.根據(jù)引理5 的算法,求得狀態(tài)變換矩陣S=I2和

并進(jìn)而求得降維觀測(cè)器(24)和(25)的參數(shù)矩陣

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(jì)(降維觀測(cè)器)Fig.2 Actual states and their estimations(reduced-order observer)

圖3 方波形未知輸入信號(hào)Fig.3 Square wave unknown input signal

圖4 鋸齒形測(cè)量干擾信號(hào)Fig.4 Sawtooth measurement disturbance signal

圖5 方波和鋸齒干擾信號(hào)下的狀態(tài)估計(jì)Fig.5 State estimations under square wave and sawtooth disturbance signals

此外,為了對(duì)比本文方法與文獻(xiàn)[20]方法的估計(jì)效果,假設(shè)測(cè)量輸出受到如圖6(a),圖7(a),圖8(a)所示的噪聲信號(hào)的影響.圖6(b),圖7(b),圖8(b)分別展示了在3 種不同幅值噪聲信號(hào)下利用文獻(xiàn)[20]得到的狀態(tài)估計(jì),而圖6(c),圖7(c),圖8(c)為3 種噪聲信號(hào)下對(duì)應(yīng)的由本文降維觀測(cè)器得到的狀態(tài)估計(jì).可以發(fā)現(xiàn),隨著隨機(jī)噪聲幅值的增大,文獻(xiàn)[20]的估計(jì)效果逐漸下降,而本文方法始終可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)的漸近估計(jì).

圖6 在受到噪聲信號(hào)1 影響下的狀態(tài)估計(jì)Fig.6 State estimations under the influence of noise signal (Type l)

圖7 在受到噪聲信號(hào)2 影響下的狀態(tài)估計(jì)Fig.7 State estimations under the influence of noise signal (Type 2)

圖8 在受到噪聲信號(hào)3 影響下的狀態(tài)估計(jì)Fig.8 State estimations under the influence of noise signal (Type 3)

3 結(jié)束語

本文針對(duì)同時(shí)含有未知輸入和測(cè)量干擾的系統(tǒng)研究了全維和降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題.我們給出了全維觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)并利用待定系數(shù)法分析得到了全維觀測(cè)器的存在條件.為了消除輸出通道中的不確定干擾對(duì)降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)的影響,本文構(gòu)造了新的不包含干擾的測(cè)量輸出.并且證明了全維觀測(cè)器的存在條件和降維觀測(cè)器存在條件內(nèi)在的統(tǒng)一性.但該方法要求強(qiáng)可檢測(cè)條件和觀測(cè)器匹配條件同時(shí)滿足,相對(duì)苛刻.如何弱化強(qiáng)可檢測(cè)條件和觀測(cè)器匹配條件來設(shè)計(jì)觀測(cè)器是我們下一步要討論的課題.