無差異曲線視角下線上教學與線下教學引發的啟示與思考
——以中學數學為例

吳梓俊 熊海金 黎燕琪 覃麗英 楊立英

南寧師范大學數學與統計學院，廣西 南寧 530100

引言

自進入21世紀以來，信息化的時代浪潮對教育產生了不斷的沖擊，逐漸涌現出各種新的教育理念、教育要求、教學方法等。一場突如其來的疫情，使得線上教學的地位急劇提升，正式進入了大眾的視野。線上教學是對傳統教學沖擊較大的一種新興教學模式，探討思考線上教學與線下教學存在的問題，不僅是《中國教育現代化2035》的要求，同時也是對我國教育的一次推進。

一、文獻綜述

（一）國內相關研究

如圖1 所示近幾年，我國對線上教學和線下教學的研究文獻逐漸增加，從2017 年、2018 年僅有1 篇，2019年僅有2 篇，到2020 年激增至26 篇，2021 年到目前為止共有23 篇。

如圖2 所示，在核心期刊發表的與線上教學相關的研究文獻在2020 年激增至68 篇，張江慧基于SPOC 模式研究了線上教學與線下教學互動機制在漢語言文學中的應用，認為其在教學中有很強的可執行性與可操作性。王秀巧、張智慧等學者指出線上教學充分填補了傳統的C 語言教學中學生實踐經驗的空白，調動了學生的積極性，轉變了以教師講授為主要方式的枯燥冗長的教學方式。李波認為線上和線下的雙師教學已成為一種有效的教學模式。潘莉、唐徐韻、彭科志、楊孝芳等人指出線上教學+線下自我實踐的混合教學模式，取得了良好的效果。肇慧、范廣慧、張宏蕃、王曉丹等人認為當下教師的責任中，更大一部分應該是在線下引導學生運用所學的知識去解決知識，以此實現教學最優化和學生學習收益最大化。孫世娟以教育生態學為基礎，探索研究了“線上+線下”英語課程教學的新模式及其可操作性。李娜通過實驗對比研究了線上教學與線下教學的學習效果。

（二）國外相關研究

2008 年加拿大學者戴夫·科米爾（Dave cormier）與布萊恩·亞歷山大（Bryan Alexander）提出大規模開放在線課程（MOOC），其身具開放、大規模、及時性等諸多特點，在當時受到廣泛的關注和推崇。

2013 年加州教師?？怂菇淌谔岢鲂∫幠Ｏ拗菩栽诰€課程（SPOC），旨在實現MOOC 與傳統課堂教學有機融合，以彌補MOOC 因其“大規模、無限制”的特點產生的缺陷。

Andreas等從概念、發展歷史和分類等角度對MOOC 和SPOC 進行了分析對比，從學生和教師的兩個維度討論并提出了相應的教學框架，總結了遠程教育的優點。

二、概念界定

（一）線上教學及線下教學的定義

丁興富認為遠程教學可以分為廣義和狹義兩種，廣義的遠程教學指的是基于網絡教學資源或是視頻實時互動的教學方式，狹義的遠程教學則可以理解為線上的機構教學。顧麗愛認為線上教學是以網絡作為教學載體，教學活動發生在網上的一種教學方式。

基于上述學者對于遠程教學和線上教學的定義和理解，本文認為遠程教學在當下可以等同于線上教學?；谧髡叩恼J知和學者們的研究，本文給出線上教學的概括性定義：線上教學指的是一種基于互聯網，以電子設備、各類在線教育平臺及APP 為主要途徑的，擺脫了時間和空間限制的一種教學方式。

由于線上教學的出現，傳統教學正式有了“線下教學”之稱。本文所認為的線下教學指的是學生、教師在固定時間集中在固定地點進行面對面授課的一種教學方式，其包括但不限于運用多媒體、多功能教室等教學手段進行授課的形式。

（二）常態偏好的無差異曲線的定義

無差異曲線是微觀經濟學下的消費者理論中用以表示消費者對兩種商品偏好的一種幾何模型。無差異曲線有無數條，均向右下方傾斜且任意兩條無差異曲線均不會相交。無差異曲線共有三種狀態：完全替代品、完全互補品以及常態偏好。

如圖3所示，若兩種商品為完全替代品，則無差別曲線為一條直線段，表示兩者之間只有替代性，沒有互補性。

例如對于某品牌的玻璃杯A，假設消費者僅需要一個玻璃杯，則若購買玻璃杯A勢必導致不購買玻璃杯B，故二者之間呈下降的直線段。

如圖4所示，若兩商品為完全互補品，則無差別曲線呈“L”型。例如對于鞋子，必須成對才有意義，此時的左腳鞋和右腳鞋為完全互補品，任何一方的單獨增加都沒有意義，不會對另外一方的數量造成任何影響，故此時的無差異曲線呈“L”型。

如圖5 所示，常態偏好下的無差別曲線介于完全替代品和完全互補品兩種狀態之間。

其表示兩種商品之間既具有一定的替代性，也具有一定的互補性。從圖像中可以清楚地觀察到：無差異曲線越陡峭，兩種商品間的互補性越強；無差異曲線越平緩，兩種商品間的替代性越強。

對于本文所討論的線上教學與線下教學，顯而易見其不僅具有一定的替代性，而且具有一定的互補性，故以常態偏好下的無差異曲線對線上教學與線下教學進行討論是具有合理性的。

三、常態偏好無差異曲線對線上教學與線下教學的啟迪與思考

疫情讓線上教學展示出了它獨有的、區別于傳統線下教學的靈活性、普及性等優點，不可避免地成為當下主流的教學方式之一。線上教學和線下教學如同兩種“商品”，它們之間不僅具有替代性而且具有互補性。結合當今社會信息化發展的特點，“線上+線下”的教學方式已經是歷史的必然選擇。

無差異曲線無限趨近于兩坐標軸卻永不相交的圖像特點（即線上教學和線下教學都不會消失），恰好印證了線上教學與線下教學之間相輔相成、密不可分、相互成就的既替代又互補的關系，接下來就兩者的替代性和互補性兩個方面展開本文的討論與思考。

（一）無差異曲線下線上教學與線下教學的替代性關系

線上教學和線下教學的替代性關系呈現為：在保證既定教學效果的前提下，當一方因故出現增加（或減少）時，另一方會出現相對應的減少（或增加）。以下本文將討論三種情況下二者的替代性關系。

1.線下教學比例＞線上教學比例時的替代性分析

此種情形亦可理解為當下的中學數學教學的情況。如圖6 所示為某一既定教學效果下，線上教學與線下教學的無差異曲線。在曲線上取一點，其意義為：以的線下教學和的線上教學可以達到該既定的教學效果。

此時若由于某種原因，線上教學必須減少，為達到既定的教學效果，則需要增加線下教學，這一過程在無差異曲線中反映為→的變化過程。通過圖像可以明顯發現，在這一過程中△=-要大于△=-，即需要較大程度地增加線下教學的比例以替代較少減少了的線上教學。這一現象的產生，是由于線下教學居多的教學方式，在長期的教學過程中逐漸暴露出一些缺陷：學生對于年復一年的線下教學產生疲憊、有限的課堂時間難以實現對學生和各個教學內容的針對性突破以及固定的教學地點、手段等對學生的吸引力大大降低等方面問題。因此，線下教學只能通過較大的“量”的增多，來達到線上教學較少的“量”的減少。

若此時由于某種原因，線下教學必須減少，為達到既定的教學效果，則需要增加線上教學，這一過程可以反映為無差異曲線上→的變化過程。經由圖像，發現在變化過程中要△=-＜△=-，即只需要較小的程度的增加線上教學的比例，即可達到替代較大程度減少的線下教學的效果。導致這一現象產生的原因，是當下線下教學比例居多，使得線下教學缺陷的暴露逐漸突出和明顯。而線上教學有其獨特的四點優勢：一是線上教學的普及面廣，對于同一個教學內容，不限制學習的人數、學段、時間，且可以重復學習；二是線上教學的性價比高，通過較少的花費和資源就可以實現大范圍的優質教學；三是針對性強，能夠對上課無法過多強調的知識點和教學內容做出針對性的補充和強化訓練；四是能夠最大程度發揮教師的主導地位，展現教師的啟發和引導作用，充分發揮學生的主體性和創新性。正是這樣一些順應時代的特點，使其能較好地達到既定的教學效果。同時“物以稀為貴”，學生、教師、學校以及社會對于教學方式的求變渴望，也大大提升了線上教學的價值和效果。

對比兩種情況不難得到一些啟示與思考：在眼下的中學數學教學中，雖然傳統的線下教學方式仍居于主導地位，但線上教學以其諸多順應時代潮流的先天性優勢，已不可避免地躋身進主流的教學方式當中。根據常態偏好無差異曲線的指導，在當下以線下教學為主導的中學數學教學中，只需要少量地引入線上教學，即可在保證既定教學效果的情況下，大大減緩線下教學的壓力。

2.線下教學比例＜線上教學比例時的替代性分析

此情形亦可理解為疫情期間的中學數學教學。若此時由于某種原因，需要在維持既定教學效果的情況下，減少線上教學，此時就必須通過增加線下教學來實現。如圖7 所示，對應為無差別曲線上→的變化過程。經由圖像可以得到，在這一過程中△=-，要大于△=-，即較大程度減少的線上教學只需要較小程度地增加線下教學，即可達到既定的教學效果。在疫情得到有效控制后，這一現象發生得極為普遍。究其原因，是由于線下教學雖然傳統但也有其無可取代的幾個優越性：一是教師能切實有效地做到對學生和課堂進度的實時監控，能夠充分地保障學生的課堂學習效率和課程的教學進度；二是線下教學給予學生更多實踐操作的可能性和空間，教師能夠及時對學生的實踐予以指導，強化學生將“所學”轉化為“所用”的能力；三是教師能及時地接收到學生的反饋，并做出相對應的調控和回應；四是契合了當下強調的“學生中心”，把網絡從教師的“工具”真正轉變成學生的“學具”。故此會出現→的一種變化情況。

此時若由于某種原因，需要在維持既定教學效果的情況下，減少線下教學的比例，則必須增加線上教學的比例，亦可理解為疫情出現反彈時，中學數學的教學情況。如圖7 所示，對應→的過程，從曲線上可以明顯觀察到△=-要小于△=-，即較小程度減少的線下教學需要較大程度地增加線上教學，才能達到既定的教學效果。究其原因，是因為大量或長期的線上教學也具有其不可避免的缺陷：一是線上數學教學難以做到對學生的及時監督和監管。教師和學生地域不同，若不是實時視頻教學，甚至時間也不同，很難做到切實有效的管理，這時對于自控能力較差的學生就可能出現線上教學的效果大打折扣的情況；二是線上數學教學失去了傳統線下教學中很重要的一個環節：教師的教學“靈感”。數學課堂上師生間的交流、思想的碰撞，不僅讓學生，更是讓教師會經常迸發出新的靈感。這不僅體現了“教學相長”的教學原理，更是說明了數學就是在一次次的靈感迸發中不斷前進的；三是線上教學的課堂活動多為控制型活動，大部分以教師為主導，學生的實踐和操作程度大大降低，從而使得教學效果出現弱化的情況。因而會出現無差異曲線上→的一個變化情形。

3.線下教學比例≈線上教學比例時的替代性分析

當線上教學和線下教學基本持平時，即如圖8 中點附近的位置，

此時可以明顯地發現，點處于三種狀態下無差異曲線的相切位置。即表示在點的附近線上教學和線下教學可近似看成一組“完全替代品”亦或是“完全互補品”。其代表線上教學和線下教學在此種狀態下既互相替代又互相彌補，線上教學和線下教學實現了有機融合，達到一種“調和”。此時的線上教學和線下教學就有了充足的“彈性”，一方的增加或減少，只需要另一方相同程度的增加和減少即可重新達到“平衡”（達到既定的教學效果），為整個教學留下了充分的調整空間，可以有效地應對突發情況，如疫情的反彈和新一輪疫情的暴發等。

（二）無差異曲線下線上教學與線下教學的互補性關系

線上教學與線下教學的互補性關呈現為：任意一方教學效果的增加，即可使得總的教學效果增加。

無差異曲線是一族互相平行的曲線，其越靠近右上方，表示商品交換的滿意程度越高。而對應于此，教學效果無差異曲線越趨向于右上方，表示教學效果越好。即如圖9所示，曲線2的教學效果要優于曲線1。

根據無差異曲線的指引，從圖9 我們可以很清晰地得出將曲線1 提升至曲線2 的兩種方法：一是使得點移動到點，二則是使得點移動到點。

對于第一種方法，觀察無差異曲線上→的過程，線下教學的教學效果維持不變，而線上教學需要從提升至。因此第一種方法為提升線上教學的教學質量。

對于第二種方法，觀察無差異曲線上→的過程，線上教學的教學效果維持不變，而線下教學需要從提升至。因此第二種方法為提升線下教學的教學質量。

四、措施及途徑

基于上述對線上教學和線下教學替代性與互補性的分析，本文將從下述兩個方面提出當下提高中學數學教學效果的路徑。

（一）中學數學線下教學效果提升的實現路徑

中學數學課堂隨著多年的教學，基本形式已經穩定，若要提升其教學效果，應將注意力集中在“新事物”、“新概念”與中學數學課堂的融合上。

一是重視數學史與數學文化融入數學課堂，提高學生的學習興趣。既要鼓勵支持中學數學教師在教學中嘗試數學史與數學文化的融入，更要切實做到提高中學數學教師的數學文化素養和數學文化的應用意識。

二是強化中學數學教師使用多媒體、幾何畫板等軟件輔助教學的意識，提高數學教師使用現代化教學手段的能力，用形象化、具體化的方式呈現給學生。

三是提高中學數學教師的素質，亦可認為是提高教學效果最根本的方式。對中學數學教師進行定期培訓，組織中學數學教師定期進行反思討論，以改進其教學的方式、方法，革新舊觀念。

（二）中學數學線上教學效果提升的實現路徑

要想提升線上教學的教學效果，最重要的是要正視線上教學在當下中學數學教學中的地位。線上教學不是疫情的“衍生物”，而是順應時代發展必定會出現的“新事物”。疫情僅僅只是相當于一種催化劑，加速了線上教學進入中學數學的進程。

擺正了線上教學的地位之后，應有針對性地突破本文提及的線上教學所面臨的困難，本文從下述四個方面提出實現的路徑。

一是加強線上教學的管理。主要分為兩個方面：完善教學質量的管理和加強對教師的管理。教學質量直接與教學效果掛鉤，因此要做好對教學過程、學生的學習和反饋，以及整體教學質量的監控評價。教師的管理關系到線上教學的實施，建議成立專門的監管組，由一位專家領導組織，建立聯系方式，主要負責教師間的討論分享、軟件操作、線上技能的培訓、教師意見的收集反饋和解決教師的問題，等等。

二是確保線上教學內容的合理性。線上教學也需要教師進行備課，且往往需要做出不同于以往線下教學的備課內容。故在線上教學實施之前，教師應充分考慮學生需求，以學生為中心，確定好教學目標。同時對于教學內容也要作出相應的調整，線上教學應保證“自學+講授”的形式，不能整節課由學生自學，也不能整節課都是教師“滿堂灌”。

三是合理規劃、使用、調配各類線上資源，并及時豐富更新線上資源。線上教學最大的優勢就在于教學資源來源的廣泛性和多樣性，有各類的線上圖書館、視頻、教學案例、課件和教案，等等。我們應充分利用這一優勢，發展多種方式的線上教學，選取實用、易學的教學資源。同時，線上教學最忌“閉門造車”，應博采眾長，重視多校交流協作，共同進步。

四是做好線上教學的評價工作。無論是教學內容、教學效果還是課程、教學硬件等各個方面都要做好評價工作，做到“全方面評價”。上至學校領導，下至教師、學生、普通員工都要參與評價，同時也都需要被評價，做到“全員評價”。抓住“兩個全面”，完善線上教學的教學評價體系，以評促改，以改提效，實現線上教學效果的切實提升。

五、結語

經由無差異曲線的啟示，我們發現“線上+線下”有其獨到的優勢和科學的可行性。“線上+線下”的教學模式在未來必將成為中學數學教學的主流趨勢，因此對于中學數學的線上教學需要投入更多的研究精力和加大監管力度，以期更好地實現線上教學和線下教學在中學數學教學中的完美融合。