基于SQP的小尺寸大承載隔振彈簧優化設計

劉宇航，圣小珍，祁孟盂，肖新標

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031）

1 引言

彈簧廣泛應用于各類緩沖和減振結構，種類繁多，其中圓柱螺旋彈簧又因剛度穩定、承載力強、工藝成熟、壽命較長等優點，一直以來在各工程領域都發揮著重要作用。彈簧隔振器中，圓柱螺旋彈簧隔振器受到了較多的應用，其中隔振彈簧一般由一組或多組單彈簧構成，具有固有頻率低、承載能力高、環境適應強等特點；鐵路車輛中，轉向架的一系懸掛部件由圓柱螺旋彈簧組成，關系到機車平穩性、安全性，決定著轉向架垂向動力學性能。

隨著空間和承載要求的提高，一系懸掛部件不斷被優化，高速動車組中更是采用了內外組合彈簧的形式，以提升相同空間下彈簧的承載率。

螺旋彈簧隔振器在面對空間限制較嚴，承載要求較大的情況時，不僅要保證穩定的剛度性能，還需具有足夠的承載大小，因此要進行系統的優化設計以滿足指標要求。為了提高承載性能，借鑒高速動車組一系懸掛的特征結構，確定了用內外組合彈簧的形式來替代傳統單彈簧，并在此基礎上完成隔振彈簧排布和參數的優化設計。

螺旋彈簧雖然結構簡單，計算方法和制作工藝成熟，但設計時涉及變量較多，各變量之間又會相互影響。傳統的設計方法在經過反復嘗試和驗算后雖然能滿足一般使用要求，但難以在指標要求范圍內尋得最優方案。而利用優化算法進行彈簧的優化設計既可減少設計階段的工作量，更能得到滿足指標要求的最優方案，因此得到了較多研究和開發。為了減少外界不確定因素對彈簧自身性能的影響，降低相關參數變化對可靠性的靈敏度，提高彈簧的穩健性，許多研究便是以可靠性和穩健性為目標，進行彈簧的優化設計［1-3］。彈簧質量會影響減振效果以及整體性能，因此滿足基本指標的基礎上，以減輕質量為目標的優化設計也做了較多研究［4-5］。而當面對優化項較多時，只以其中某個參數為目標還不能達到設計指標的全局優化，因此需進行多目標優化設計的研究［6-8］，以得到滿意的方案。盡管關于彈簧優化設計的不同目標和各種算法都有較多研究和使用，但針對隔振彈簧以提高承載為目標的優化設計還相對較少。并且在眾多優化算法中，序列二次規劃法（Sequence Quadratic Program，簡稱SQP）是處理中小規模非線性規劃問題最優算法之一［9］，十分適用于隔振彈簧的優化設計。

根據某泵類隔振器的工作需求，針對小尺寸、大承載的具體特征，為了設計出滿足指標要求的隔振彈簧，首先確定了能有效利用空間的內外組合彈簧的基本形式；然后基于SQP算法，探究滿足剛度指標，符合彈簧設計標準的最優排布；最后以承載性能為優化目標，對彈簧的參數進行優化設計，得到滿足指標要求的小尺寸、大承載隔振彈簧設計方案。

2 彈簧設計及SQP原理

2.1 單彈簧的設計流程

圓柱螺旋壓縮彈簧的傳統設計方法已十分成熟，基本設計流程明確。通常已知彈簧的工作載荷和工作變形范圍，根據載荷類型和大小選取彈簧制作材料，得到對應的許用切應力［τ］。再由最大工作載荷F，計算出滿足使用要求的線徑d。然后初步選取旋繞比C，確定彈簧中徑D。依據剛度設計指標，計算出有效圈數n。如此便得到了彈簧的三個關鍵參數：彈簧線徑d、彈簧中徑D、有效圈數n。彈簧的兩端有一定的支承圈數m，一般在設計和制造中根據需要取（1.5～2），有效圈數和支承圈數相加可得到總圈數n1。由總圈數便可計算出彈簧節距t和彈簧自由高度H0。到此便得到了彈簧制造中所需的基本參數。

為了方便彈簧的加工制造以及保證在使用過程中具有穩定的性能，還需對彈簧的各項特性進行一一校核。首先便是壓并特性的校核，壓并高度Hb需小于彈簧在最大工作載荷下的壓縮高度，以避免彈簧在工作時簧圈發生互相接觸，并且彈簧的壓并應力τb需保證小于許用應力［τ］，這是由于在彈簧制造過程中需要通過壓并來消除殘余應力，以減輕蠕變現象，而如果壓并應力過大則會帶來制造工藝上的困難；其次是穩定特性的校核，為了保證彈簧在壓縮過程中不發生失穩現象，需校核彈簧高徑比b是否在允許范圍之內；最后是共振特性的校核，因為彈簧自身具有一定的質量，所以存在自振頻率fe，需校核彈簧設計是否避開了外界干擾頻率，以防共振現象的發生。為了方便說明，將以上彈簧設計和校核中涉及的相關參數及公式匯總，如表1所示。

表1 彈簧設計和校核公式Tab.1 Spring Design and Checking Formula

表中：K—曲度系數，取值大小由旋繞比C影響；

G—材料的剪切模量取78.5GPa；

ρ—材料密度取7850kg∕m3。

2.2 組合彈簧的設計準則

為了提升相同空間下彈簧的承載率，將以內外組合彈簧的形式替代傳統單彈簧。單彈簧的最大承載由表1中的公式可知，而對應組合彈簧的最大承載如下：

當旋繞比C=4時，可由式（2）得到相同空間下的組合彈簧最大承載F′與單彈簧最大承載F之比為：

可見此時組合彈簧相較于單彈簧，最大工作承載為其1.25倍，因此以組合彈簧的基本形式進行優化設計，可以有效提升承載性能。

組合彈簧由內外兩個單彈簧構成，其基本設計原理和校核準則與單彈簧相同，但內外單彈簧間需遵守如下準則［10］：

（1）內外單彈簧的受壓強度應接近，需大致滿足以下關系：

（2）內外單彈簧的自由高度和受壓變形量應相同，且都應在安全變形范圍之內。

（3）內外單彈簧間的間隙δ需滿足：

（4）內外單彈簧需保證同心且旋向相反，端部支承結構需防止彈簧在工作中偏移。

由彈簧的基本設計原理可知，不管是單彈簧還是組合彈簧，傳統的設計流程里都需要選取多個旋繞比值C，以及暫定自由高度H0，并對設計結果進行多方面的校核，如若不滿足要求則需對初始參數進行重新選取計算，直到得出滿意的結果。而當以組合彈簧的基本形式，面對承載要求較高，尺寸限制較嚴的情況時，更加大了設計難度和計算量，并且由于限制條件較多，難以得到最優的彈簧方案，因此選擇科學合理的算法對隔振彈簧進行系統的優化設計十分必要。

2.3 序列二次規劃（SQP）算法原理

序列二次規劃（SQP）算法最初由Wilson 于1963 年提出［11］，至今為止，經過國內外學者不斷補充和完善，已發展到了相當成熟的階段。SQP算法對約束優化問題進行計算時，首先在每個迭代點構造一個二次規劃子問題，然后將該子問題的解作為迭代搜索的方向，最后沿該搜索方的方向進行一維搜索，直到逼近約束優化問題的解［12］。因此該算法在解決非線性約束優化問題具有收斂速度快，計算效率高等優點。

一般的非線性約束優化問題可以表達為：

式中：X—優化變量；f（X）—目標函數；gu（X）、hv（X）—不等式約束條件和等式約束條件。

在給定點Xk后，將約束條件轉化成線性函數，并對拉格朗日（Lagrange）進行二次多項式近似，為了保證其解為可行點，再令S=X-Xk，得到如下關于變量S形式的二次規劃子問題：

求解此二次規劃問題，將其最優解S*作為原問題的下一個搜索方向Sk，并在該方向上進行原約束問題目標函數的約束一維搜索，即可得到原約束問題的一個近似解Xk+1，反復迭代該過程，直至求得最優解。

因此，相較于隔振彈簧的傳統設計方法，基于SQP的優化設計便捷高效，可避免設計流程中的反復嘗試、驗證，大大減小工作量的同時，還能依據合理的約束條件和優化目標得到最優的隔振彈簧設計方案。

3 隔振彈簧排布的優化設計

3.1 隔振彈簧的設計要求

在分析探究前，需對隔振器的設計要求作充分了解，確保在滿足指標參數的基礎上展開隔振彈簧的優化設計。某泵類設備隔振器的設計指標，如表2所示。

由表2可知，設計出來的所有的隔振彈簧均需限制在（400×400×400）mm的空間之內，承載要求高達45t，屬于彈簧尺寸受到嚴格限制的大承載設計。隔振彈簧不僅承受泵類設備自身靜載荷，還要受到工作時的循環動載，因此產生疲勞損傷。若以提高承載性能為優化目標，則能有效降低彈簧動應力水平，減緩疲勞作用的損害，延長隔振器使用壽命。

表2 隔振器設計指標Tab.2 Design Indicators of Vibration Isolator

由表1的計算公式可知彈簧承載性能受到許用切應力［τ］的直接影響，選擇合適的［τ］值是優化設計的基礎。鐵路車輛中的懸掛彈簧也同樣受到持續動載的作用，參照TB∕T 2211-2010《機車車輛懸掛裝置鋼制螺旋彈簧》中的疲勞強度要求：在特定動載系數下要保證彈簧具有不低于300萬次的循環加載壽命。并且鐵路懸掛彈簧在設計時一般取［τ］=740MPa。依據彈簧設計規范［12］，對于大線徑的熱成型彈簧，動載荷下的許用切應力［τ］范圍為（426～712）MPa，具體取值由所選材料決定，本次設計中選擇疲勞強度較高的彈簧鋼材料60Si2CrVA，可取［τ］=710MPa，對照鐵路懸掛彈簧的疲勞標準和設計要求，可認為該值是考慮了隔振器在動載作用下疲勞壽命的合理取值。

為了降低動應力水平，提高疲勞壽命，整體承載性能不僅要達到指標要求，還需盡可能的進行優化提升。而確定一種能有效利用空間的排布形式是提高承載性能的關鍵，因此對隔振彈簧參數進行優化前，首先應進行隔振彈簧排布的優化設計。

3.2 不同排布方案的說明

由于給定面積為方形，為了充分利用空間顯然最好以方形陣列排布。依據不同彈簧數量，探究以下三種方形陣列的排布方式：（1×1）排布的1組彈簧，（2×2）排布的4組彈簧，（3×3）排布的9組彈簧。三種排布方式的具體示意，如圖1所示。

圖1 三種彈簧排布方式Fig.1 The Three Arrangements of Springs

為了對比三種排布方式在滿足隔振指標要求和彈簧設計準則的同時，各自承載性能的優劣，采用控制變量的方法進行探究，作以下規定：

（1）三種彈簧排布方式的尺寸界限均需嚴格限制為：（400×400）mm。

（2）各組彈簧間安全間隙取值為10mm，彈簧與界限間安全間隙取值為5mm。

（3）均以內外組合彈簧設計，取旋繞比C=4。

（4）為了達到指標要求，三種排布下整體垂向剛度均應保證15kN∕mm。

其中，（1）和（2）規定了三種排布方式下彈簧的面積空間和安全間隙需保證相同；（3）規定了影響彈簧性能的旋繞比C不變以觀察排布形式對承載大小的影響；（4）規定了三種排布方式的垂向剛度需與設計指標保持一致，因為影響隔振性能的關鍵因素為剛度，在進行隔振彈簧排布的優化設計時，若拋開指標要求是毫無意義的。

3.3 排布優化結果

參照控制變量法中的規定（1）～（4），保證相同面積空間、安全間隙和旋繞比，對整體垂向剛度以指標要求值為目標進行優化設計。由于彈簧高度僅影響橫向剛度性能（具體公式見第3節），并且可以通過增減高度在不改變承載大小和垂向剛度的基礎上調節橫向剛度，因此這里對橫向剛度暫不作考慮。由表1可知，垂向剛度由彈簧線徑d、彈簧中徑D、有效圈數n決定，為了便于分析，暫不考慮彈簧高度及其它特性校核，只對彈簧的三個關鍵參數進行優化設計，設計變量取：

首先對于（1×1）排布方案，利用MATLAB中SQP算法程序進行優化設計，以垂向剛度為優化目標，考慮到優化計算時取極小值，因此由表1公式，帶入相關參數可得以下目標函數：

依據控制變量規定，彈簧外徑大小需滿足D1+d1≤390，顯然增大外徑尺寸是提高承載性能的有利因素，因此這里直接將上式轉化為以下等式約束：

依據外彈簧中徑D1和線徑d1，由組合彈簧設計準則中式（4）可得約束：

依據標準［12］，內外彈簧的有效圈數約束為：

內外彈簧的旋繞比約束為：

其余兩種排布可同理推得相應目標函數和約束條件，這里不再一一展開。由表1可得彈簧最大工作承載的計算公式：

式中：K—曲度系數，與旋繞比C的取值相關：

在Fmincon函數中輸入以上目標函數和約束條件，可對隔振彈簧在不同排布下，以垂向剛度為優化目標進行關鍵參數優化，最后進行優化結果匯總，如表3所示。

由表3的優化結果可知，隨著排布陣列中彈簧數量的增多，整體的承載性能是逐漸減小的，因此若單從承載方面考慮，最優的排布形式為：（1×1）排布的1組彈簧。但依據本次隔振器設計的垂向剛度指標值15kN∕mm，從表中結果來看（2×2）和（3×3）兩種排布均能得到優化極值，滿足指標要求。但（1×1）排布優化結果中，當內外彈簧的有效圈數均為最小的2圈時，整體垂向剛度僅為8.97kN∕mm，與指標值相差較大。說明在給定約束條件下，（1×1）排布方案無法設計出滿足指標要求的隔振彈簧。因此（2×2）排布的4組彈簧為最優排布方案，在給定約束條件下整體承載可達37.9t。

表3 三種排布形式的優化結果Tab.3 Optimal Results of Three Forms of Arrangement

4 隔振彈簧參數的優化設計

雖然前面已利用控制變量的方法，對彈簧排布形式進行了優化設計，并得到了最優排布下的彈簧關鍵參數。但由結果可知，最大工作承載并未達到指標要求值45t，且尚未考慮隔振彈簧的橫向剛度大小kr和自由高度H0等其它基本參數。因此，在（2×2）排布的基礎上，將對彈簧參數作以提高承載為目標的進一步優化。

螺旋彈簧的垂向剛度可認為是不變的常數，計算方法較為簡潔準確。而橫向剛度計算則較復雜，不僅涉及到自身參數、截面形狀，還會受到垂向承載大小的影響。一般來說，為了簡化計算可將彈簧看作懸臂梁，并利用等效彎曲剛度和等效剪切剛度等彈性力學理論進行推導計算，計算公式如下［12］：

式中：η—垂向承載大小的相關量，這里為了方便優化設計，對載荷進行忽略，取η=1，以彈簧自由狀態下的橫向剛度為指標進行約束。

本次優化設計以隔振彈簧的最大工作承載為目標函數，對彈簧高度、指標要求及其它特性校核作全面考慮，設計變量取：

同樣利用MATLAB中SQP算法程序，以4組彈簧的最大工作承載為優化目標，由表1公式，帶入相關參數可得：

約束條件中同樣包括界限約束g1（x），由排布方案為（2×2）可得：

而中徑與線徑約束g2（x）同式（9），有效圈約束g3（x）和g4（x）同式（10）。

旋繞比C取值規定［13］，在線徑d≥16mm 的時候推薦取（4～16，）而重載彈簧一般曲率較大，為了提高承載其旋繞比C可取小于4的值［14］，目前市場上大承載隔振彈簧的旋繞比甚至可取到3左右，而低于3時便會極大增加卷制難度并且對加工設備產生損傷，因此旋繞比取值規定C≥3，得到內外彈簧的約束如下：

因為是以承載為目標優化，隔振彈簧垂向剛度范圍可取在設計指標的工程允許誤差范圍內，k上限取16kN∕mm，k下限取14kN∕mm，可得垂向剛度約束為：

在垂向剛度約束的基礎上，由式（14）可得橫向剛度約束：

彈簧高度受到有效圈數和支承圈數的影響，而在同等工況下，支撐圈數適當增加，過渡處的應力水平有較明顯的降低［14］，因此這里取支承圈m=1.7。彈簧高度設計過高將造成高徑比較大，易發生壓縮變形失穩；彈簧高度設計過低將造成在工作中發生簧圈接觸，導致彈簧損壞。因此結合表1，內外簧的穩定性約束和壓并高度約束如下：

彈簧在制造時需進行壓并，并保證壓并應力在許用應力之內，由表1可先得到內外簧的壓并載荷：

已知壓并載荷下，可得到內外簧的壓并應力約束如下：

因為彈簧受力工況為頻率10Hz的動載荷，根據規范［11］需保證彈簧自振頻率與外界頻率之比大于10，因此，再對內外彈簧分別進行共振驗算并作如下約束：

以上便是隔振彈簧在（2×2）排布的基礎上，以承載性能為優化目標，增加了設計變量自由高度H0，放寬了旋繞比C和垂向剛度kv的取值范圍，考慮了橫向剛度指標的約束條件，同時校核了壓并特性、穩定特性、共振特性的隔振彈簧參數優化設計，同樣在Fmincon函數中輸入后，基于SQP算法的目標函數迭代過程，如圖2所示。由圖2可見，隨著迭代次數的增多，目標函數逐漸趨于極小值。迭代60多次后便得到了滿足約束條件的最優值，效率較高。將優化后的彈簧各項參數匯總，與優化前對比，如表4所示。

圖2 目標函數的迭代過程Fig.2 Iterative Process of Objective Function

表4 彈簧參數優化前后結果Tab.4 Parameters Before and After Spring Optimization

由表4可知，在（2×2）排布的基礎上，對彈簧參數作了進一步的優化設計。優化后彈簧的旋繞比介于（3～4）之間，在可加工范圍之內；整體垂向剛度為16kN∕mm，在可接受范圍之內；整體橫向剛度大于12kN∕mm，滿足指標要求。承載性能上，優化前后隔振彈簧的最大工作承載由37.9t增加到50t，提升幅度為32%，在達到指標要求的同時也有效降低了動應力水平，延長了隔振彈簧的使用壽命。為了方便加工制造，最后還需將彈簧設計參數進行圓整，圓整后的各項結果，如表5所示。

表5 隔振彈簧優化設計結果Tab.5 The Design Result of Vibration Isolation Spring

由表5可見，在基本不改變剛度和承載性能的基礎上，彈簧中徑、線徑、圈數、高度等各項參數均取符合制造工藝的圓整值，得到了隔振彈簧最終設計方案。為了說明本次優化結果的可靠性，下面對圓整后的彈簧參數作關于彈簧設計標準的驗證，包括壓并特性、穩定特性、共振特性，校核公式由表1可得，校核結果，如表6所示。

表6 優化結果的可靠性驗證Tab.6 Reliability Verification of Optimization Results

由表6可知，圓整后的彈簧通過了上述特性校核，優化結果是可靠的。因此本次以承載為優化目標，基于SQP算法的隔振彈簧設計，是既滿足隔振指標，也符合彈簧標準的合理方案。

5 結論

針對某泵類設備的隔振設計要求，展開了對小尺寸、大承載隔振器中隔振彈簧的優化設計，得到以下結論：

（1）當螺旋彈簧隔振器面對布置空間受限、承載較大的情況時，為了提升彈簧承載率，可以采取內外組合彈簧的形式替代傳統單彈簧，旋繞比C=4時，相同空間下組合彈簧的最大工作承載為傳統單彈簧的1.25倍。

（2）隔振彈簧排布的優化設計，當呈方形陣列排布時，個數越多整體承載越小。綜合考慮指標要求和設計標準，隔振彈簧呈（2×2）排布為最優方案。

（3）隔振彈簧參數的優化設計，在總尺寸不變并符合各項設計要求下，最大工作承載由37.9t優化到50t，提升幅度為32%，優化效果十分明顯。

（4）對彈簧參數的優化結果進行圓整后得到了最終設計方案，滿足隔振指標及彈簧標準。可見基于SQP算法，以承載為優化目標，對其中的隔振彈簧進行系統優化是十分便捷高效的，該方法可為小空間下大承載量的彈簧設計提供科學指導。