考慮修形工況的直齒輪動態接觸應力分析

嚴國平，于道航，鐘 飛

（湖北工業大學機械工程學院，湖北 武漢 430068）

1 引言

齒輪作為標準加工件，已實現了標準加工。目前，齒形的仿真研究主要基于標準漸開線齒形進行。如文獻［1］對直齒輪動態嚙合過程中的頻域時域響應特性進行了仿真分析，文獻［2］通過有限元分析了塑料齒輪動態嚙合接觸分析，文獻［3］通過有限元仿真探究標準直齒輪嚙合的疲勞強度。但在實際使用過程中，齒輪嚙合存在單齒嚙合與雙齒嚙合交替進行的狀態，在此過程中，輪齒嚙合剛度會發生改變。考慮到加工制造誤差，潤滑情況以及溫度等因素影響，齒廓會產生不同程度的變形。為了有效降低齒輪嚙合時的沖擊和噪聲，并提高齒輪的負載能力與運轉的穩定性，對輪齒進行修形是一個常用的手段。為此，不少研究者也進行了大量的研究。文獻［4］在考慮接觸應力，軸承等因素的影響下，提出了一種直齒輪復合修形設計方法，文獻［5-6］依據齒輪嚙合的振動模型對目標齒輪進行修形優化，文獻［6］通過實驗認證齒輪修形對于改善齒輪疲勞壽命的有效性，文獻［8］通過優化齒廓修形研究齒輪副的振動與噪聲，文獻［11-12］依據不同優化目標得出最優修形曲線，并對修形曲線進行了分析，文獻［13］通過建立非線性動力學方程研究了修行對齒輪振動的影響。以上這些研究，主要集中于標準齒輪的仿真分析及輪齒修形的理論研究，這里基于修形前與修形后的齒輪模型，建立了齒輪動態嚙合有限元分析模型，用以探究輪齒修形對于齒輪動態嚙合特性的影響。

2 齒輪修形幾何模型建立

漸開線齒輪輪廓的幾何模型可依據國家標準與械設計手冊獲得。在直角坐標系下，標準齒輪幾何模型的漸開線表達式可表示為：

式中：Db—基圓直徑；

θ—漸開線齒廓上任意一點的壓力角。

θ應在某一范圍內進行計算，其最大值θmax表達式為：

式中：ra，rb—齒頂圓半徑和基圓半徑。

現有齒廓修形一般集中于修形量，修形區長度和修形曲線等主要參數進行。考慮齒輪副工作過程中因載荷與工作溫度產生變形，以及生產過程中不可避免的制造誤差等因素，這里采用估算法計算選取修形量進行齒廓的修形其計算公式為［5］：

式中：Δmax—輪齒最大修形量；

δ—齒面變形量；

δm—加工誤差；

Ft—輪齒所受周向力；

B—齒寬；

Cr—嚙合剛度。

良好的修型曲線應滿足的標準是：在齒輪處于雙齒及單齒嚙合交替時的負載變化應盡量平穩；適應載荷變動的能力強；較好的工藝性。

在直角坐標系下修形后齒廓漸開線方程表達式如下：

式中：L—修形長度，主要分為長修形與短修形兩種。

3 修形齒輪接觸應力的動態仿真

這里采用顯式動力學進行修形輪齒的動態仿真，主要研究在標準齒輪，單齒輪修形以及雙齒輪修形三種修形工況下的接觸應力效果。并探究齒輪修形參數中的輪齒最大修形量Δmax對于修形后的接觸應力影響。

模型尺寸的精確性以及網格質量決定了有限元仿真的精確性。因此考慮導入模型在仿真軟件中的兼容性問題以及網格的便捷劃分，基于APDL 參數化設計語言進行修形齒輪的精確建模，通過仿真軟件實現的參數化建模，不僅可以保證計算精度，同時為這里齒輪修形時模型的重塑提供了較為方便的手段。

仿真主要包括三大步驟：建模，前處理以及求解。其具體仿真過程，如圖1所示。

圖1 仿真流程圖Fig.1 Simulation Flow Chart

修形后輪廓漸開線按照式（6）、式（7）繪出，其中關鍵參數在僅考慮齒面形變量δ的情況下，根據機械設計手冊得到Δmax=0.02，并參考文獻［5］選取修形長度L=0.8。由于修形區域較小，只對修形區域附近繪制輪廓線。如圖2所示。

圖2 修形前后齒廓曲線Fig.2 Profile Curve Before and After Modification

齒輪材料設置為鋼材料，按相關特性進行定義。齒輪內圈表面應定義為SHELL單元，并通過剛體材料將齒輪內圈表面定義為剛體。輪體部分定義為SOLID單元。為提高輪齒部分的計算精度，對輪齒動態接觸部分進行局部網格劃分。齒輪定義為四個Part，齒輪內圈為一個Part，輪齒外部構成另一個Part。選用ASTS面面接觸算法，設定動摩擦系數及靜摩擦系數，選取接觸Part為Part2，目標Part為Part4。其有限元模型，如圖3所示。

圖3 齒輪有限元模型Fig.3 Gear Finite Element Model

4 實例及結果分析

齒輪副參數，如表1所示。按圖1仿真流程圖進行參數化建模，定義接觸與Part，對修形前與修形后的輪齒進行顯式動力學分析，并將其接觸應力結果進行了對比。本節將具體討論單齒輪修形以及雙齒輪均修形工況下的動態接觸應力情況。

表1 齒輪參數Tab.1 Gear Parameters

為了提高計算效率，只對齒輪動態嚙合前0.05s內的狀態進行仿真。由于修形區域較小，主要集中在輪齒齒頂兩側區域，且齒頂在剛剛進入嚙合時十分容易產生沖擊振動，因此選取主動輪輪齒頂點單側單元為對象，利用Hypermeh取0.0005s的接觸應力云圖，如圖4所示。

圖4 分析單元Fig.4 Analysis Element

為了保證仿真數值的可靠性，可以根據Hertz接觸理論公式進行齒輪接觸面最大應力的計算［8］并將計算結果與仿真結果進行對比：

式中：zE—彈性模量系數；

K—載荷分配系數；

Fn—法向力；

b—齒厚；

ρΣ—綜合曲率半徑。

根據仿真得到的齒面接觸最大應力為2500MPa，而根據Hertz理論公式計算可得齒面最大接觸應力為2274MPa，理論與仿真誤差9.04%，理論值與模擬值基本一致，可驗證有限元模型計算結果的有效性。由于0.0025s后目標單元已脫離嚙合狀態，接觸應力趨于0，因此只對其進入嚙合狀態時的應力狀況進行繪制，取分析單元A接觸應力計算結果并繪制時域圖，如圖5所示。

圖5 接觸應力圖Fig.5 Contact Stress Diagram

由圖5可知，隨著齒輪的轉動，該單元逐漸進入嚙合狀態，因此在0.001s 前單元接觸應力逐漸上升并在0.001s 時達到峰值。0.001s后單元逐步退出嚙合狀態，從而接觸應力出現了大幅度的降低。在輪齒未修形時，0.001s時單元處于嚙合臨界狀態，所受接觸應力為759MPa。而該單元的最優修形模式為雙修形工況，在雙修形工況下輪齒進入嚙合所受接觸應力峰值最小，接觸應力值為489MPa，相比未修形時降低了35.5%。嚙入嚙出時曲線斜率最低，嚙合狀態變換更加平穩。其次為主動輪輪齒修形，其最大接觸應力為500MPa。三種修形工況下，齒輪的接觸應力峰值以及嚙合平穩性均優于未修形狀態。可見，輪齒修形有利降低齒輪的接觸應力峰值。

參考文獻［9］中涉及的直齒輪的修形仿真結果中給出了相應參數齒輪修形后的齒面最大接觸應力，同時優化效果達到了24%。對于這里所得修形區域內的接觸應力變化達到35.5% 的效果提供了仿真數據支持。

在同樣的參數條件下可以看出雙修形的優勢，但參數對修形效果的影響也需進一步討論，保持修形長度不變，探究最大修形量對修形后的接觸應力影響。對應的接觸應力時域圖，如圖6所示。

圖6 考慮參數變化的接觸應力圖Fig.6 Contact Stress Diagram Considering Parameter Variation

由圖6可知，三種修形情況下，其輪齒接觸應力曲線具有大致相同的趨勢。當Δmax為0.01時，最大接觸應力為617MPa，相比未修形的最大應力，沒有達到對單元接觸應力的優化效果（為什么失去了）。Δmax為0.02 狀態下最大接觸應力為480MPa，但是單元A 退出嚙合狀態后還存在小段波動情況，Δmax為0.03 時單元A接觸應力更小僅為412MPa，且退出嚙合后狀態曲線較為平穩，嚙合更加穩定，因此Δmax為0.03的優化效果更佳。雖然雙修形效果較好，但對于最佳修形還需對參數進行微調，從而產生更佳的修形效果。

5 總結

針對修形齒輪進行有限元的動態接觸分析，可以得到如下結論：

（1）采用局部細劃的輪齒動態顯式分析，更有利于仿真計算的精確性。輪齒動態接觸過程中，瞬時應力會劇烈增大。此時輪齒表面性能會受到較大影響。從嚙入到嚙出這一過程中的應力變化，可以作為輪齒修形的一個參考參數，這將有利于提高齒輪的壽命。

（2）從計算結果來看，輪齒修形對于齒輪動態接觸應力及穩定性有較好的改善效果。從動態時域接觸應力這一指標來看，雙修形方式優于主動輪修形方式，主動輪修形方式優于未修形狀態。但雖然雙修形效果較好，有時為避免局部的不穩定傳動，需對修形參數進行微調。

（3）這里采用的殼-實體連接用于剛柔結合動態接觸仿真方法，較好地解決了實體單元無法傳遞力矩的難題，對于這一問題，具有較好的普適性。