四旋翼飛行器最優(yōu)滑模姿態(tài)控制

肖祖銘，郭 瞻

（景德鎮(zhèn)學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000）

1 引言

近年來(lái)，四旋翼飛行器由于其體積小、重量輕、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、機(jī)動(dòng)性能好等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛引用于航拍、實(shí)時(shí)監(jiān)控、地形勘探、救災(zāi)救援、軍事偵察等任務(wù)中，發(fā)揮出不可替代的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。四旋翼飛行器的姿態(tài)控制對(duì)于完成航拍、實(shí)時(shí)監(jiān)控等特殊任務(wù)，發(fā)揮垂直起降、懸停等優(yōu)點(diǎn)非常關(guān)鍵，因此受到廣大學(xué)者的關(guān)注。由于四旋翼飛行器具有高度非線性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、干擾敏感等特點(diǎn)，使得經(jīng)典PID控制技術(shù)受到很大限制。因此，利用現(xiàn)代控制理論的方法研究四旋翼飛行器姿態(tài)控制已成為主流。比較典型的現(xiàn)代控制理論方法主要有：線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)控制LQR［1］、滑模控制［2-3］、反步法控制［4］、動(dòng)態(tài)逆控制［5］以及H∞控制［6］等。LQR控制方法是基于系統(tǒng)線性模型而設(shè)計(jì)，具有一定的局限性。滑模控制，作為一種典型的魯棒控制方法已被廣泛應(yīng)用，但滑模顫抖現(xiàn)象不容忽視。反步法和動(dòng)態(tài)逆控制方法雖然擁有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但均沒(méi)有考慮系統(tǒng)的最優(yōu)性能。線性H∞控制方法同樣是基于系統(tǒng)線性化模型設(shè)計(jì)，而非線性H∞控制方法必須要求解復(fù)雜的偏微分方程，具有一定的難度。

最優(yōu)控制是工程控制領(lǐng)域期望達(dá)到的性能，面對(duì)四旋翼飛行器高度非線性，強(qiáng)耦合等特性，非線性最優(yōu)控制能夠發(fā)揮其最大的優(yōu)點(diǎn)，但其非線性最優(yōu)解的求解比較困難。因此，文獻(xiàn)［7］在姿態(tài)內(nèi)環(huán)通過(guò)SDRE 方法實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的姿態(tài)最優(yōu)控制。SDRE 控制方法能夠利用線性系統(tǒng)的控制方法實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)控制，已經(jīng)得到了很好的發(fā)展。但SDRE控制方法并未考慮系統(tǒng)內(nèi)部干擾、外部擾動(dòng)等不確定因素的影響。而不確定項(xiàng)的存在經(jīng)常會(huì)削弱系統(tǒng)的性能，甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，魯棒控制器的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。加入干擾觀測(cè)器是一種能夠逼近外部未知擾動(dòng)的有效方法［8-9］，但在控制律的設(shè)計(jì)過(guò)程中往往忽略了系統(tǒng)所要求的最優(yōu)特性。

因此這里針對(duì)四旋翼飛行器高度非線性、強(qiáng)耦合、易受干擾等特點(diǎn)，主要設(shè)計(jì)基于非線性干擾觀測(cè)器的四旋翼飛行器魯棒SDRE姿態(tài)控制系統(tǒng)，采用SDRE控制方法來(lái)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，滑模控制部分主要用來(lái)補(bǔ)償不確定干擾項(xiàng)影響。達(dá)到消除內(nèi)部干擾和外部擾動(dòng)的目的，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。數(shù)值仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)不僅對(duì)不匹配干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，還保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，達(dá)到飛行性能最優(yōu)。

2 系統(tǒng)建模

四旋翼飛行器利用現(xiàn)代控制理論的方法研究四旋翼飛行器姿態(tài)控制已成為主流［10］。這里主要研究四旋翼飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)控制，面對(duì)四旋翼飛行器高度非線性，強(qiáng)耦合等特性，非線性最優(yōu)控制能夠發(fā)揮其最大的優(yōu)點(diǎn)，因此先建立四旋翼飛行器飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。

如圖1 所示，以O(shè)E為地面坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立慣性坐標(biāo)系(xe，ye，ze)，以O(shè)B為飛行器質(zhì)心，建立機(jī)體坐標(biāo)系(xb，yb，zb)，由機(jī)體坐標(biāo)系和地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得飛行器的飛行運(yùn)動(dòng)姿態(tài)方程［11］：

圖1 四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)及其坐標(biāo)系Fig.1 The Structure and Coordinate System of Quadcopter

四旋翼飛行器通過(guò)滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角來(lái)控制飛行器的飛行姿態(tài)。

式中：φ—飛行器的滾轉(zhuǎn)角；θ—俯仰角；ψ—偏航角，用Ω =(φ，θ，ψ)T來(lái)表示，根據(jù)拉格朗日建模方程，建立四旋翼飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：I—飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω—飛行器轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；M—飛行器機(jī)體軸受到的合力矩。即：

式中：MR—飛行器升力產(chǎn)生的力矩；

MG—飛行器陀螺效應(yīng)；

MD—空氣阻力；

Md—外部擾動(dòng)產(chǎn)生的力矩。

如果考慮到飛行器體積小、旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、飛行速度不快等特點(diǎn)，產(chǎn)生的阻力力矩和陀螺效應(yīng)較小，可以忽略不計(jì)，則該飛行器各機(jī)體軸合力矩可簡(jiǎn)化為：

式中：Δ—飛行器產(chǎn)生的阻力力矩和陀螺效應(yīng)。

飛行器升力產(chǎn)生的力矩MR為：

式中：l—飛行器質(zhì)心到電機(jī)軸心的間距；

b—升力系數(shù)；

k—阻力系數(shù)。

因此四旋翼飛行器姿態(tài)控制方程為：

由式（3）～式（6）可得四旋翼飛行器完整的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

3 姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

根據(jù)四旋翼飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型（7），通過(guò)定義輸入變量u=(u1，u2，u3)T，狀態(tài)變量，得出該飛行器仿射非線性形式為：

式中：Δf(x，t)—飛行器的不確定干擾項(xiàng)。

假設(shè)1：不確定干擾項(xiàng)Δf(x，t)不滿足匹配條件，即存在一個(gè)已知函數(shù)k(x) 和一個(gè)未知連續(xù)有界函數(shù)d(t)，使得Δf(x，t)=k(x)d(t)，且

因此，這里設(shè)計(jì)的四旋翼飛行器姿態(tài)控制器，如圖2 所示。該控制器主要分為兩部分：SDRE控制部分主要用來(lái)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，并獲得理想性能；滑模控制部分主要用來(lái)補(bǔ)償不確定干擾項(xiàng)影響。因此最優(yōu)滑模控制律可表示為如下形式：

圖2 四旋翼姿態(tài)控制器Fig.2 Quadrotor Attitude Controller

式中：uo—SDRE控制部分；us—滑模控制部分。

3.1 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

四旋翼飛行器控制一般都是通過(guò)嵌套的內(nèi)外環(huán)控制實(shí)現(xiàn)，其中內(nèi)環(huán)是姿態(tài)換，外環(huán)是位置換。假設(shè)無(wú)干擾情況下，即d(t)= 0，對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模為：

SDRE控制方法是通過(guò)對(duì)非線性系統(tǒng)分解，利用線性二次調(diào)節(jié)器（LQR），很容易得到其仿射非線性形式：

其中，矩陣A(x)，B(x) 的取值與系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)，同時(shí)保證系統(tǒng)可控，即矩陣[B(x)，A(x)B(x)，…，An-1(x)B(x) ]逐點(diǎn)可控。

定義狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)函數(shù)如下：

其中，權(quán)重矩陣Q(x)=QT(x) ≥0，R(x)=RT(x) ＞0，矩陣Q(x)和R(x)均與狀態(tài)相關(guān)，參數(shù)取值不唯一。

根據(jù)漢密爾頓最優(yōu)控制理論，定義函數(shù)為：

得最優(yōu)控制解：

其中，矩陣P(x)滿足狀態(tài)相關(guān)Riccati方程：

通過(guò)上述對(duì)Riccati方程求解，最優(yōu)控制uo就可得到。然而，該控制器主要針對(duì)系統(tǒng)無(wú)干擾情況設(shè)計(jì)。一旦系統(tǒng)出現(xiàn)干擾，則上述最優(yōu)控制器不再保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，有必要設(shè)計(jì)干擾補(bǔ)償控制器，使之能夠有效補(bǔ)償干擾影響，實(shí)現(xiàn)魯棒最優(yōu)控制效果。首先設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)未知外界干擾估計(jì)，然后設(shè)計(jì)基于干擾觀測(cè)器的滑模控制器，補(bǔ)償外部未知擾動(dòng)的影響。

3.2 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

干擾補(bǔ)償控制器用來(lái)抵消外部有界干擾、未建模的非線性因素以及參數(shù)不確定性帶來(lái)的影響。這里設(shè)計(jì)的干擾補(bǔ)償控制器是非線性的，可以對(duì)干擾實(shí)時(shí)估值，減少干擾影響。該干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)如下：

式中：(t)—未知干擾d(t)的實(shí)時(shí)在線估計(jì)值，該非線性干擾觀測(cè)

器滿足如下條件：

值得注意的是，非線性函數(shù)q(x) 的選擇必須保證q(x)g(x)正定，即q(x)g(x) ＞0。

因此，干擾估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)特性可表示為：

3.3 滑模控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)積分滑模面為：

式中：G(x)—設(shè)計(jì)的矩陣，從而使得G(x)g(x)非奇異。

因此，為補(bǔ)償未知干擾影響，結(jié)合非線性干擾觀測(cè)器，設(shè)計(jì)如下滑模控制器：

式中：γ0＞0—設(shè)計(jì)參數(shù)；sign(·)—符號(hào)函數(shù)。

構(gòu)造穩(wěn)定性判定矩陣函數(shù)：

則對(duì)式（20）求導(dǎo)，可得：

麻石水電站建設(shè)時(shí)定為Ⅲ等工程，擴(kuò)建工程如按II等工程設(shè)計(jì)，則需按100年洪水設(shè)計(jì)，1000年洪水校核，洪水標(biāo)準(zhǔn)將比麻石水電站一期工程目前的洪水標(biāo)準(zhǔn)高（麻石水電站一期工程按50年洪水設(shè)計(jì)，500年洪水校核），上游設(shè)計(jì)、校核洪水位也將相應(yīng)抬高，與現(xiàn)有電站特征水位不一致，因此，擴(kuò)建工程的洪水標(biāo)準(zhǔn)須結(jié)合一期工程的洪水標(biāo)準(zhǔn)綜合考慮。綜合以上，擴(kuò)建工程仍按Ⅲ等工程設(shè)計(jì)。河床式廠房、混凝土壩及土壩按3級(jí)建筑物設(shè)計(jì)；上、下游尾水導(dǎo)墻和擋墻，按4級(jí)建筑物設(shè)計(jì)[1]。

將式（17）和式（19）代入式（21），整理可得：

從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的有效性，在MATLAB 中搭建了四旋翼飛行器仿真模型，對(duì)以上建立的動(dòng)力學(xué)模型和控制模型進(jìn)行仿真分析。

針對(duì)式（7）中四旋翼飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，首先將其分解成State-Dependent Coefficients（SDC）形式且保證系統(tǒng)可控。選取系統(tǒng)狀態(tài)變量，控制輸入u=(u1，u2，u3)T，分解后四旋翼姿態(tài)模型表述為：

其中，系數(shù)a1=x6I1，a2=x6I2，a3=x2I3，系數(shù)b1，b2，b3如式（6）定義。

假設(shè)飛行器初始狀態(tài)為：x0=[ 0.2，0，-0.1，0，0.1，0]T，輸入wd= 0，SDRE控制律設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

仿真過(guò)程中，四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：

為充分檢驗(yàn)控制器的控制效果和魯棒性，對(duì)系統(tǒng)加入外界力矩干擾，得到仿真結(jié)果如圖所示。在外界干擾影響下，這里設(shè)計(jì)的最優(yōu)滑模控制器姿態(tài)角及姿態(tài)角速率響應(yīng)曲線平滑，而沒(méi)有進(jìn)行干擾補(bǔ)償?shù)某Ｒ?guī)控制器系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角將趨于一個(gè)常值，從而影響飛行器飛行品質(zhì)，導(dǎo)致飛行器失穩(wěn)，如圖3、圖4所示。

圖3 姿態(tài)角對(duì)比曲線Fig.3 Comparison Curve of Attitude Angle

圖4 姿態(tài)角速率對(duì)比曲線Fig.4 Comparison Curve of Attitude Angle Rate

進(jìn)一步說(shuō)明了這里設(shè)計(jì)的最優(yōu)滑模控制器的有效性，如圖5、圖6所示。從俯仰角局部放大圖中可以看到這里魯棒控制器存在的穩(wěn)態(tài)誤差非常小，只有0.007，滾轉(zhuǎn)角最大誤差為0.006，誤差值遠(yuǎn)低于常規(guī)控制器。該干擾觀測(cè)器對(duì)外界干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)在線估值，曲線基本重合，對(duì)干擾的估值效果良好，這也為這里魯棒控制器的設(shè)計(jì)提供了保障，如圖7所示。控制輸入響應(yīng)曲線，如圖8所示。可以看出，由于在t＞10s后，飛行器受常值干擾影響，因此，控制輸入u1同樣收斂到一個(gè)常值用于補(bǔ)償干擾，有效的地抑制了干擾影響，顯示出很強(qiáng)的魯棒性。

圖5 姿態(tài)角響應(yīng)曲線Fig.5 Response Curve of Attitude Angle

圖6 姿態(tài)角速率響應(yīng)曲線Fig.6 Response Curve of Attitude Angle Rate

圖7 干擾估計(jì)響應(yīng)曲線Fig.7 Response Curve of Disturbance Estimation

圖8 控制輸入曲線Fig.8 Control Curve of the Input

值得注意的是，這里所給的干擾在t ＞10s時(shí)，屬于常值干擾，這必然會(huì)影響飛行器飛行品質(zhì)，甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但在這里設(shè)計(jì)的魯棒最優(yōu)控制律作用下，系統(tǒng)依然能夠保持很好的穩(wěn)定性，充分說(shuō)明了該控制律的有效性以及該設(shè)計(jì)方法的可行性。

5 總結(jié)

在四旋翼飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型基礎(chǔ)上，主要針對(duì)未知不匹配干擾設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)滑模控制輸入，對(duì)不匹配干擾進(jìn)行補(bǔ)償，然后利用SDRE控制方法，針對(duì)標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器。因此，設(shè)計(jì)的最優(yōu)滑模控制器不僅能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)性，同時(shí)提升了系統(tǒng)的抗干擾能力，增強(qiáng)了魯棒性，對(duì)其他飛行器抗干擾方面具有一定的參考價(jià)值。