兩種電容效應的六維力傳感器結構設計及解耦

蒲明輝，胡世通，羅 祺，潘海鴻

（1.廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西 南寧 530004）

1 引言

力傳感器作為工業智能化最重要的設備之一，廣泛應用在機械加工、汽車制造、智能機器人以及航空航天等領域。力傳感器種類較多，其中在電容式多維力傳感器研究方面，文獻[1]以平行板極電容效應為基本原理，設計出一種適用于機器人腕部的電容式六維力傳感器，其通過檢測因電容器正對面積和極板間距改變引起的電容改變值獲得力值。文獻[2]同時采用電壓和電容技術，結合平行板電容效應和壓電效應，設計了一種類似于牙齒的安全抓握力傳感器。文獻[3]將四個電容器的八個極板分別置于上下兩個硅膠柔性基體上，設計了一種應用于機器人仿真皮膚的電容式二維力傳感器，可檢測法向力和切向力。文獻[4]采用硬質電路板技術和微加工技術設計了一種電容式力傳感器陣列，該傳感器陣列由四個電容器陣列而成，可對切向力和法向力進行測量。

上述研究的電容式力傳感器采用的電容器均為平行板電容器，而由于平行極板電容器自身電容邊緣效應的存在，該類電容式力傳感器都會因此增加非線性誤差。如今，隨著對電容邊緣效應研究的不斷深入，揭示了電容邊緣效應的機理并加以利用，形成了垂直極板電容器，使設計出一種基于電容邊緣效應原理的力傳感器成為了可能。目前在基于電容邊緣效應原理的力傳感器研究領域，對多維力傳感器研究極少，主要集中于單維力矩傳感器的研究。其中，文獻[5]利用電容邊緣效應設計了一種新型電容式力矩傳感器，該傳感器僅可對軸向扭矩進行測量。

針對上述現狀，提出了一種基于兩種電容效應的六維力傳感器，傳感器同時使用平行極板和垂直極板兩種電容器，且兩種電容器均采用差動式結構。并在整體結構設計上，考慮加工的可行，將其進行分層設計，主要分為主體、測量層、PCB板三層，同時測量層又分為上測量層和下測量層。

2 電容式力傳感器原理

電容式力傳感器是以電容器作為轉換元件，將被測力轉換成為容值變化量的一種力檢測裝置。傳感器受力后，敏感元件（如變形梁）發生變形，電容器動、靜極板產生相對位移，電容器容值隨之變化，最后通過轉換計算測得的電容器容值變化量來獲取所需要檢測的力值。傳感器所使用的電容器不同，原理也不同，其中垂直極板電容邊緣效應原理和變極距型平行極板電容效應原理如下文所述。

2.1 變極距型平行極板電容效應原理

變極距型平行極板電容效應原理，如圖1所示。當忽略電容邊緣效應時，平行極板電容器容值計算公式：

圖1 變極距式平行極板電容效應原理圖Fig.1 Schematic Diagram of Variable Pole Distance Parallel Plate Capacitor

式中：ε—極板間介質的介電常數；S—兩極板的相對有效面積（單位m2）；d—兩極板間距（單位m）。

外力作用下兩極板初始間距d0變化Δd，則初始電容C0變化ΔC：

將式（2）泰勒公式展開得：

當動極板位移量遠小于極板初始間距時，即Δd遠小于d0，可用式（4）對式（3）進行線性擬合。

由式（3）和式（4）可知，變極距型平行極板電容器容值改變量ΔC與極距改變量Δd理論上為非線性關系，當Δd遠小于d0時可近似為線性關系，故其常用于小位移變化的測量中[6]。

根據上述變極距型平行極板電容效應原理分析，將最大變形量Δdmax和最小變形量0代入擬合式（4）得基于變極距型平行極板電容效應原理的電容式力傳感器滿量程輸出YFS：

式中：Ymax—傳感器最大輸出值；Ymin—傳感器最小輸出值。

最大擬合偏差ΔYL.max：

由國標GBT 18459-2001《傳感器主要靜態性能指標計算方法》可知傳感器線性度公式：

將式（5）和式（6）代入式（7）可得傳感器理論線性度：

由式（1）求一階導并去掉負號可求得傳感器的靈敏度Kd：

由式（9）可知傳感器靈敏度Kd與所使用的電容器極板正對面積S正相關，與極板間距d0的平方負相關，與極板寬度W無關。

2.2 垂直極板電容邊緣效應原理

垂直方式布置動極板和靜極板構成垂直板電容器，靜極板非常薄，故靜極板和動極板正對面產生的電容可忽略不計，極板間距為h，靜極板寬度為W，高度為H，當在兩極板間施加電壓時，兩極板將形成一個邊緣場[7]，如圖2所示。

圖2 垂直極板電容邊緣效應原理Fig.2 Schematic Diagram of Vertical Plate Capacitor Edge Effect

兩極板產生的邊緣電容為[8]：

在外力作用下極板初始間距h0變化Δh，使初始電容C0改變ΔC：

將式（11）泰勒公式展開得：

當動極板位移量遠小于極板初始間距時，即Δh遠小于h0，可用式（13）對式（12）進行線性擬合。

由式（12）和式（13）可知，基于電容邊緣效應的變極距型垂直極板電容器的輸入輸出特性為非線性，當Δh遠小于h0時可近似為線性關系。

根據上述電容邊緣效應原理分析，將最大變形量Δhmax和最小變形量0代入擬合式（13）可得基于電容邊緣效應原理的電容式力傳感器滿量程輸出YFS：

式中：Ymax—為傳感器最大輸出值；Ymin—傳感器最小輸出值。

最大擬合偏差ΔYL.max：

將式（14）和式（15）代入式（7）得傳感器線性度：

對式（10）求一階導可得靈敏度Kvert：

根據式（17）可知，傳感器靈敏度Kvert與所使用的電容器靜極板的寬度W正相關，與兩極板初始間距h0負相關。

3 傳感器結構設計

所設計的電容式六維力傳感器，如圖3（a）所示，該傳感器采用創新結構，同時使用垂直極板電容器和平行極板電容器，將電容邊緣效應原理和變極距型平行極板電容效應原理兩種測量原理相結合。同時考慮到加工可行性，將傳感器進行分層設計，傳感器主要分為主體、測量層、PCB板三個部分，測量層又分為上測量層和下測量層，如圖3（b）所示。

圖3 傳感器結構Fig.3 Sensor Structure

主體上有外圈、S形變形梁、PCB板安裝臺，走線孔等，其中，S形變形梁可減少傳感器各維度力之間的耦合作用，同時可提高傳感器的靈敏度。上測量層設有上平行動極板以及垂直動極板，下測量層設有下平行動極板，且上、下測量層通過螺釘固定于主體上；PCB板上有檢測電路、電容數字轉換芯片、上平行靜極板和下平行靜極板（位于PCB板下表面）以及左垂直靜極板和右垂直靜極板，其中左、右垂直靜極板均有兩層，置于PCB上下表面。電容數字轉換芯片可將電容信號轉換為數字信號。

由上述可知，測量層結構采取上下兩層布置，其整體結構，如圖4所示，圖中垂直動極板與PCB板（圖4中未顯示）上的垂直板靜極板組成6個垂直極板電容器C1～C6。其中C1與C2，C3與C4，C5與C6構成三個垂直極板差動電容器CI、CIII、CV，如圖5所示。上平行動極板與PCB板（圖4中未顯示）上的上平行靜極板組成上層3個平行極板電容器C7、C9、C11，下平行動極板與PCB板（圖4中未顯示）上的下平行靜極板組成下層3 個平行極板電容器C8、C10、C12，且6個電容器中的C7與C8，C9與C10，C11與C12構成三個平行極板差動電容器CII、CIV、CVI，如圖5所示。

圖4 測量層結構Fig.4 Measurement Layer Structure

圖5 電容器分布圖Fig.5 Capacitor Distribution Diagram

4 解耦分析

該傳感器工作時外圈固定，內圈受力。當傳感器內圈受到任意外力時都可將其分解為六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ，外力傳遞至S形變形梁使之產生變形，與S型變形梁相連的測量層及其上的電容器動極板發生位移，使得電容器極板間距發生改變，最終使差動電容器容值發生改變。

六個差動電容器受到各正方向力∕力矩時電容變化的趨勢，如表1所示。在表中，“?”和“?”分別表示相對較強的電容的增加和減小，“↑”、“↓”分別表示相對較弱的增加和減小，“～”表示電容幾乎沒有改變。如，受力FX時電容器CV容值明顯減小，CI、CIII容值小幅度增加，CII、CIV、CVI容值幾乎不變化。

表1 電容隨相應力的變化趨勢Tab.1 The Trend of Capacitance with Corresponding Force

如表1所示，每一個差動電容器在六種不同的力輸入下變化趨勢不同。以每一個差動電容器做為傳感器一條輸出通道，并提取輸出信號，即電容改變量ΔC，建立此電容式六維力傳感器的解耦方程為：

將式（18）直接求逆可得解耦矩陣：

上式矩陣ΔC為可逆矩陣，故矩陣ΔC必須為（6 × 6）方陣，因此該方法求解耦矩陣只能使用六標定數據，即每個維度力只使用一組標定數據，因此計算誤差較大。為了提高解耦矩陣計算精度，多采用大于輸出通道個數的標定數，再對式（18）進行廣義逆等算法，可得基于最小二乘法的求解解耦矩陣公式[9]：

式中：F—6×n力矩陣；

ΔC—6×n電容改變量矩陣；

( ΔCTΔC)-1ΔCT—矩陣ΔC的廣義逆矩陣；

n—總共標定的實驗次數。

求解解耦矩陣T的過程實際上就是多元函數最小二乘擬合的過程，為了獲得較為準確的解耦矩陣，要求標定的實驗次數要遠大于六維力傳感器的維數[10]。即標定實驗次數越多解耦矩陣計算值越準確，故為了提高解耦矩陣精度，擬采用66組標定數，即矩陣F與矩陣ΔC均為（6 × 66）矩陣。

5 解耦實驗

為獲得傳感器解耦矩陣T，現對該力傳感器在沒有振動、沖擊、加速度的環境下進行靜態標定，并獲得實驗結果[11]，標定平臺，如圖6所示。

圖6 標定平臺Fig.6 Calibration Platform

其通過加載砝碼的方式對傳感器六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ進行標定。加載砝碼質量為m重力系數g取9.8N∕kg，力臂L為50mm，則力F=mg，單位為N。力矩M=mg×L，單位為N·m。

傳感器量程，如表2所示。實驗時依次對六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ單獨加載至滿量程力值再卸載，每次加載砝碼質量為1kg，從0值加載至6kg，再卸載至0值，獲得矩陣F′。矩陣F′中各列為每次加載的力或力矩。

表2 傳感器量程Tab.2 Sensor Range

同時采集傳感器六條輸出通道信號獲得矩陣ΔC′，矩陣ΔC′中各列為每次加載對應的傳感器六條輸出通道電容數字變化量。利用MATLAN軟件根據式（20）求解出解耦矩陣T。

為了分析六維力傳感器解耦精度，采用I類誤差和II類誤差來作為傳感器解耦精度指標。I類誤差表示該方向所加載的實際滿量程外力大小與所測量到力值之間的最大相對誤差，計算公式，如式（21）所示；II類誤差表示僅某個方向受到滿量程力值時其他方向因該方向的耦合而檢測到力值所引起的耦合誤差。

計算公式，如式（22）所示。A、B為傳感器六維力中的任一方向力。

使用解耦誤差矩陣E可以同時表示I類誤差和II類誤差，解耦誤差矩陣，如式（23）所示。

解耦誤差矩陣E主對角線元素指代I類誤差，如，EFXFX表示傳感器所受FX實際滿量程力值大小與檢測力值大小之間的相對誤差；非主對角線元素指代II類誤差，如，EFYFX表示傳感器僅受力FX時，FY受到FX的耦合作用而檢測到力，引起的傳感器耦合誤差。驗證實驗時，對傳感器各維度力以滿量程力值依次單獨加載得力值矩陣F′′。同時提取各通道輸出信號，獲得矩陣ΔC′′。矩陣F′′每一列分別表示傳感器六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ一次滿量程力值標定數據，且前三列對應力的單位為N，后三列對應的力矩單位為N·m。矩陣ΔC′′中各元素為電容數字改變量。

根據式（20）進行解耦計算得到力∕力矩檢測值F。

將式F′′和式F代入式（21）和式（22）中求出解耦誤差矩陣E如下所示。

由解耦誤差矩陣E可知該傳感器六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ的I 類誤差分別為：0.19%、0.66%，0.10%、0.14%、0.39%、0.32%。II類誤差最大值為0.47%，即當加載力MY時，FY受到MY的耦合作用引起的耦合誤差為0.47%。上述顯示I 類誤差和II類誤差均較小，即傳感器解耦精度較高，所以該結構維間耦合較小，滿足解耦要求。

6 結論

（1）理論分析了垂直極板電容邊緣效應原理和平行極板電容效應原理，提出了一種結合兩種電容效應原理的新型六維力傳感器，根據原理設計了傳感器結構，并進行了靜態標定實驗。

（2）通過最小二乘法的線性靜態解耦求得解耦矩陣T，并利用解耦矩陣T進行了解耦計算，計算結果顯示所設計的力傳感器六維力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ的I 類誤差分別為：0.19%、0.66%，0.10%、0.14%、0.39%、0.32%；II類誤差最大值為0.47%，即傳感器維間耦合較小，可解耦。驗證了該結構的可行性。