多級行星齒輪機構的圖形符號表示及同構判別

王均剛，楊士男，劉燕德，墨蕊娜

（1.華東交通大學機電與車輛工程學院，江西 南昌 330013；2.華東交通大學理學院，江西 南昌 330013）

1 引言

行星齒輪機構因具有結構緊湊、承載能力強、傳動效率高等優點，在風能產業、船舶制造業、現代裝甲車輛和冶金礦山機械等領域中已獲得廣泛的應用［1］。

自圖論理論引入研究行星齒輪機構以來，國內外學者陸續提出了各類的圖形模型，文獻［2］首先利用圖論理論研究行星齒輪機構的結構綜合問題，但其圖形模型未能夠反映行星齒輪機構的結構特點，并且存在同構性難以判別的問題；文獻［3］采用復接頭運動鏈圖進行行星齒輪機構的結構設計，該圖形模型雖然能夠與行星齒輪機構之間呈現映射關系，但行星齒輪機構的結構特點反映不明確；文獻［4］在文獻［3］的基礎上提出規范圖對行星齒輪機構進行結構設計；文獻［5］基于功能離散法提出行星齒輪機構的拓撲綜合法，通過拓撲演化和拓撲反演推導出行星齒輪機構的拓撲圖譜和結構圖譜，但是其拓撲反演過程比較復雜且各構件之間的拓撲關系表述不明確；文獻［6］引入新三色拓撲圖對行星齒輪機構進行結構描述，利用構態變換法進行構型設計，新三色拓撲圖雖然能夠表達出機構的整體結構特征，但是構件的區分度依然不明確，而且在構型設計過程中未對方案之間進行同構判別。文獻［7］利用圖論-鄰接矩陣法對行星齒輪機構進行構型綜合，采用鄰接矩陣的特征值和特征向量對構型方案之間進行同構識別，由于不同構的行星齒輪機構的鄰接矩陣也有可能具有相同的特征值，而且當出現較多相同特征值時，計算量會急劇增大，甚至會失效。在機構類型綜合過程中，同構判別會極大地影響后續機構的方案篩選與性能分析，倘若沒有進行同構判別，將會增加不必要的工作量；相反，倘若將非同構的結構類型誤認為是同構的，將會導致失去新穎的傳動方案。一直以來，國內外學者在機構同構判別領域進行了許多的研究工作，提出了一些有價值的方法，如基于特征值與特征向量法［8］、基于特征多項式法［9］、基于周長拓撲圖法［10］、基于桿組鄰接矩陣法［11］、基于人工神經網絡的方法［12］等。文獻［8-12］中主要是從運動鏈的拓撲圖出發尋找同構的不變量，針對的研究對象大部分是平面鉸鏈機構，對多級行星齒輪機構的研究文獻還較少。

基于圖論理論，在已有的研究基礎上，提出了能夠更加清晰地描述行星齒輪機構整體結構特征以及構件性質明確的拓撲模型，利用矩陣變化理論對多級行星齒輪機構的進行構型分析，并進一步提出多級行星齒輪拓撲構型方案之間同構判別的方法，為多級行星齒輪傳動系統的系統化研究提供一些參考。

2 行星齒輪機構的圖形符號表示

一般而言，行星齒輪機構是由行星排和機架構成的傳動系統，而行星排包含太陽輪、行星輪、內齒圈以及行星架，同時各構件之間通過回轉副，內嚙合齒輪副以及外嚙合齒輪副的方式進行聯接，其結構相對復雜。對行星齒輪機構進行拓撲描述時，需要考慮以下兩種情況：（1）拓撲模型反映的行星齒輪機構的整體性是否完整；（2）拓撲模型中各構件的區分度是否明確。

為了使拓撲圖能夠清晰地表示行星齒輪機構的結構信息，將行星齒輪機構各構件轉化為不同的圖形符號進行表示：（1）各構件描述符號：實心點（“●”）表示行星輪，（“”）表示雙聯行星輪；空心點（“○”）表示太陽輪；空心方框（“□”）表示行星架；實心方框（“■”）表示內齒圈；空心三角形（“△”）表示機架。（2）各構件之間的聯接性質描述：實線表示回轉副聯接；單嚙合線表示外嚙合齒輪副聯接；雙嚙合線表示內嚙合齒輪副聯接。根據上述對行星齒輪機構的各構件以及各構件之間的聯接關系的拓撲描述描述，現建立2K-H型行星齒輪機構的拓撲模型，如圖1所示。

圖1 2K-H型行星齒輪機構的結構圖及拓撲模型Fig.1 Structure Diagram and Topology Model of 2K-H Planetary Gear Trains

在機構綜合過程中，拓撲圖是以鄰接矩陣的形式儲存。行星齒輪機構拓撲圖的鄰接矩陣A是表示各構件聯接關系的矩陣，其具體的聯接關系可以通過矩陣中相應元素aij的數值大小來判斷。行星齒輪機構的鄰接矩陣A形式定義為：

式中：n—機構的構件數，矩陣元素aij（i、j=0，1，2，…，n），若構件i、j以回轉副聯接，則aij=1；若構件i、j以外嚙合齒輪副聯接，則aij=2；若構件i、j以內嚙合齒輪副聯接，則aij=3；若構件i、j以外嚙合齒輪副聯接且含有雙聯行星輪時，則aij=4；若構件i、j以內嚙合齒輪副聯接且含有雙聯行星輪時，則aij=5；其余，aij=0。例如，圖1（a）所示的NGW型行星齒輪機構的鄰接矩陣為：

3 多級行星齒輪機構的構型分析

行星排中的行星輪由于無法作為外力輸入構件，因此其不能作為基本構件；根據組合理論，行星排中基本構件之間的組合型式可分為三類，即：（1）兩組同名構件相連；（2）一組同名構件，一組異名構件相連；（3）兩組異名構件相連?，F以圖1（a）中的兩個NGW型行星齒輪機構為基礎，依照行星排中基本構件之間的組合型式進行構型綜合方案設計。例如，采取第（1）種組合型式分別合并太陽輪和內齒圈，首先建立其聯合矩陣A1：

然后，利用矩陣變換法和矩陣消階法，分別將聯合矩陣A1的第6、第7和第10行和列中各元素之間的聯接關系，相對應地轉移至第1、第2和第5行和列作為新元素，并且消去第6、第7和第10行和列的元素得到終態矩陣A2：

由圖2可以看出，從終態矩陣A2，可以得到綜合后的多級行星齒輪機構的拓撲圖和結構簡圖。兩級行星齒輪機構，如圖2所示。

圖2 兩級行星齒輪機構Fig.2 Two-Stage Planetary Gear Transmission

圖3 兩級行星齒輪機構構型綜合方案Fig.3 Configuration Schemes of Two-Stage Planetary Gear Trains

4 多級行星齒輪機構的同構判別

4.1 同構判別的方法—Hamming矩陣法

Hamming矩陣可以判斷同等構件數目的運動鏈之間是否同構，它是將運動鏈的Hamming數和各構件的Hamming值按降序的方式進行排列得到的特征數組作為判斷指標，即各運動鏈的Hamming矩陣特征數組完全相同，則兩運動鏈同構［13］（Hamming數是指Hamming 矩陣中所有元素之和，Hamming 值是指Hamming矩陣中各行的元素之和）。運動鏈的Hamming矩陣是在其鄰接矩陣的基礎上建立的，它也是對角線元素為零的n階方陣，其中非對角線元素hij是通過逐列比較鄰接矩陣的第i行和第j行的各元素，并對其執行異或運算進行確定，具體公式如下：

式中：aik、ajk—鄰接矩陣A的各元素值。

例如，通過對比圖1（a）所示的NGW型行星齒輪機構的鄰接矩陣的第1行與第4行可以知：h14=（0）+（1+2）+（0）+（0）+（1+3）=7，經過計算其Hamming矩陣為：

各構件的Hamming值依次為H1=25、H2=23、H3=20、H4=34、H5=26，Hamming數為128，其特征數組為128［34-26-25-23-20］。

4.2 實例分析

現以圖3中的方案2、方案3和方案6為例，進行同構判別的分析，通過式（2）可以分別求出該3種構型方案的Hamming矩陣：

經過計算，方案2的Hamming矩陣特征數組為：344［56-56-51-51-48-46-36］，方案3的Hamming矩陣特征數組為：344［56-56-51-51-48-46-36］，方案6 的Hamming 矩陣特征數組為：352［60-60-51-48-46-46-41］；由于方案2 與方案3 的Hamming 矩陣特征數組完全相同，因此可以確定方案2與方案3為同構運動鏈；經過逐一計算分析，圖3中的兩級行星齒輪機構的構型方案共有12種是非同構的，分別是：方案1、方案2、方案4、方案5、方案6、方案7、方案8、方案10、方案11、方案12、方案16、方案17。

5 結論

基于圖論理論，提出的行星齒輪拓撲圖法，可以在拓撲模型中清晰表示行星齒輪機構的結構特征、構件的區分度更加明確；利用矩陣變化理論對多級行星齒輪機構進行構型設計，根據拓撲轉化規則，可簡捷地推導出多級行星齒輪機構的結構圖譜，并進一步提出多級行星齒輪機構構型綜合方案同構判別的方法；可為后續的多級行星齒輪機構方案評價和優選工作提供基礎。