徑向基函數(shù)近似模型在車門輕量化中的應(yīng)用

殷曉偉，張瑞乾，2，陳 勇，2

（1.北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京100192；2.北京電動車輛協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100192）

1 引言

隨著汽車數(shù)量的日益增加，環(huán)境污染和能源消費(fèi)等新問題也日益嚴(yán)重。因此汽車企業(yè)中的一個重要研究項(xiàng)目就是汽車輕量化，其含義是指汽車在滿足性能要求的情況下，有目標(biāo)的減輕汽車自身的質(zhì)量。輕量化也是降低汽車能耗、減少排放的最有效方法之一［1］。對于傳統(tǒng)燃油汽車來說，有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，汽車的油耗會隨著汽車重量的降低而降低，而對于純電動汽車來說，降低汽車重量，同樣可以延長行駛里程［2］。因此，無論是新能源汽車還是傳統(tǒng)燃油車都需要進(jìn)行輕量化的研究。

近幾十年，世界各國的著名汽車公司和大學(xué)學(xué)者在輕量化方面做出了大量的研究。文獻(xiàn)［3］利用近似模型與NSGA-Ⅱ遺傳算法對車門進(jìn)行輕量化研究。文獻(xiàn)［4］提出了一種基于連續(xù)Taguchi和TOPSIS-熵的多目標(biāo)離散穩(wěn)健優(yōu)化算法，在滿足性能要求的情況下實(shí)現(xiàn)了車門的輕量化。文獻(xiàn)［5］提出一種基于6σ穩(wěn)健性的軋制差厚板車門多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，既獲得了最優(yōu)妥協(xié)解，也提高設(shè)計(jì)變量的可靠性和目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性。文獻(xiàn)［6］建立徑向基函數(shù)近似模型，并利用自適應(yīng)模擬退火法進(jìn)行優(yōu)化求解，實(shí)現(xiàn)了白車身的輕量化。文獻(xiàn)［7-8］建立Kriging近似模型，并使用合理的算法，在滿足性能要求的情況下進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。因此，這里打算利用徑向基函數(shù)近似模型并搭配遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分析。

這里根據(jù)前門性能分析結(jié)果，對其過剩性能進(jìn)行輕量化研究。首先利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)對鈑金件進(jìn)行篩選，應(yīng)用哈默斯雷采樣法采集樣本點(diǎn)用于構(gòu)建徑向基函數(shù)近似模型，再用拉丁超立方采樣法采集樣本點(diǎn)驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性，最后利用遺傳算法在滿足模態(tài)和剛度要求的情況下進(jìn)行輕量化計(jì)算。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于近似模型的優(yōu)化速度遠(yuǎn)快于實(shí)際模型，這對縮短優(yōu)化時間很有幫助。

2 前門有限元模型的建立

在有限元軟件中導(dǎo)入前門的數(shù)據(jù)模型，并劃分網(wǎng)格。鈑金件的網(wǎng)格大小選用8mm來進(jìn)行處理。汽車前門共有50312個2D單元，其中三角形單元為2406 個，占總數(shù)的4.8%。網(wǎng)格處理好以后，對鈑金件進(jìn)行模擬連接。螺栓通過RBE2來模擬，粘膠利用adhesive來實(shí)現(xiàn)，焊點(diǎn)通過使用ACM來實(shí)現(xiàn)。汽車前門有限元模型，如圖1所示。

圖1 前門有限元模型Fig.1 Frontdoor Finite Element Model

3 模態(tài)分析

3.1 模態(tài)理論

對前門進(jìn)行模態(tài)分析就是要了解汽車前門的固有振動特性，模態(tài)分析是車門分析的基礎(chǔ)。

建立多自由度系統(tǒng)振動微分方程，其表達(dá)式為：

式中：M、C、K—質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X—位移向量；F（t）—激勵力向量。

在計(jì)算自由模態(tài)時，C以及F（t）可以省略，因此，式（1）可簡化為：

由于其振動方程為常系數(shù)線性齊次微分方程，因此其解可以表達(dá)為：

式中：X0—模態(tài)矩陣；

ω—固有頻率；

φ—振動初始相位。

將式（3）帶入式（2）中，經(jīng)簡化后可得：

通過式（4）可以求得特征值ω2，也就可以計(jì)算出固有頻率ω。

3.2 模態(tài)分析結(jié)果

對前門進(jìn)行自由模態(tài)分析，由于最大的影響來自于低頻，所以重點(diǎn)觀察前門的前2階非零模態(tài)頻率。利用OptiStruct對汽車前門模型進(jìn)行模態(tài)分析的計(jì)算，模態(tài)結(jié)果，如圖2～圖3以及表1所示。模態(tài)頻率目標(biāo)值參考某汽車企業(yè)，通過觀察可以看出，前門的模態(tài)滿足使用要求。

圖2 前門一階彎曲模態(tài)Fig.2 Frontdoor First Order Bending Modal

圖3 前門一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)Fig.3 Frontdoor First Order Torsional Modal

表1 汽車前門模態(tài)Tab.1 Automotive Frontdoor Modal

4 剛度分析

車門剛度的大小對于汽車的密封性，安全性等性能有著重要的影響，因此分析車門剛度是有必要的。本次研究主要針對前門的扭轉(zhuǎn)、下垂以及側(cè)向剛度進(jìn)行分析。在本次研究中，剛度大小通過觀察加載點(diǎn)位移絕對值的大小來判斷，企業(yè)一般要求在規(guī)定載荷下，扭轉(zhuǎn)剛度加載點(diǎn)位移絕對值要小于6mm［9］，下垂剛度加載點(diǎn)位移絕對值要小于4.5mm［10］，側(cè)向剛度加載點(diǎn)位移絕對值要小于6mm［9］。

4.1 扭轉(zhuǎn)剛度分析

車門扭轉(zhuǎn)剛度是指車門抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。首先要約束前門，對前門的兩個鉸鏈位置的六個自由度全部進(jìn)行約束限制，對前門鎖扣位置的三個平動自由度進(jìn)行約束限制，然后在前門窗框的后下部施加一個900N 的載荷［9］，載荷的方向是由內(nèi)向外。扭轉(zhuǎn)剛度加載、約束方式和計(jì)算結(jié)果，如圖4、圖5所示。

圖4 扭轉(zhuǎn)剛度加載與約束方式Fig.4 Torsional Stiffness Loading and Constraint

圖5 扭轉(zhuǎn)剛度加載點(diǎn)位移Fig.5 Torsional Stiffness Loading Point Displacement

由圖5可知扭轉(zhuǎn)剛度加載點(diǎn)位移絕對值為3.103mm，前文提到位移絕對值應(yīng)小于6mm，因此前門扭轉(zhuǎn)剛度滿足要求。

4.2 下垂剛度分析

車門下垂剛度表示車門抵抗自身重力和垂直載荷變形的能力。對前門的兩個鉸鏈位置的六個自由度全部進(jìn)行約束限制，對前門鎖扣位置的Y方向平動進(jìn)行約束限制，然后在前門鎖扣位置處施加一個800N的沿Z軸向下的載荷［10］。下垂剛度加載、約束方式和結(jié)果，如圖6、圖7所示。

圖6 下垂剛度加載與約束方式Fig.6 Sagging Stiffness Loading and Constraint

圖7 下垂剛度加載點(diǎn)位移Fig.7 Sagging Stiffness Loading Point Displacement

由圖7可以看出，下垂剛度加載點(diǎn)位移的絕對值為4.065mm，前文提到的位移絕對值應(yīng)小于4.5mm，因此前門下垂剛度滿足要求。

4.3 側(cè)向剛度分析

車門側(cè)向剛度是指車門后上方位置抵御施加于車門主平面垂直方向載荷變形的能力。對前門的兩個鉸鏈位置的六個自由度全部進(jìn)行約束限制，對前門鎖扣位置的三個平動自由度進(jìn)行約束限制，在前門后上方施加一個沿Y軸的200N 的載荷［9］，其方向?yàn)橛蓛?nèi)向外。側(cè)向剛度加載與約束方式，如圖8 所示。側(cè)向剛度結(jié)果，如圖9 所示。由圖9 可知側(cè)向剛度加載點(diǎn)位移絕對值為4.208mm，前文提到位移絕對值應(yīng)小于6mm，因此前門側(cè)向剛度滿足要求。

圖8 側(cè)向剛度加載與約束方式Fig.8 Lateral Stiffness Loading and Constraint

圖9 側(cè)向剛度加載點(diǎn)位移Fig.9 Lateral Stiffness Loading Point Displacement

5 前門輕量化研究

通過前兩節(jié)可以看出，汽車前門的性能完全滿足使用要求，并且性能過剩，因此可以通過犧牲一部分過剩的性能來實(shí)現(xiàn)輕量化的目標(biāo)。優(yōu)化流程，如圖10所示。

圖10 汽車前門優(yōu)化流程圖Fig.10 Automotive Frontdoor Optimization Flowchart

5.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Design of Experiment，DOE）是一種安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法［11］。確定哪些變量對所設(shè)定響應(yīng)的影響最大是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的功能之一。因此可以通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)篩選出對剛度、模態(tài)影響較大的設(shè)計(jì)變量。

Plackett-Burman是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一種。它可以通過比較每個因子兩水平的差異以及整體的差異來確定因子的顯著性，從而實(shí)現(xiàn)篩選因子的目的［11］，因此這里通過該方法來篩選設(shè)計(jì)變量。

將前門的10個鈑金件定義為設(shè)計(jì)變量，選取結(jié)果，如表2所示。通過Plackett-Burman試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，以前門模態(tài)、扭轉(zhuǎn)剛度、下垂剛度、側(cè)向剛度以及質(zhì)量為響應(yīng)，經(jīng)過迭代計(jì)算，找出對車門模態(tài)、剛度以及質(zhì)量影響較大的鈑金件。分析結(jié)果，如圖11所示。

表2 鈑金件選取Tab.2 Selection of Sheet Metal Parts

圖11 設(shè)計(jì)變量對前門性能的主效應(yīng)圖Fig.11 Main Effect Diagram of Design Variables on Frontdoor Performance

圖11 中直線從左到右分別為T1～T10。每條直線都表示其鈑金件對車門的影響。直線越傾斜，說明該鈑金件發(fā)生改變時，對車門的影響越大，越平緩的線，說明改變此件，對車門的影響越小。通過觀察可以看出，T1、T2、T3、T4、T5、T6的線更加傾斜，說明改變這些鈑金件對車門的影響較大，因此將其作為設(shè)計(jì)變量。

5.2 近似模型的建立

仿真計(jì)算是需要消耗大量時間的，對于復(fù)雜的模型來說，簡單的幾個變量都可能需要相當(dāng)長的時間來計(jì)算，因此用簡單的數(shù)學(xué)近似模型來替代復(fù)雜的實(shí)際模型，可以縮短計(jì)算時間，提高優(yōu)化效率［12］。許多學(xué)者在研究類似課題時，都采用了Kriging近似模型。徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）模型具有很強(qiáng)的逼近復(fù)雜非線性函數(shù)的能力［13］。徑向基函數(shù)和Kriging法的適用性相似，對于具有許多設(shè)計(jì)變量的研究則使用徑向基函數(shù)法更加合適，而且使用徑向基函數(shù)進(jìn)行擬合時，其速度比Kriging 法更快。目前徑向基函數(shù)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到函數(shù)逼近、模式識別、圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺、信號處理、時間序列、醫(yī)藥控制、軍事系統(tǒng)以及優(yōu)化等領(lǐng)域［14］。因此本次研究建立徑向基函數(shù)近似模型來替代實(shí)際模型。

5.2.1 徑向基函數(shù)基本理論

徑向基函數(shù)（RBF）是通過線性疊加構(gòu)造出的模型，其中包括自變量與基函數(shù)。自變量為待測點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐幾里得距離，基函數(shù)為徑向函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：p(x)—多項(xiàng)式；

一家地市級醫(yī)院的發(fā)展空間有多大？在全國不少地市級醫(yī)院切身感受到“夾心層”尷尬之時，滄州市中心醫(yī)院在區(qū)域醫(yī)療版圖中的引領(lǐng)角色已更加固化，并在新時代醫(yī)療勢能與動能交匯下，打造出“大三環(huán)”醫(yī)療服務(wù)體系。

ωi—權(quán)系數(shù)；

φ—徑向函數(shù)；

‖x-xi‖—?dú)W幾里得距離。

5.2.2 構(gòu)建徑向基函數(shù)近似模型

這里先采用哈默斯雷采樣法選取200個樣本點(diǎn)，建立徑向基函數(shù)近似模型，然后再用拉丁超立方采樣法選取20個樣本點(diǎn)以驗(yàn)證所建的模型是否準(zhǔn)確。以彎曲模態(tài)與下垂剛度的近似模型為例，其3D顯示，如圖12、圖13所示。以鈑金件T3和T5厚度采樣為例，采樣結(jié)果，如圖14所示。

圖12 彎曲模態(tài)近似模型Fig.12 Bending Modal Approximate Model

圖13 下垂剛度近似模型Fig.13 Sagging Stiffness Approximate Model

圖14 哈默斯雷與拉丁超立方采樣Fig.14 Hammersley and Latin Hypercube Sampling

對于模型精度的評價，一般常用決定系數(shù)（R2）、平均相對誤差（RAAE）和均方根差（RMSE），R2、RAAE 和RMSE 的計(jì)算公式如下［12］。樣本點(diǎn)響應(yīng)誤差統(tǒng)計(jì)，如表3所示。

表3 樣本點(diǎn)響應(yīng)誤差統(tǒng)計(jì)Tab.3 Sample Point Response Error Statistics

式中：(x)—響應(yīng)的實(shí)測值；yi(x)—響應(yīng)的預(yù)測值；(x)—響應(yīng)的實(shí)測值的平均值；N—樣本點(diǎn)數(shù)目。

當(dāng)R2的值越接近于1，RAAE和RMSE的值越趨近于0時，表示構(gòu)建的近似模型的精度越高。從表3可以看出，R2都接近于1，RAAE 和RMSE也都接近于0。說明此近似模型的精度相當(dāng)高，因此可用來替代實(shí)際模型進(jìn)行優(yōu)化。

5.3 基于遺傳算法的輕量化設(shè)計(jì)

遺傳算法是一種模擬生物遺傳繁殖機(jī)制的優(yōu)化算法［15］，通過編碼對設(shè)計(jì)空間進(jìn)行遺傳操作，對于適應(yīng)度較強(qiáng)的個體可以被選擇繁殖。遺傳算法具有很好的魯棒性，可用來求取全局優(yōu)化中的最優(yōu)解。這里以近似模型代替實(shí)際模型進(jìn)行分析計(jì)算，以篩選過后的鈑金件T1～T6厚度作為設(shè)計(jì)變量，對前門彎曲、扭轉(zhuǎn)模態(tài)，扭轉(zhuǎn)、下垂以及側(cè)向剛度的加載點(diǎn)位移的絕對值進(jìn)行約束，以質(zhì)量最小為目標(biāo)，應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行計(jì)算。前門質(zhì)量的迭代，如圖15所示。鈑金件優(yōu)化結(jié)果，如表4所示。

圖15 前門質(zhì)量迭代Fig.15 Frontdoor Mass Iteration

表4 鈑金件優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Sheet Metal Parts Optimization Results

前門輕量化數(shù)學(xué)模型如下：

式中：M（x）—前門質(zhì)量；f1與f2—前門彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)；|d1|、|d2|、|d3|—扭轉(zhuǎn)、下垂、側(cè)向剛度加載點(diǎn)位移的絕對值；T—設(shè)計(jì)變量厚度。

5.4 優(yōu)化結(jié)果對比

將鈑金件厚度修改為最終取值并進(jìn)行計(jì)算，優(yōu)化前后結(jié)果對比，如表5 所示。通過圖表可以看出，前門質(zhì)量降低了2.54kg，降低了15.65%。雖然模態(tài)和剛度都有所降低，但也都在目標(biāo)要求之上。

表5 優(yōu)化前后結(jié)果對比Tab.5 Comparison of Before and After Optimization Results

5.5 優(yōu)化時間對比

在利用近似模型完成優(yōu)化后，又使用原本的實(shí)際模型在相同的約束條件下進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。兩次優(yōu)化時間消耗，如表6所示。可以看出使用近似模型縮短了91.68%的時間，大大降低了時間消耗。

表6 優(yōu)化耗時對比Tab.6 Optimization Time Consuming Comparison

6 結(jié)論

對汽車前門進(jìn)行輕量化研究，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)篩選合適的鈑金件作為設(shè)計(jì)變量，應(yīng)用哈默斯雷采樣法構(gòu)建徑向基函數(shù)近似模型，利用拉丁超立方采集樣本點(diǎn)用于驗(yàn)證所建的模型是否準(zhǔn)確，最后在近似模型的基礎(chǔ)上，利用遺傳算法作為優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果顯示在滿足模態(tài)和剛度要求的情況下，前門質(zhì)量大幅度降低，優(yōu)化時間大幅度縮短。說明徑向基函數(shù)近似模型的建立對準(zhǔn)確高效地優(yōu)化很有幫助，可以為今后的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可行的途徑以及參考的依據(jù)。