橡膠隔振器非線性動態特性計算方法研究

杜奕函 胡紹全 杜強

橡膠隔振器非線性動態特性計算方法研究

杜奕函 胡紹全 杜強

（中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

通過正弦掃頻試驗對橡膠隔振器軸向非線性動態特性進行研究，發現橡膠隔振系統響應具有明顯的激振頻率相關性。建立了基于FVMS高階分數導數模型的修正本構模型，并給出隔振系統動剛度和阻尼系數的計算方法，基于非線性最小二乘法原理結合掃頻試驗結果，識別得到中低頻段和共振頻段的模型參數，與試驗結果比較，所建立的模型能夠精確地描述橡膠隔振系統中低頻段和共振頻段動態特性隨激振頻率及位移幅值的變化規律，并預測出隔振系統的加速度響應及共振頻段的出現，且在其他工況下也具有較好的預測結果，說明建立的模型能夠精確地描述橡膠隔振器的軸向動態特性并具有一定的適用性及推廣性。

橡膠隔振器；分數導數；非線性本構模型；動態特性

0 引言

振動隔離是工程上解決振動問題的常用手段[1,2]。橡膠材料具有超彈性、易變形等獨特的物理和化學特性，常與金屬部件結合，用于系統的振動隔離和減振降噪[3]。橡膠隔振器由于結構緊湊、工藝性好、成本低廉等特點，是目前應用最多的一類隔振器。橡膠隔振器的動態力學特性直接影響著隔振效果[4]。實驗分析表明，橡膠隔振器的動態特性不僅與溫度等條件有關[5,6]，還與激振頻率及激振位移幅值相關，呈現出明顯的頻率及幅值非線性。

隔振橡膠材料的粘彈性與其動態力學行為緊密相關，一般采用儲能模量、損耗模量和阻尼系數來刻畫橡膠隔振系統的動態力學特性[7]。傳統的機械模型已被廣泛用于描述橡膠隔振器的粘彈性，如Kelvin-Voigt模型、三參數Maxwell模型以及廣義Maxwell模型等，這類模型比較直觀，但需要辨識的參數多，計算量大[8,9]。在機械模型之后提出的分數導數模型因僅用少量參數就能描述材料的粘彈性以及能反映加載歷程對橡膠材料動態特性的影響而備受關注，如分數導數KV模型、分數導數Zener模型以及五參數分數導數模型等[10-14]，但這類模型均為最高階次不大于1的低階分數導數模型，往往需要改進模型才能較好地吻合實驗數據，增加了模型的復雜程度和計算工作量。高階分數導數模型（參數取不同值時最高階次大于1）的提出[7,15,16]，使得精確描述粘彈性非線性動態力學行為成為可能。然而國內外應用高階分數導數模型對橡膠材料動態力學行為開展工作還相對較少。無論是使用傳統機械模型還是分數導數模型，前人的工作多關注中低頻段隔振系統的動態特性，鮮有人研究共振頻段的動態特性變化規律。

本文以典型橡膠隔振器為研究對象，在寬頻范圍內進行軸向正弦掃頻試驗，分析其中低頻段和共振頻段的激振頻率相關性。建立基于FVMS（fraction Voigt and Maxwell model in series）高階分數導數模型的修正本構模型，并結合試驗結果對模型參數進行識別，將計算結果與傳統機械模型以及低階分數導數模型計算結果進行比較，并進行多工況下動態力學特性的預測，驗證所建立的模型能夠比較精確地描述橡膠隔振器中低頻段和共振頻段的動態特性并具有一定的適用性及推廣性。

1 橡膠隔振器掃頻振動研究

1.1 振動系統的傳遞函數

當基礎做正弦運動時，具有阻尼的多自由度系統的運動方程為

進行坐標變換

其物理意義為：在點作用單位力時，在點所引起的響應。上述函數關系與激振力的頻率有關，稱為傳遞函數，也就是機械導納。雖然針對加速度、速度、位移的傳遞函數形式有所差別，但當基礎做正弦運動時，三者相對于隔振系統的傳遞率是相等的[17]。

1.2 掃頻試驗研究

1.2.1振動參數的設定

1.2.2掃頻試驗布點

為研究橡膠隔振器軸向動態特性，隔振系統連接結構軸向振動試驗方向示意圖見圖1。圖2是試驗使用的典型的橡膠隔振器結構圖。其中隔振器使用的橡膠材料是三元乙丙橡膠和丁基橡膠的復合橡膠（型號：R-EP/IIR-S001），該隔振器的設計使用壽命是6年。

在安裝板上對稱布置4個加速度控制點，在試件上布置5個加速度測點，控制點及測點位置見圖3和圖4。

圖1 軸向振動試驗示意圖

圖2 典型的橡膠隔振器

圖3 安裝板控制點位置

圖4 試件測點位置

1.3 幅頻響應曲線

在實驗室室溫條件下對橡膠隔振系統進行20Hz～300Hz范圍的正弦掃頻試驗，掃描速率為1oct/min，振動量級為0.5g、2.0g、4.0g三種量級，采用四點平均控制。以測點A5的響應為例，得到橡膠隔振系統的加速度和振幅放大因子曲線如圖5～圖6所示。其他測點數據與圖5、圖6相似。

圖5 加速度響應曲線

圖6 振幅放大因子曲線

通過加速度響應曲線和放大因子曲線可以發現，在20Hz～300Hz頻率范圍內：1）在激振頻率較低時，隔振系統的加速度響應基本等于振動量級，意味著位移響應也基本不變，由此可以得到在不同激振量級下隔振系統的剛度變化在低頻基本保持一致；2）同一個頻率點下，激振量級不同，激振位移幅值各不相同；3)隨著激振量級的增加，振動系統的加速度響應也在增加，固有頻率在逐漸減小。但從圖6來看未見橡膠隔振系統呈現出明顯的幅值非線性。表明橡膠隔振系統動態力學行為呈現出明顯的頻率非線性。溫度條件對于橡膠隔振器的動態力學特性有一定影響[5,6,11]，本文在進行試驗時室溫維持在23℃～25℃，在后續分析工作中暫不考慮溫度因素的影響。

1.4 動剛度和阻尼系數的計算

1.4.1阻尼比

1.4.2 動剛度

得到隔振系統響應位移如圖7所示。已知激振量級、系統質量的情況下，可以計算出系統受到的激振力，并根據動剛度等于激振力與系統響應位移的比值關系

得到隔振系統動剛度隨頻率變化如圖8所示。

選取頻率點90Hz到240Hz為共振頻段，在此頻段之前為中低頻段。從圖7可以得到，在20Hz～300Hz頻率范圍內，對于正弦掃頻試驗，在振動量級一定的情況下，響應位移隨著激振頻率的增加而減小，在共振區附近出現極大值，經過共振區后隨著頻率的增加持續減小。圖8說明在20Hz～300Hz頻率范圍內，振動量級一定時，隔振系統的動剛度在中低頻段隨著頻率的增加而增加，到達共振區附近開始減小出現極小值，這很好地解釋了共振區響應傳遞率出現極大值的原因，剛度減小，系統的變形增大，而后動剛度隨著頻率的增大持續增加。

圖7 不同振動量級隔振系統的響應位移

圖8 不同振動量級動剛度隨頻率變化

1.4.3阻尼系數

根據1.4.1節計算出的阻尼比隨頻率變化如圖9所示，又因為

由此計算出隔振系統的阻尼系數如圖10所示。

從圖9可以得到，阻尼比在激振頻率遠離共振區域即在中低頻率范圍內，隨著頻率的增加而減小，在激振頻率經過共振區時基本保持不變并出現不明顯的極大值，之后隨著頻率的增加繼續減小。

阻尼系數的變化與阻尼比類似。從激振頻率較低時，響應位移產生，阻尼系數隨著頻率的增加而增加。當靠近共振區域時開始減小，經過共振區域出現極大值，這與隔振器響應位移變化趨勢相符合，當系統振動以后，在響應位移逐漸減小時，高分子橡膠結構自身的摩擦力在減小導致阻尼系數減小。在高頻段響應位移逐漸減小，此時阻尼已不再起主要控制作用。

綜上所述，隔振系統的非線性特性表現為動剛度和阻尼系數呈現明顯的激振頻率非線性，本文采用高階分數導數本構模型對動剛度和阻尼系數的非線性特性進行預測。

圖9 不同振動量級阻尼比隨頻率的變化

圖10 不同振動量級阻尼系數隨頻率的變化

2 高階分數導數本構模型

本文通過分數導數Maxwell和分數導數KV模型串聯得到的FVMS（fraction Voigt and Maxwell model in series）[7,15]高階分數導數模型對隔振系統非線性力學行為做出描述及預測。

2.1 FVMS高階模型

圖11 FVMS高階分數導數模型

2.2 復剛度與阻尼系數推導

根據圖11，結合應力應變串并聯關系

同時有

得到力-位移關系為

進行頻域與時域的變換，分離實部與虛部可以計算得到動剛度實部、虛部和損耗因子，從而計算出隔振系統的動剛度，其過程稍顯繁瑣，本文不再贅述。復剛度與損耗因子表示為

阻尼比與材料力學損耗因子之間存在如下關系

結合式（9）進而計算出隔振系統的阻尼系數。

3 橡膠隔振器動態特性分析

3.1 中低頻段分析

3.1.1 模型修正與參數識別

激勵頻率在20Hz～60Hz范圍內，隔振系統動剛度在不同振動量級下基本保持一致，90Hz以后開始接近共振區域，因此先選取振動量級0.5g，2g，4g三種工況下60Hz～90Hz試驗數據進行參數識別。分數導數階數基于非線性最小二乘法擬合初始參數如表1所示。

表1 中低頻段分數導數階數參數識別結果

結合試驗結果，使用二次多項式擬合各參數與振動量級、激勵頻率之間的關系

3.1.2中低頻段不同模型計算結果對比

以振動量級0.5g正弦激勵工況為例，將基于修正的FVMS高階模型計算結果與其它模型計算結果進行對比，如圖12～圖15所示。

從圖12～圖15可以看出，傳統的粘彈性模型和低階分數導數模型只能在比較小的頻率范圍內與試驗結果相接近，但在大部分頻率區域，擬合結果與試驗數據相去甚遠。而基于修正的高階分數導數模型可以在較寬頻率范圍內與試驗結果相吻合，這充分體現了高階分數導數粘彈性模型的優勢，說明了利用FVMS高階模型來預測粘彈性材料的動力學響應是比較精確的，有助于后續工作的開展。

3.1.3多工況中低頻段預測結果

基于修正的FVMS高階分數導數模型進行三種振動量級60 Hz～90 Hz頻率范圍正弦激勵工況計算（取一半頻率點），結果如圖16～圖17所示。

圖12 振動量級0.5g動剛度實部預測值

圖13 振動量級0.5g動剛度虛部預測值

圖14 振動量級0.5g動剛度預測值

圖15 振動量級0.5g阻尼系數預測值

從圖16～17可以看出，修正的分數導數高階模型對于預測三種工況中低頻范圍內的動態特性效果較好，能描述出動剛度和阻尼系數在中低頻范圍內隨著激振頻率增加的變化規律。動剛度預測結果比較精準，誤差控制在5%以內，而阻尼系數計算的誤差相較于動剛度偏大，這可能是由于預測動剛度實部、虛部精確度不夠造成的。

圖16 中低頻段多工況動剛度預測值

圖17 中低頻段多工況阻尼系數預測值

3.2 共振頻段分析

共振區域的振動響應是造成振動危害的主要原因之一，預測出共振區域的動態特性變化對于振動危害的防護十分重要。

3.2.1參數識別

選取振動量級0.5g，2g，4g三種工況下共振頻段試驗數據進行參數識別。基于非線性最小二乘法擬合初始參數結果如表2所示。

表2 共振段分數導數階數參數識別結果

共振段分數導數系數識別結果

3.2.2共振頻段動態特性預測結果

三種振動量級不同工況下的動剛度、阻尼系數計算結果如圖18～圖19所示。由圖18～圖19可知，在接近共振區域時，曲線較平滑，拐點較少，預測結果比較準確。在經過共振區域時，動剛度和阻尼系數出現拐點，預測結果有一定偏差。但計算曲線能較好地反映動剛度和阻尼系數在靠近共振段之前隨頻率增加/減小，在經過共振區域時出現極小/大值的現象，說明基于修正的FVMS高階分數導數模型能較好地預測此類橡膠隔振器的動態特性并具有較高的預測精度。

圖18 共振頻段多工況動剛度預測值

圖19 共振頻段多工況阻尼系數預測值

3.3 頻響曲線預測

將之前計算得到的動剛度、阻尼系數帶入（22）式，得到系統在0.5g、2.0g、4.0g三種振動量級下的加速度響應預測如圖20所示。

圖20 多工況系統加速度響應預測

Fig.20 Acceleration response prediction for multi-case systems

從圖20可看出，前文計算的數據能夠較好地預測出振動系統的加速度響應曲線，說明基于修正的FVMS高階分數導數模型對于預測橡膠隔振器的系統響應具有較高的精度，并且能夠反映振動系統共振區的力學特性及預測共振頻段的出現。

3.4 模型其他工況預測

基于修正的FVMS高階分數導數模型，以3.2節中三種工況下識別出的初始參數對橡膠隔振器在振動量級1.0g、8.0g工況下中低頻段和共振頻段的動態特性進行模型外推與內插驗證計算，如圖21～圖22所示。從圖21～圖22可以看出所建立的模型對于其他工況的動態特性預測結果有一定誤差，但整體精度較高，能夠較好地描述出隔振系統的動剛度和阻尼系數隨激振頻率及激勵位移幅值變化之間的關系，說明所建立的模型具有一定的適用性。并可以得到如圖23所示的幅頻響應曲線預測圖。

圖21 其它工況動剛度預測值

圖22 其它工況阻尼系數預測值

圖23 其它工況系統響應預測

4 結論

1）以某橡膠隔振器為載體，構造典型隔振系統，通過正弦掃頻試驗發現隔振系統動剛度、阻尼系數與激振頻率、激振位移幅值有關，其動態力學行為呈現出明顯的頻率非線性。

2）建立了基于FVMS高階分數導數模型的修正本構模型，并給出了動態剛度和阻尼系數的計算方法，與傳統的粘彈性本構模型及低階分數導數模型進行對比，發現本文所建立的模型在中低頻段、共振頻段均具有較高的預測精度。在振動量級0.5 g、2.0 g、4.0 g三種工況下進行參數識別，所建立的模型能夠較好地預測隔振系統動態特性隨激振頻率及位移幅值的變化規律。

3）基于模型計算得到的動態剛度及阻尼系數，解出了隔振系統的幅頻響應曲線并與試驗結果進行比較，發現所建立的模型及采用的計算方法能夠較好地預測橡膠隔振器的加速度響應。

4）本文所建立的模型具有較高的整體預測精度及一定的適用性和推廣性。

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Study on Computing Method of Nonlinear Dynamic Characteristics of Rubber Isolator

DU Yi-han HU Shao-quan DU Qiang

（Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621999，China)

The axial nonlinear dynamic characteristics of the rubber isolator are investigated by means of sinusoidal frequency sweep tests, and it is found that the response of the rubber isolation system has a significant excitation frequency dependence. A modified principal structure model based on the higher-order fractional derivative model of the FVMS is established, and the dynamic stiffness and damping coefficients of the vibration isolation system are calculated. The model can accurately describe the dynamic characteristics of the rubber isolation system in the low frequency and resonant frequency bands with the frequency and displacement amplitude, and predict the acceleration response of the vibration isolation system and the occurrence of the resonant frequency band, and also has good prediction results in other operating conditions, It shows that the model developed can accurately describe the axial dynamic characteristics of the rubber isolator and has certain applicability and extension.

Rubber isolator; Fractional derivative; Nonlinear constitutive model; Dynamic characteristics

TB535.1

A

1006-3919(2022)03-0036-09

10.19447/j.cnki.11-1773/v.2022.03.006

2022-02-19；

2022-5-20

國家自然科學基金面上項目（11872059）

杜奕函（1998—），男，碩士研究生，研究方向：結構動力學；（621999）四川省綿陽市919信箱419分箱.