發展數學說理能力 促進學生深度學習

福建省廈門市第五中學 萬珠明

數學說理能力是指以高階思維的發展和實際問題的解決為目標,學生通過說理，引發了深層次的數學思考，迸發了潛能，深化了對數學本質的理解。學生從“知其一不知其二”的淺層學習向深度學習延展，從而達成學生高階思維能力的培養，數學學習的魅力也會逐步凸顯，學習走向深度，最終達成“想明白、說清楚”的深度學習的培養目標。

深度學習的核心是發展素養、提高能力，要讓學生學會主動思考、經歷過程、學會質疑、批判運用與思維進階。隨著課堂教學改革的深入，針對小學數學課堂的深度學習更是越來越多地被關注與研究。而數學說理是一項重要的數學素養，學會說理是學科語言素養和思維能力不斷累積與進階的過程，在這個過程中學生的學習經驗、數學表達能力、思維邏輯體系不斷地得到提高和完善。如何基于知識學習的廣度、深度、關聯度來發展數學說理能力，讓“深度學習”真實落地，最終使學生獲得數學學科素養的發展，達成立德樹人的根本任務，是需要我們在教育教學中不斷地學習與鉆研的。

一、創設有效情境，提供說理機會

恩格斯說：“數學是一門研究數與形的空間形式的學科。”教師應該創設學生熟悉的問題情境，充分調動學生學習的積極性，讓數與形越發生動有趣。通過愉悅的、豐富有趣的情境，帶領學生融入暢所欲言、安全的、自由的學習場景中來，激發學生言說表達的欲望，讓更多的不同層次的孩子有意愿、有機會、有勇氣來表達自我?；趯W情設計好科學的問題情境就是在為學生搭建深化認識的腳手架，良好地構設新舊知識的聯結，孵化了說理的載體。

我們通過創設情境讓學生回到分數的定義中去。分數的定義：將一個整體平均分成m份，表示這樣的1份或n份的數叫作分數。這里對“n份”沒有限制，它可以是任何自然數。學生受“真分數”學習的前攝抑制，往往覺得分數就要分子小于分母。我們采用這樣的累加情境的設計，可以很好地突破這一障礙，孵化說理能力。這樣的設計著眼于學生學習困惑上的調整，使假分數概念的建構有更適宜的土壤，讓學生實現了深度學習的開啟。

教師利用合適的情境組織數學學習活動，搭建情與理相融的課堂，能夠促進師生之間、生生之間的交流對話，實現學習過程中的深度互動。

二、重視活動經驗，積淀說理載體

學生對抽象的數學知識的理解和表達是有難度的，我們可以借助幾何直觀地讓學生親身經歷、感受。學生在體驗中調動多種感官參與，發展學習數學的興趣，提升了思維的主動性和深刻性，并在探索的過程中逐步加深對知識的理解。通過活動經驗的積累，孩子的說理能力自然會積淀，也逐步實現形象化到抽象化思維的進階，深入思考數學知識、規律等背后隱藏的道理，達成深度學習。

例如，在教四年級“三角形內角和”這節課時，教師可以通過提出關鍵問題“你想研究三角形的內角和的度數嗎？”“誰來說說你是怎么研究出結論的？”“三角形內角和和什么無關？”，結合關鍵活動開展探究：“初次猜想→測量（再猜想）→驗證→再次驗證”，多個維度的活動讓說理更有理有據，學習走向深度。

活動探究：①初次猜想：三角形內角和是多少度？

②測量：測量形狀、大小不一的三角形內角和大約是多少度。

③驗證：開展小組合作，利用三角形、四邊形紙質學具，通過剪、拼、折等驗證你的猜想。

④再次驗證：借助信息技術幾何畫板動畫演示進行再次驗證。

教師創設螺旋上升的科學探究活動，讓學生積累了基本活動經驗，重組和完善了知識結構。活動中學生實踐、交流、碰撞，獲得“三角形內角和是180°”，并通過活動感受到三角形的內角和與它的形狀、大小、邊長無關這一知識本質。數學說理如果停留在語言上的空對空，那么學習必是淺層次的，知識一定是容易遺忘的。我們借助數學活動經驗體驗和累積，豐富學生的認知和理解，并在實際應用中深化活動經驗，進而助力學生有深度地思考與學習。

三、巧用多元表征，厚植說理深度

說理表達，不僅僅是言說表達，也包括非言說表達。言說表達和非言說表達都指向揭示數學知識的本質。常見的非言說表達有畫示意圖、直觀演示、紙筆演繹、操作實驗等多元表征方式。當學生言說表達有困難的時候，我們可以借助多元表征來輔助表達。以概念教學為例，它往往比較單一、抽象，我們更要充分利用多元表征方式，表征越豐富，學生對概念的理解會越到位，越能認識其本質。如果教師的教學都僅用單一表征來呈現的話，學生無法獲取到更多更全的信息，也就會產生更差異化的獲得。所以我們應該更合理地利用多維表征、多角度思考等方式開展教學，助力學生抽象歸納的思維進階，發展推理分析、模型建構的數學思考，促進了對數學深度學習的構建，同時也培養了學生思維的嚴謹性和數學語言的精練性。

例如，在教“行程問題”中，怎樣才能更好地理解分析兩車運動的場景，區分相向而行、同向而行、背向而行等多種運動情境？我們可以引導學生畫線段示意圖，還可以借助肢體語言，通過比一比、指一指、模擬演示等表征方式，讓學生在演示的過程中將自己的思維外顯，這將使學生理解得更深刻。

又如在教二年級“認識千以內的數”時，利用多種表征幫助學生學習、認識數的意義和本質，例題定格重點數“324”，學生以小組為單位自主選擇用小棒、方塊圖和計數器來表示出“324只小動物”，利用直觀、具體的學具，從多種角度幫學生抽象出“324”，理解這個數的意義和組成。教師還可繼續聯系生活，把抽象的數具體化，使學生在多種情境中理解現實生活中數的意義。例如，“206”這個數，課上學生親眼看到用10×10數豆神器數出黃豆206粒；身臨其境地量出NBA球星的身高有206厘米；親自數出一篇小文章有206個字；還科普了成人骨骼有206塊。從數量多少、高度以及所占平面的大小等多種維度形成對“206”這個數豐富意義的準確認識。教師從學生原有知識經驗出發，緊扣學生的認知特點，利用多種表征方式引導學生經歷“操作→圖示→符號→生活”等表征方式，培養學生的說理能力，發展學生數感，促進學生深度學習與數學思考的構建。

四、問題驅動探索，提升說理邏輯

學生如果僅僅以輸入接受作為學習方式，久而久之會不愛思考，自己的理性、思辨思維也會難以發展。在數學深度學習中，我們要使學生積極投入，高階認知參與，要創設有意義的問題驅動，促使學生能在多角度思考后展開綜合分析后有條理且清晰地說明知識的緣由，使思維向深度發展。

例如，在五年級“3的倍數的特征”這一課，學生經歷從2、5的倍數的特征的探究引發對3的倍數的初次猜想→通過結合百數表進行圈畫3的倍數進行初次驗證→拋出疑問“百數表外的數，3的倍數的特征是否同樣適用”通過借助計算器再次驗證。通過小組合作探究的形式，揭示“百數表的秘密”，學生清楚地看到了百數表3的倍數的排列分布特點，從抽象到具體，讓學生全面研究了3的倍數的特征，在歸納推理中得出結論。

學生經歷了一系列的真實體驗后，教師以問題驅動探索：“為什么2、5的倍數只需要看個位？而3的倍數卻要看各個數位上的數字和？判斷17是不是3的倍數，為什么只看1+7就行？這里的兩個‘1’是一樣的嗎？”教師利用小棒圖圈一圈、畫一畫、想一想等直觀方式，讓學生的思維從“合情”走向“合理”，對知識本質內涵有了更深的理解。教師可以設置以下活動。

活動a：借助小棒圖直觀理解：3的倍數為什么把各個數位上的數加起來呢？師生一起分一分。(見圖1)

圖1 活動a小棒圖

師：我們利用小棒圖，先從簡單的數17開始，它是不是3的倍數，為什么只看1+7就行了？

引導學生思考、探索，小組合作開展說理，最后達成共識：十位上的“1”，用一捆10根來表示，3根3根地分，會余下1根，1根再加上個位上的“7”也就是7根，總共就余下1+7=8根，8不能被3整除，所以17不是3的倍數。

活動b：放手讓學生在理解的基礎上，繼續分一分，解釋判斷36是不是3的倍數，為什么只看3+6就行了。(圖2)

圖2 活動b小棒圖

學生依托種子問題開展思考、探索、說理后，繼續開展小組合作自主說理，最后達成固化說理：十位上的“3”，用三捆10根來表示，3根3根地分，會余下三個1根，共3根，3根再加上個位上的“6”也就是9根，也就是3+6=9根，9能被3整除，所以36是3的倍數。

活動c：這次不分了，想一想：判斷118是不是3的倍數，為什么只看1+1+8就行了？

學生從在說理的過程，逐步從直觀推理走向抽象推理，發展了邏輯推理能力。理解了118=100+10+8=(99+1)+(9+1)+8=(99+9)+1+1+8，而99和9都是3的倍數，那最后余下的就是1+1+8=10，10不能被3整除，所以118不是3的倍數。

學生通過問題驅動探究，分一分，想一想、算一算來說明為什么不同數位上的數字可以直接相加。學生在問題驅動下開展探究活動，并從中經歷直觀演示到用“數學說理”的方式來判斷3的倍數，深入理解知識的本質內涵，明析知識間的邏輯關聯，學生達成知識的深度理解。

五、加強習慣養成，固化說理能力

說理能力培養是為了教會學生學會思考、學會學習，學會質疑、學會論證，發展他們的思維和素養，但在實施說理課堂的過程中，教師應思考學生學習的真實發生，有時會因為擔心過多的言說表達，造成教學任務完不成，教師便以自己大量的講解或重復、機械化的操練代勞了學生的自主探究和深度思考。如此以往，學生的學習習慣培養不到位，傾聽、表達、合作、對話等能力訓練不到位，小組合作學習流于形式。

以“傾聽習慣”為例，傾聽是一種集合看、聽、辨、思等多種感官的綜合性行為，它可以達成相互認同、相互理解、相互支持的學習過程。善于傾聽的學生，思維一定會在傾聽與表達中可持續發展。當然這里的傾聽也同樣包含師生之間的傾聽，師生、生生間的相互“傾聽”，會使多元的、不同的觀點得到表達和尊重，課堂自然會碰撞出豐富多彩的思維火花，進一步固化說理能力，讓學習走向深處。

在實踐深度學習的課堂中，數學說理必不可少，它也是數學推理與證明的前奏。我們也切身感受到學生思維的廣度、深度、關聯度上的發展來源于教師教學過程中每一個環節的精心設計，學生對數學中關鍵概念、核心知識的理解不能僅僅是靠教師課堂的講授，教師要創設不同的學習情境，營造良好的說理氛圍，讓學生在數學說理中理解知識的內涵，切實掌握所學知識，條理清晰地分析問題，應用數學知識、發展數學思維，增強問題解決能力，促進深度學習的有效落地。