基于移動荷載傅里葉譜的橋梁共振頻域分析

李錦華，張煥濤，陳水生，劉全民

(華東交通大學 土木建筑學院,江西 南昌 330013)

列車速度是高速鐵路技術水平的最主要標志，然而，列車速度的不斷提升不僅會加劇橋梁動力響應，還會減少鐵路橋梁壽命。在高速列車作用下，鐵路橋梁除了避免產生過大的變形，還需要滿足乘客舒適度要求。因此，列車荷載作用下高速鐵路橋梁的共振響應研究至關重要[1-2]。

移動荷載與車-橋耦合是研究列車作用下橋梁共振響應的兩類模型[3]。對于列車激勵下橋梁共振問題的研究，可通過車-橋耦合模型的數值模擬進行，如橋梁跨徑、荷載速度、間距和荷載數量等參數的影響分析[4-6]。蘇木標等[5]采用車-橋耦合模型，發現橋梁共振的發生和發展受到許多參數的影響，如橋梁的跨度、剛度和阻尼，以及車輛的長度、懸掛彈簧剛度等參數。黃文杰等[6]基于列車-軌道-橋梁系統有限元分析，分析了橋梁結構參數對橋梁共振的影響，發現橋梁質量、剛度、阻尼比等參數變化將會對橋梁共振產生重要影響。與移動荷載模型相比，車-橋耦合模型計算得到的橋梁振動響應計算結果往往偏小[7-8]。因此，對橋梁振動響應研究時，可以采用移動荷載模型來模擬列車對橋梁的激勵荷載。呂龍等[9]采用移動荷載模型研究了斜拉橋的縱向共振機理，推導了縱向共振速度。高傳偉等[10]通過移動荷載模型對軌道交通橋梁進行了共振和消振響應的研究。文獻[11-14]首先根據發生機理的不同對橋梁共振進行了分類，然后分別進行單個移動荷載、等間距移動荷載、非等間距移動荷載作用下的橋梁共振與消振響應研究，并在時域內，理論推導了引起橋梁發生共振及消振的移動荷載速度。張鐸等[15]將等間距列車荷載簡化為簡諧移動荷載，分析了移動荷載的諧振頻率、速度等參數對橋梁發生共振響應的影響。而實際上，以共振速度行駛的移動荷載，有時并不能使得橋梁自由振動時期產生最大位移響應。對于單個移動荷載從低速到高速勻速通過橋梁后，會使得橋梁振動響應產生一系列極值點，其所對應的移動荷載速度并不是共振速度[11,16-17]。移動列車荷載激勵下的橋梁振動響應主要是在時域內進行研究，其相關理論推導過于復雜，且不同速度的移動荷載所激勵的橋梁振動響應需要反復計算求解。相對于時域研究，頻域分析直觀且無需求解微分方程等有諸多優勢。

因此，本文將研究建立多個移動荷載激勵下橋梁共振響應的頻域分析法，將對移動荷載激勵下的橋梁運動方程進行傅里葉變換，進行多個移動荷載激勵下的橋梁位移傅里葉譜、移動荷載傅里葉譜的理論推導；然后通過引入兩個參數(無量綱速度與間跨比)對移動荷載傅里葉譜進行幅值分析，從而建立移動荷載速度與橋梁最大位移響應之間的關系；最后以簡支梁為例來驗證理論分析的正確性和移動荷載速度公式的有效性。

1 移動荷載傅里葉譜

移動列車激勵下的橋梁如圖1所示，橋梁梁體可視為歐拉-伯努利梁，其單位質量為m、結構阻尼為c、彎曲剛度為EI；移動列車可簡化為等間距排列的移動荷載模型，即在每節車廂形心處簡化為一個集中力P0，且相鄰集中力的間距d相等，該間距為整節車廂的長度。因此，對于具有Np節車廂的列車，可簡化為Np個集中力Pk(k=1,2,3,…,Np)的移動荷載，總長度Lp=(Np-1)·d，如圖1(b)所示。

圖1 列車及移動荷載模型

對于Np個移動集中荷載Pk(k=1,2,3，…,Np)以速度v勻速通過跨徑為L的簡支梁橋，在x位置t時刻的橋梁豎向位移y(x,t)滿足運動微分方程

(1)

式中：tk為第k個移動集中力上橋的時間；dk為第k個集中荷載與第1個集中荷載的間距；δ為Diarc函數；S(t-tk)=S0(t-tk)-S0(t-tk-L/v)可確定移動荷載是否作用在橋上，其中S0為Heaviside函數。

根據振型疊加法，橋梁豎向位移y(x,t)可表示為

(2)

式中：qn(t)為第n階廣義坐標；φn(x)為橋梁結構的第n階振型函數。

將式(2)代入式(1)，進一步考慮振型正交性，可將橋梁結構運動微分方程分解為n個相互獨立的微分方程，即

(3)

式中：ωn、ξn分別為橋梁結構的第n階圓頻率、阻尼比。

簡支梁的陣型函數為正弦函數，根據傅里葉變換，運動微分方程式(3)在頻域內的解為

Qn(ω)=Hn(ω)Fn(ω)

(4)

式中：Qn(ω)為廣義坐標qn(t)的傅里葉變換；ω為圓頻率；Hn(ω)為傳遞函數；Fn(ω)為第n階振型的移動荷載傅里葉譜。Hn(ω)、Fn(ω)計算式分別為

(5)

(6)

當振型分別為奇數、偶數時，則

(7)

于是，對應的多個移動集中荷載引起的橋梁位移傅里葉譜為

(8)

2 移動荷載激勵下的橋梁共振分析

文獻[13]研究發現，簡支梁橋的振動響應計算僅考慮第一階豎向振型就可滿足精度要求。因此，為了簡化分析，僅考慮簡支梁第一階陣型，且不計結構阻尼，對等間距移動荷載引起的橋梁位移傅里葉譜進行取模，可獲得簡支梁橋位移傅里葉幅值譜，即

|Y1(ω)|=|Q1(ω)·φ1(x)|=|H1(ω)F1(ω)φ1(x)|=

(9)

對于簡支梁橋，其結構第一階振型函數最大值出現在跨中，即當x=0.5L時，φ1(x)出現最大值。而當ω=ω1時(ω1為基頻)，結構響應傳遞函數H1(ω)值最大。此時，橋梁位移傅里葉幅值譜(式(9))是否出現最大值，完全取決于移動荷載傅里葉幅值譜|F1(ω1)|的大小。

|F1(ω1)|=

(10)

由式(10)可知，橋梁跨度L、基頻ω1、移動荷載間距d及移動荷載個數Np都將會影響|F1(ω1)|的大小。為簡化其表達式，引入兩個參數，即移動荷載無量綱速度κ=v/ω1L，間跨比(移動荷載間距與橋梁跨度的比值)γ=d/L，則式(10)可進一步表示為

|F1(γ、κ、Np)|=

(11)

圖2 不同移動荷載數對應的曲線

圖3 不同橋梁基頻下的曲線

圖所對應的曲線

圖對應的曲線擬合

(12)

(13)

3 算例驗證

本文針對在高速鐵路中廣泛使用的簡支橋梁進行研究。僅考慮第一階模態即可滿足簡支橋梁的計算精度要求。為簡化起見，等距移動荷載作用下簡支橋的共振分析中不考慮高階模態和結構阻尼。因此，為了驗證移動荷載作用下橋梁振動響應分析，有必要在時域計算橋梁在移動荷載作用下的振動響應。首先，采用振型疊加法計算一個實例，橋梁和荷載參數如表1所示，即文獻[18]在兩個移動荷載作用下簡支梁的振動響應如圖6所示，對于速度為 100 km/h 的簡支梁橋在移動荷載作用下，振型疊加法計算的位移響應與文獻[18]中的位移響應一致，這表明本文通過振型疊加法計算得到的時域結果的正確性。

表1 橋梁和荷載參數[18]

圖6 荷載間距為17.5 m時的橋梁跨中豎向位移響應

為了進一步分析橋梁位移傅里葉幅值譜和移動荷載傅里葉幅值譜，通過表1的參數，d=12 m,ω1=29.15 rad/s從頻域和時域角度分析不同時速的移動荷載通過橋梁的位移響應。最后得到橋梁的自由振動極值響應、橋梁位移和移動荷載傅里葉幅值譜，如圖7所示。由圖7可知，當Np=2時，|Y1(ω,v)|中出現了很多極值點，并且隨著移動荷載速度v的增加，|Y1(ω,v)|曲線的變化規律與|F1(ω,v)|、|y(L/2,v)|曲線一致。同理，當Np=3時，|Y1(ω,v)|的曲線變化規律與|F1(ω,v)|、|y(L/2,v)|也相同，這說明通過移動荷載傅里葉幅值譜來分析橋梁振動最大位移響應是可行的。

圖7 不同移動荷載數下的橋梁位移傅里葉幅值譜、移動荷載傅里葉幅值譜、橋梁位移響應幅值

圖8 不同間跨比γ的移動荷載傅里葉幅值譜

為了從時域角度驗證上述分析計算的正確性，移動荷載分別以圖8中移動荷載傅里葉幅值譜最大值對應的荷載速度通過橋梁時，橋梁跨中位置位移時程曲線如圖9所示。觀察圖9(a)可知，移動荷載分別以992.65、63.31 m/s速度通過橋梁時，引起橋梁受迫振動時期的位移最大幅值存在明顯差異：

圖9 考慮不同間跨比γ的跨中豎向位移時程曲線

max{y(L/2,t)force}v1

為驗證式(13)的有效性，橋梁自由振動位移最大幅值響應對應的移動荷載速度與式(13)計算速度如表2所示。經過對比發現，由式(13)所得的移動荷載速度與時域計算所得結果非常接近，誤差在5%以內。

表2 橋梁自由振動最大響應對應的移動荷載速度

4 結論

為分析等距移動荷載作用下簡支橋梁的共振，利用傅里葉變換推導了橋梁在移動荷載作用下的位移響應傅里葉譜和移動荷載傅里葉譜。并提出了基于移動荷載傅里葉譜的橋梁共振頻域分析方法。最后通過時域分析對實際的橋梁參數進行驗證，結論如下：

(1)移動荷載傅里葉幅值譜可以有效反映橋梁自由振動的位移幅值。并且移動荷載傅里葉幅值譜隨荷載移動速度的變化規律與橋梁位移響應幅值的變化規律是一致的。因此，可以通過移動荷載傅里葉幅值譜的最大值對應的速度來確定導致橋梁位移響應最大值的移動載荷的速度。

由于橋梁自由振動位移響應與荷載數Np有關，因此，本文僅根據實際情況分析了8節車廂作用下的橋梁振動位移響應最大值時的情況，而對于其他移動荷載數Np作用下，橋梁振動位移響應最大值所對應的速度，也可基于該分析方法進行分析求解。