農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習困難點分析

張瓊丹

貴州省大方縣貓場鎮(zhèn)初級中學（貴州省畢節(jié)市 551605）

2017 年，教育部頒布的《初中數(shù)學課程標準》明確規(guī)定：初中數(shù)學課程教學的目標，在于培養(yǎng)學生的抽象思維、推理能力、創(chuàng)新意識和實踐能力。二次函數(shù)作為初中數(shù)學課程中一個重要的知識點，學生對二次函數(shù)基礎知識和技能的掌握，對提高其數(shù)學抽象、推理和概括能力等都具有重要的意義。同時，縱觀近年來的中考試卷我們不難發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)是一個高頻考點，考題形式有填空題、選擇題以及綜合解答題，重點考核的是二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)。二次函數(shù)在初中數(shù)學教學中的重要性，決定了初中數(shù)學教師在教學的過程中，應當強化二次函數(shù)的教學設計，以達到全面提高二次函數(shù)教學質(zhì)量的目的。

作為農(nóng)村初中數(shù)學教師，筆者在教學中發(fā)現(xiàn)：學生在二次函數(shù)的學習中，存在畏難情緒、認知障礙等問題，農(nóng)村初中數(shù)學二次函數(shù)教學質(zhì)量不高是困擾著廣大數(shù)學教師的一大難題。基于農(nóng)村初中數(shù)學二次函數(shù)的教學現(xiàn)狀，近年來，筆者一直在思考以下問題：學生學習二次函數(shù)的困難點是什么？教師在二次函數(shù)教學中存在哪些問題與不足？如何優(yōu)化和改進農(nóng)村初中數(shù)學二次函數(shù)的教學？針對相關問題，本文中，筆者將結(jié)合第一個問題“農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習困難點”進行深入的探索，以期明晰問題，為后續(xù)對策建議的提出奠定基礎。

1 農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習困難點調(diào)研設計及過程

為了充分了解農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習的困難點，筆者采取了實地調(diào)查研究的方式，選取筆者所執(zhí)教的農(nóng)村初中學校學生為研究對象，調(diào)研設計及過程如下：

1.1 調(diào)研總體設計

筆者有多年的農(nóng)村初中數(shù)學教學經(jīng)歷，其中包括帶初三畢業(yè)班、準備中考復習課等實踐經(jīng)驗。在日常的教學中，作為青年教師，筆者也時常向一些經(jīng)驗豐富的“老”教師探討經(jīng)驗。立足教研活動、教學實踐經(jīng)驗，筆者發(fā)現(xiàn)：很多農(nóng)村初中生在學習二次函數(shù)的過程中，對二次函數(shù)基礎知識的掌握一般還不錯，但在綜合分析題中，尤其是面對中高難度的綜合分析題時，學生往往會因為知識應用不夠靈活、思維的局限性等而出現(xiàn)分析困難。通過近年來對中考數(shù)學試題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)是中考“16 分”必考考點，且考題多數(shù)出現(xiàn)在綜合分析題中，該考點正好是學生學習二次函數(shù)的困難點之一。基于以上幾點因素，筆者決定開展農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習困難點的調(diào)查研究，希望通過調(diào)查研究，進一步明確學生學習的困難點，為提出切實可行的對策建議奠定基礎。

1.2 調(diào)研目的

初中數(shù)學二次函數(shù)的重要性，并不僅僅源于其是中考數(shù)學中的高頻考點，更在于二次函數(shù)對培養(yǎng)學生的抽象推理能力的重要性，同時，初中二次函數(shù)的學習，也能夠為學生進入高中之后更加深入地學習二次函數(shù)奠定基礎。作為農(nóng)村初中數(shù)學教師，筆者在近年來執(zhí)教、與學生溝通交流、與其他教師溝通交流的過程中發(fā)現(xiàn)：學習學習二次函數(shù)的困難點，與教師的主觀認知與理解具有一定的差異性。而這種差異性，源于教師在日常教學實踐中缺乏調(diào)查、缺乏與學生的溝通交流。因此，筆者力求通過調(diào)查研究的方式，深入了解學生二次函數(shù)學習的困難點，改變教師憑借主觀認知開展教學的現(xiàn)狀，有針對性地針對農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習提出對策建議。

1.3 調(diào)研對象

本次研究選取的調(diào)研對象為：畢節(jié)市大方縣貓場鎮(zhèn)中學九年級1-4 班共計121 名學生。該四個班級學生數(shù)學成績基本一致，教學的內(nèi)容、教學進度等基本一致。針對教師的研究，主要是有豐富的九年級教學經(jīng)驗的數(shù)學教師，共計18 名。針對教師和學生的調(diào)查，主要以學生學習二次函數(shù)的障礙為依托，探索農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習的困難點。

1.4 調(diào)研實施過程

本次調(diào)研，采取調(diào)查問卷、訪談、測試相結(jié)合的方式。

首先，編制調(diào)查問卷。調(diào)查問卷分為教師調(diào)查問卷和學生調(diào)查問卷兩種，其中，涉及教師的調(diào)查問卷，主要是搞清楚教師嚴重二次函數(shù)學習的困難點，了解教師在教授二次函數(shù)章節(jié)的知識時，擬采用的教學方法、備課情況以及課堂教學情況等；針對學生的調(diào)查問卷，主要是結(jié)合學生在二次函數(shù)測評中，容易出錯的點、學習二次函數(shù)過程中存在的困難，對教師二次函數(shù)教學的建議幾個方面入手。

其次，測評卷的編制。測評是了解學生學習薄弱點的有效方式。為了充分了解農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習的困難點，在調(diào)研進行的過程中，筆者采取了隨機測評的方式，結(jié)合測評結(jié)果分析學生二次函數(shù)學習的障礙、或困難點。測評卷涵蓋了初中二次函數(shù)重要的知識點：包括二次函數(shù)的概念、定義；圖像平移；二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想；求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應用等。

第三，調(diào)查與測評的實施。本次調(diào)查的實施、測評的實施等可以同步進行。在編制好調(diào)查問卷之后，調(diào)查小組開展實地的問卷調(diào)查、訪談，并同步開展二次函數(shù)的測評，回收相關的問卷以及測評卷，對問卷數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計和分析，對測評卷進行批改、分析，了解學生測評過程中的知識薄弱點。

2 農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習困難點分析

通過問卷調(diào)查、訪談以及測評，立足筆者一線農(nóng)村初中數(shù)學教學實踐經(jīng)驗，總結(jié)分析農(nóng)村初中生二次函數(shù)學習的困難點體現(xiàn)在以下幾個方面：二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、確定二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應用。而上述的困難點，呈現(xiàn)于不同學生的身上，具體表現(xiàn)如下：

2.1 二次函數(shù)的概念

常言道：基礎不牢，地動山搖。在執(zhí)教農(nóng)村初中數(shù)學的過程中，筆者也常常教導學生應當重視基礎知識的掌握。只有基礎牢固了，才能夠在數(shù)學的分析與實踐中靈活自如地應用知識，提高學習質(zhì)量。本次調(diào)查研究中，結(jié)合學生的測評卷我們可以清晰地看見：在二次函數(shù)基礎概念的掌握方面，依然有部分學生掌握得不夠牢固，如二次函數(shù)概念的表述、二次函數(shù)方程式的判斷等，具體表現(xiàn)如下：

從圖1 可見，關于“什么是二次函數(shù)”這個問題，其實就是一個極其簡單的基礎概念題，其主要目的就是看學生能否完整地、準確地表達二次函數(shù)的概念。當然，測評的目的，并非是要讓學生一字不漏地背誦二次函數(shù)的概念，學生能夠用自己的語言完整的表述也可以。但事實證明，依然有部分學生不能表述二次函數(shù)的概念，包括結(jié)合自己的理解用自己的語言表述。

圖1

圖2 中，這道題本質(zhì)上也是針對學生二次函數(shù)概念掌握情況的考察。在批改這道題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學生出現(xiàn)錯誤，而出現(xiàn)錯誤的具體原因為：學生在判斷含有未知參數(shù)的解析式時，會忘記“二次項系數(shù)不能為0”這個關鍵條件。結(jié)合這道題，筆者又開展了與學生的深入溝通交流，結(jié)果表明：部分理解能力弱、學習能力弱的學生，并不能真正理解“二次項系數(shù)不能為0”這個條件，很多時候?qū)W生只能死記硬背。正是因為學生的不理解，導致在判斷的過程中容易出現(xiàn)錯誤。

圖2

圖3 這道題也是對二次函數(shù)基礎知識的測評。這道題也是學生錯誤集中的題目，而分析錯誤原因，在于學生在判斷二次函數(shù)解析式時，采取了直接判斷的方式，而非先進性合并化簡。

圖3

以上三道題，采取了不同的方式針對學生二次函數(shù)的掌握情況進行了測評。測評結(jié)果標準：二次函數(shù)基礎知識依然是學生學習過程中的一個困難點，學生出現(xiàn)的相關錯誤表明：在學習二次函數(shù)基礎知識時，學生并沒有靈活的理解、掌握和應用，而是采取死記硬背的方式。這種死記硬背的方式，容易導致學生在面對一些有干擾條件的題目時，因不能夠靈活地應用知識而出現(xiàn)解題錯誤。

2.2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

相比較二次函數(shù)的概念知識而言，學生在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學習中存在更多的困難點，這種困難點不僅僅體現(xiàn)為學生的知識理解層面，更體現(xiàn)在思維層面，主要表現(xiàn)如下：

首先，作圖方面。在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學習過程中，作圖也是學生應當掌握的一項基本技能。然而，在二次函數(shù)的作圖方面，很多學生存在不會作圖的問題，尤其是對“平移”的作用理解不深，如特殊二次函數(shù)到一般二次函數(shù)的平移規(guī)律，很多學生是不掌握的。正是因為學生對相關知識的掌握不深，導致在后期的學習過程中，學生很難準確地作出一般二次函數(shù)的圖像。為什么會出現(xiàn)上述的困難點呢？筆者通過分析發(fā)現(xiàn)：在學習二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程中，依然有部分學生存在死記硬背的現(xiàn)象，如對“上加下減、左加右減”規(guī)律的背誦，學生僅僅是教條化的記憶而非靈活地理解，導致在實際問題的解決過程中，學生不懂得靈活應用、舉一反三，機械化的學習往往導致機械化的結(jié)果，最終導致學生在作圖的過程中，不會選擇合適的點，難以畫出完整的圖像。

其次，對二次函數(shù)解析式二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項的數(shù)量關系的判斷。初中數(shù)學二次函數(shù)的圖像有很多“特征點”，包括：頂點、對稱軸，圖像與y 軸的交點等。這部分知識點也是學生學習二次函數(shù)的一大困難點。通過深入分析，筆者發(fā)現(xiàn)：學生在學習二次函數(shù)的過程中，之所以不能對相關知識點建立直觀的認知，源于在數(shù)學課堂上，學生很難有真正畫圖實踐的機會，多數(shù)時候，學生都是在聽教師講，“數(shù)形結(jié)合”的意識和能力低下。而死記硬背的學習方式，導致學生在應用的過程中常常存在機械、僵硬的特點，最終出現(xiàn)判斷和解題錯誤。

2.3 確定二次函數(shù)解析式

二次函數(shù)作為歷來中考數(shù)學中的必考點，且常常是以最后大題的形式出現(xiàn)。而在大題的解答過程中，前面的小問題多數(shù)是讓學生求解二次函數(shù)的解析式。因此，對二次函數(shù)解析式的深入理解和把握，對學生應對綜合分析題具有重要的意義。在開展調(diào)查研究的過程中，調(diào)查組設計了一道題，測評學生對二次函數(shù)解析式的掌握情況，題目如下：

就初中數(shù)學二次函數(shù)的教學而言，問題7 僅僅是一道相對比較簡單的綜合分析題。涉及的知識點包括：二次函數(shù)的頂點式代入求值；圖像對稱以及三角形面積的求解知識點。但在求解這道題的過程中，依然有部分學生出錯。深入分析錯誤的原因，主要源于學生在解答問題時粗心大意，如部分學生在設句中，忘記寫“a ≠0”這個條件，同時，部分學生在解題過程中，忘記了頂點式這個知識點，導致解題錯誤。整體而言，針對這道題，學生整體的正確率還是挺高，達到了班級整體人數(shù)的89%。在第二個小問題的求解中，學生解題的困難點在于不會求點B 的坐標。

2.4 二次函數(shù)的應用

在教育改革不斷深入發(fā)展的背景下，培養(yǎng)學生的應用實踐能力，乃是教師教學的重點。誠然，基于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的需要，初中數(shù)學教師在教學中，也應當重視學生應用實踐能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)“學以致用”的目標。于初中學生的數(shù)學學習而言，二次函數(shù)的知識點不僅僅是重要的考點內(nèi)容，更有助于幫助學生解決實際的生活問題，提高實踐能力。因此，關于初中數(shù)學二次函數(shù)的考題中，也有很多涉及應用的考題，最為常見的是關于利潤、銷售量變化規(guī)律的實際應用。為了充分了解初中學生二次函數(shù)的應用能力，本次測評中，測評小組精心設計了題目如下：

這是一道關于二次函數(shù)應用的常見題型，很多教師在教學實踐中，也會開展類似典型例題的講解。但一直以來，類似的習題錯誤率一直居高不下。本次測評中，關于這道題的解答，正確率僅為55.3%，也就是說：近一半的學生在解答這道問題的過程中出現(xiàn)了錯誤。針對這道錯誤率居高不下的題目，筆者開展了和錯題學生的溝通交流，結(jié)果表明：一些學生在解答這道題的過程中，連題目的意思都不甚理解，不解題意，又如何解題呢？此外，部分學生在解答該題的過程中，對題目中的等量關系把握不夠準確，如商品的利潤=售價—進價；本題的一個關鍵點還在于“每提高2 元售價，銷量減少5 套”，很多學生在分析等量關系的過程中，因思維混亂而難以找尋到切入點，最終導致問題解答錯誤甚至空白交卷。

3 總結(jié)

二次函數(shù)系初中數(shù)學教學的重要組成部分，不僅僅是中考數(shù)學中的高頻考點，更是學生生活應用、實踐的重要知識點。在農(nóng)村初中數(shù)學的教學中，由于受到各種主客觀因素的影響，導致學生在學習二次函數(shù)的過程中存在很多困難點，主要表現(xiàn)為：二次函數(shù)的基礎概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的求解、二次函數(shù)的應用等。針對相關的困難點，初中數(shù)學教師應當立足學生的實際情況，有目的、有針對性地開展教學研究，優(yōu)化二次函數(shù)教學，針對學生知識的薄弱點開展強化講解，各個擊破消除困難點，提高二次函數(shù)的教學質(zhì)量。