賞析運用“函數(shù)積k性質(zhì)”命制的導(dǎo)數(shù)試題

陳凌燕

(福建省廈門市海滄中學(xué)，361022)

一、 引言

函數(shù)是數(shù)學(xué)的一條重要主線,其概念和性質(zhì)貫穿整個函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí),更是高考考查的重點內(nèi)容.在高考試題中,一般將函數(shù)的單調(diào)性、零點等性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)交匯,綜合考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性.筆者在一些導(dǎo)數(shù)試題中抽象出函數(shù)的一類性質(zhì),類比函數(shù)的奇偶性定義,提出函數(shù)的積k性質(zhì).

二、函數(shù)的積k對稱性

若f(x)是積k反稱函數(shù),同理可證有類似的性質(zhì).

由積k對稱函數(shù)、積k反稱函數(shù)的定義,不難證明如下性質(zhì)(具體過程略).

性質(zhì)3若f(x)是積k反稱函數(shù),則|f(x)|,(f(x))2是積k對稱函數(shù).

由性質(zhì)4,通過適當(dāng)?shù)倪\算組合可以構(gòu)造結(jié)構(gòu)優(yōu)美的函數(shù).

三、函數(shù)的積k性質(zhì)的應(yīng)用

積k對稱或反稱函數(shù)雖并不少見,但由于不是教材中所提及的類似函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等函數(shù)的基本性質(zhì),學(xué)生做題時,并不容易反應(yīng)到需要研究函數(shù)的這類性質(zhì).因此,以此類函數(shù)為載體命題,具有考查能力要求高、難度大、區(qū)分度強的特點,素養(yǎng)導(dǎo)向十分明顯,很有研究價值.

1.利用函數(shù)的積k性質(zhì)判斷零點個數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有2個零點;

(2)略.

綜上,f(x)有且僅有兩個零點.

變式(2019年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1證明:

(1)f(x)存在唯一的極值點;

(2)f(x)=0有且僅有2個實根,且它們互為倒數(shù).

例2已知函數(shù)f(x)=(x2+1)lnx-m(x2-1),則下列結(jié)論正確的是( )

(A)當(dāng)m=0時,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x

(B)當(dāng)m≤1時,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)增

(C)當(dāng)m>1時,f(x)既存在極大值又存在極小值

(D)當(dāng)m>1時,f(x)恰有3個……