例析化歸思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

林世平

(福建省福清市融城中學(xué)，350300)

化歸是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略.所謂化歸的思想方法,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時,采用某種手段將問題進行變換或轉(zhuǎn)化,化未知為已知,使之達到問題能獲解的目標.化歸的實質(zhì)就是以運動發(fā)展變化的觀點看待問題,通過變復(fù)雜成簡單、化抽象為直觀等途徑,利用不同數(shù)學(xué)對象之間的相互聯(lián)系快速探清解決問題的方向,使問題得以解決.本文略舉數(shù)例,從陌生問題熟悉化、復(fù)雜問題簡單化、特殊問題一般化、抽象問題具體化這幾個側(cè)面闡述化歸思想在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用.

一、特殊問題一般化

有些特殊問題經(jīng)過一些小修飾,如加個參數(shù)、添個分母等,就可能形成一個數(shù)學(xué)難題.倘若此時會運用化歸思想,將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般性問題進行求解,原來的數(shù)學(xué)問題在定義、公式的使用下即可輕松求解.

例1已知函數(shù)f(x)=2x-e2x+aex,g(x)=f(x)-aex+m,對任意x∈[-1,1],g(x)≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

解依題意，g(x)=2x-e2x+m.

解法1(直接法)由g′(x)=2(1-e2x)，易知g(x)在[-1,0)單調(diào)增,在(0,1]

時,p′(x)<0,p(x)單調(diào)減;當x∈(1,+∞) 時,p′(x)>0,p(x)單調(diào)增,可得p(x)≥p(1)=0

總之,在數(shù)學(xué)解題的過程中,對問題的分析與思考,往往伴隨著“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法.對于一個一般化的問題,我們先進行特殊化處理,得出一個特殊的結(jié)論,再說明這個特殊的結(jié)論對于一般化的問題也成立,即經(jīng)歷“一般→特殊→一般”的思維與論證過程.“特殊與一般”的思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的過程中有著重要的作用,本質(zhì)上體現(xiàn)的是合情推理與……