特值法在不等式恒成立問題中的應用*

徐所扣

(江蘇省揚州中學,225002)

由不等式恒成立求參數的取值范圍問題是導數部分常見的題型,也是高考中的熱點問題.對于問題:關于x的不等式f(x)≥0(x∈D,參數a∈P)恒成立,求a的取值范圍.有時可以在集合D中取一個特殊的值x0,將其代入不等式得f(x0)≥0,由此解得a的取值范圍為集合A.顯然當a∈PA時,f(x0)<0,不符題意,因此,如果能夠證明當a∈A時不等式f(x)≥0恒成立,那么集合A就是所求的a取值范圍,我們稱這種解題方法為“特值法”.顯然,使用特值法的關鍵是要找準恰當的特殊值x0,這就需要弄清特值x0應滿足的條件,而不是盲目隨意的“猜測”.下面舉例說明.

例1(2020年山東高考題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解由f(1)=a+lna≥1,解得a≥1.

當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

故當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

評注證明a≥1時f(x)≥1恒成立,是先對a放縮成不含參數a的函數g(x),即f(x)≥g(x),再證明g(x)≥1恒成立,從而得到f(x)≥1恒成立.這里的g(x)為a=1時的f(x),當a=1時,f(1)=1,故1應為f(x)的極小值點,從而我們取特值x0=1,同時滿足f(x0)=1和f′(x0)=0

變式若ax2ex+(2x+1)ex+1-x≥0對任意x∈R恒成立,求實數a的取值范圍.

解令函數f(x)=ax2ex+(2x+1)ex+1-x,由f(-1)≥0,得a≥0.

綜上,實數a的取值范圍是a≥0.