函數(shù)“等值問題”分類解析

張 輝

(浙江省金華市湯溪高級中學(xué)，321075)

在高考或各地模擬試題中,高頻出現(xiàn)一類函數(shù)的等值問題,即已知函數(shù)在多個(gè)自變量處的函數(shù)值相等,求這些自變量的某個(gè)代數(shù)式的值或取值范圍等.解答這類問題的基本思路是:理解題意,分析和挖掘函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性及不變性等性質(zhì),然后作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合快速有效地解決問題.以下通過典型例題分類解析.

一、求參數(shù)的取值范圍

分析先化簡整理函數(shù)f(x)的表達(dá)式，作出其圖象；再由g(x)有四個(gè)零點(diǎn)，得方程f(x)=b有四個(gè)實(shí)根，亦即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=b有四個(gè)交點(diǎn)，至此問題可獲解.

二、求方程解的個(gè)數(shù)

(A)0 (B)2 (C)4 (D)6

分析由雙絕對值探究函數(shù)的對稱性,結(jié)合換元法處理復(fù)合函數(shù)的常用技巧,數(shù)形結(jié)合解決問題.

評注在平面上給定相異兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P在同一平面上且滿足|PA|=λ|PB|,則當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓,我們這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn),破解此類題的關(guān)鍵是“方程引路,幾何法破題”.

x=1對稱，易畫出函數(shù)f(x)的草圖，如圖2.

則t1∈(-1,0),t2∈(0,1),t3∈(1,2),t4∈(2,3).

三、求代數(shù)式的取值范圍

分析根據(jù)定義的新運(yùn)算得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式，再通過f(x)的圖象數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.

解由2x-1≤x-1,得x≤0.

于是，由運(yùn)算“*”的定義，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=-(2x-1)2+2(2x-1)(x-1)-1=-2x;當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x.由此可得

例4已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-1|-t(t∈R)有四個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,x4,且x1

分析這是一個(gè)函數(shù)等值問題.先作出函數(shù)圖象,挖掘四個(gè)零點(diǎn)之間的相互關(guān)系,使隱含條件明朗化,求出函數(shù)φ(t)的表達(dá)式,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其值域.

解令f(x)=0,則|x2-2x-1|=t,由題意知方程|x2-2x-1|=t有四個(gè)不同的……