撥開迷霧見明月 道似無圓卻有圓

施國龍

(福建省晉江市第二中學，362212)

圓是最基本的平面圖形之一,具有許多優美的性質.縱觀近幾年的高考試題,越來越注重對圓的考查,在試題的呈現形式上,有些圓是明確敘述的,有些圓則是隱性存在的.由于隱圓問題難度多為中、高檔題,解題時需充分挖掘題中信息,變隱形圓為顯形圓,才能使抽象問題變得更直觀、簡單,達到“撥開迷霧見明月,道似無圓卻有圓”的解題境界,最終利用圓的知識使問題獲解.本文結合具體例子,談談如何通過巧妙構造圓來解題,以供參考.

一、利用隱形圓求函數的值域與最值

變式(2014年四川高考題)設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA||PB|的最大值是______.

評注利用圓的定義或幾何性質挖掘圓,是確定隱圓的最基本方法.本題通過建立直角坐標系,利用動點P的軌跡是圓,由圓的性質輕松得到最值.

例3(2014年全國高考題)已知a,b,c分別為?ABC的三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則?ABC面積的最大值為______.

二、利用隱形圓求直線方程

例5(2020年全國高考題)已知P為直線l:2x+y+2=0上的動點,過點P作⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0的切線PA,PB,切點分別為A,B,當|PM||AB|最小時,直線AB的方程為( )

(A)2x-y-1=0 (B)2x+y-1=0

(C)2x-y+1=0 (D)2x+y+1=0

分析由題意可判斷直線與圓相離,且A,P,B,M四點共圓,AB⊥MP.根據|PM|·|AB|=2SPAM=2|PA|,可知當直線MP⊥l時,|PM||AB| 最小.求出以MP為直徑的圓的方程,根據圓系的知識即可求出直線AB的方程.

故以MP為直徑的圓的方程為(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0.與⊙M的方程相減,可得直線AB的方程為2x+y+1=0.答案選D.

三、利用隱形圓解決求值問題

評注本解法從幾何要素出發觀察動點的變化規律,借助圓這個工具,使解……