探究數列遞推關系 解決一類概率問題*

徐巧石

(江蘇省海門中學，226100)

數學解題是促進學生對數學的理解、培養學生獨立思考的習慣、發展學生理性思維的重要方式.在解決問題的過程中融合不同的數學知識,融入不同的數學視角,有利于學生整體理解數學知識,把握數學內容的本質.因此,在解題教學中要帶領學生從不同知識視角思考問題.

在概率問題中,有一類問題若直接討論,則問題復雜繁瑣,若融合數列遞推的視角,問題變得簡單清晰、迎刃而解.

一、試題呈現與解答

試題最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功,且試驗成功的概率為p(00)元.

(2)某公司意向投資該產品.若p=0.25,且試驗成功則獲利5a元,則該公司應如何決策投資?請說明理由.

解(1)① 當1≤X≤9時,P(X=i)=(1-p)i-1p(i=1,2,…,9);當X=10時,易知P(X=10)=(1-p)9.所以

(2)當p=0.25時,由(1)得E(X)<4,于是aE(X)<4a<5a,即試驗結束后的平均成本小于試驗成功的獲利,所以該公司可以考慮投資該產品.

思考1若試驗的次數無限制,則隨機變量X的數學期望是多少?

思考2若考慮連續兩次試驗成功,則試驗結束后,X的數學期望是多少?

設X的期望為E,若前面二次試驗成功,

若試驗成功,則在試驗結束的條件下隨機變量的分布列可以逐項寫出,相應的數學期望可以利用錯位相減法求和、取極限求得.若借助遞推關系式的視角,則數學期望的計算就將求和與取極限融合到一起解決.在連續兩次試驗成功時,則在試驗結束的條件下隨機變量的分布列算起來就比較復雜,因而數學期望的計算也變得比較困難,若從數列遞推的角度出發,則隨機變量的數學期望較容易計算出來.

二、應用分類

將數列遞推的視……