基于問題驅動的一類定點定值問題探究

蔣自佳

(浙江省寧波市姜山中學，315000)

本文以一道課本習題為源,通過逆向思維、類比推理,運用平移坐標系簡化運算,得到一類圓錐曲線斜率和、斜率積、斜率倒數和為定值條件下的優美結論,以期提升學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

一、源于教材

例題(人教A版選擇性必修第一冊第138頁習題3.3第6題)如圖1,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.

反思如果把例題中的直線y=x-2換成y=2-x,根據拋物線對稱性,結論OA⊥OB不變,而y=x-2與y=2-x有公共點(2,0),y2=2x中2p=2,兩者是巧合還是必然?如果條件改成kOAkOB=-1,拋物線為y2=2px,能否推出直線AB過定點(2p,0)這樣的結論？

二、類比拓展

問題1已知A,B為拋物線y2=2px上兩動點,且kOAkOB=-1,則直線AB是否過定點?

反思如果將原點O改成拋物線上的其他定點P(x0,y0),kOAkOB=-1改成kPAkPB=λ(λ為常數),此時直線AB是否還過定點?

問題2已知拋物線y2=2px上一定點P(x0,y0)(P不是拋物線的頂點),A,B為拋物線兩動點,且kPAkPB=λ(λ為常數),則直線AB是否過定點?

反思如果把斜率之積為定值改成斜率之和為定值呢?

問題3已知拋物線y2=2px上一定點P(x0,y0)(P不是拋物線的頂點),A,B為拋物線兩動點,若kPA+kPB=λ(λ為常數),此時直線AB是否過定點?

解由問題2可得

反思類比推廣到橢圓,雙曲線,是否有類似性質?

簡析同問題4的解答,借助圖4，可得如下結論(限于篇幅,具體過程略).

反思如果把條件中斜率之積(和)為定值改成斜率倒數和為定值呢?我們不妨先以橢圓為例進行探究.

三、牛刀小試

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足,證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設點Q在橢圓上,且PQ與x軸平行,過點P作兩條直線……